2020届高考数学二轮复习专题数列中的存在性问题

专题24数列中的存在性问题数列中的存在性问题一般转化为求不定方程正整数解的问题，往往涉及数论、函数、方程、不等式等知识，蕴含了丰富的数学思想.本专题对数列中一些存在性问题进行探究，使学生学会通过研究方程两边范围的策略来解不定方程整数解的问题.因微而准因微而细H因微而准因微而细已知an=2n，是否存在正整数p,q,r(p<q<r),使得ap,aq,ar成等差数列？并说明理由.I厂小数列中的存在性问题求解策略，一般都是采用逆向思维，先假设存在，然后加以判断.本题先假设存在成等差数列的三项ap,aq，ar，其中(p<q<r，p，q，r£N*)，然后从性质ap+ar=2aq出发，利用奇、偶分析法导出矛盾，从而得出结论.客式联想 联想问题重构网络回已知an=2n，是否存在三个互不相等正整数p,q,r,且p,q,r成等差数列，使得ap—1,aq—1,ar—1成等比数列？并说明理由.陵型已知an=n+短，是否存在正整数p,q,r(p<q<r),使得ap,aq,ar成等比数列？并说明理由.国讲激活 知识串联融史苴通回函已知数列｛an｝是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足a2=S/令b= ，数歹U｛b｝的前n项和为T.n 2n—i na•a n nnn+i(1)求数歹U｛an｝的通项公式及数列U｛bn｝的前n项和Tn；(2)是否存在正整数m,n(1<m<n),使得T1，Tm,Tn成等比数列?若存在，求出所有的m,n的值，若不存在，请说明理由.

已知已知数歹1」｛与｝与｛乎的前n项和分别为4和Bn，且对任意n£N*,an十］an=2(bn+1bn)恒成立.(1)若An=n2,b1=2,求Bn；(2)若a1=2,bn=2n，是否存在两个互不相等的整数s,t(1<s<t),使B，A，B成等差数列？若存在，求出s,t的值；若不存在，请说1st明理由.□新题在彝 热点在线精典新题 O(2020-苏州模拟)已知数歹认an｝的前n项和记为An,且An=丛中)，数列U｛bj是公比为q的等比数列，它的前n项和记为B.2 n n若a1=by0,且存在不小于3的正整数k,m，使得ak=bm.(1)若a1=1,a3=5,求a2的值；(2)求证：数歹U｛an｝是等差数列；(3)若q=2,是否存在整数m,k，使得Ak=86Bm，若存在，求出m,k的值，若不存在，请说明理由.(本小题满分(本小题满分16分)已知数列U｛an｝满足对任意的n£N*,都有且an+1+anW0,其中a1=2,an(qnan-1)+2qnanan+1=且an+1+anW0,其中a1=2,q网.记Tn=a1+qa2+q2a3+...+qn-1an.(1)若q=1,求T2019的值；(2)设数列U{bn}满足bn=(1+q)Tn-qnan.①求数列｛bn｝的通项公式;

b②若数歹U{cj满足的=1，且当n三2时，。=2n一1—1,是否存n 1 n在正整数k,t，使c1,ck—cI,ct—ck成等比数列？若存在，求出所有k,t的值；若不存在，说明理由.答案I(1)1011;(2)①bn=n+1;②k=2,t=3.I解析I⑴当q=1时，由an(qnan-1)+2qnanan十二an十/1一qnan十J,得(an+1+an)2=an+1+an,又an+1+anW0,所以an+1+an=1, 2分(推导出an+1+an=1)又%=2,所以T2019=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2018+a?01J=1011. 4分(分组求和法，求出T2019)又a1n+11=qn又因为+anW0,所以an+1+an=—,6分(导出an+1+an(2)由an(qnan—1)+2qnanan+1=an又a1n+11=qn又因为+anW0,所以an+1+an=—,6分(导出an+1+anTn=a1+qa2+q2a3+…+qn-1an，所以qTn=qa1+q2a2+q3a3+…+qnan,所以(1+q)Tn=a1+q(a1+a2)+q2(a2+a3)+q3(a3+a4)+…+qn-1(an1+an)+qnan, 8分(求出(1+q)Tn)bn=(1+q)Tn—qnan=a]+1+1+…+1+qnan—qnan=a1+n—1=n+110分（求出bn）所以10分（求出bn）b②由题意，得c=2n—1=2n—1,n三2,n因为c1,ck—c1，ct—ck成等比数列，所以(ck—c1)2=c1(ct—ck),即(2k—2)2=21—2k, 12分(导出等式(2k—2)2=21—2k)所以21=(2k)2—3x2k+4,即21—2=(2k-1)2—3x2k-2+1(*).由于ck—JW0,所以k¥1,即k三2.当k=2时，21=8,得t=3. 14分(求得k=2,t=3)当k三3时，由(*),得(2k-1)2—3x2k-2+1为奇数，所以t—2=0,即t=2,代入(*)得22k—2—3x2k-2=0,即2k=3,此时k无正整数解.综上，k=2,t=3. 16分(验证k三3,k£N*,无解，并得出结论)I答即模板I第一步：将q=1代入已知条件，经变形推得an+1+an=1;第二步：利用an=2,应用分组求和法求得T2019；第三步：将已知条件等价变形，并推得a+a=-;n+1 nqn第四步：利用已知条件，求出(1+q)Tn的表达式；第五步：将第四步求得的(1+q)Tn代入已知求得bn=n+1;第六步：由已知条件推出等式(2k-2)2=21-2k；第七步：求出第六步中的方程的一组解k=2,t=3;第八步：验证：k三3时，第六步中的方程无解，进而得出结论.作业评价「若不等式4X2+力2三2x对一切正数x,y恒成立，则整数k的最大值为.匚口已知数歹U｛〃“｝的前n项和Sn=2n2+pn,a7=11,若ak+ak+1>12,则正整数k的最小值为.3m设数列｛an｝的首项a]=2，刖n项和为Sn，且满足2an+1+Sn 18S8 =3(n£N*).则满足17VS2n<7的所有n的和为.nm已知等差数列U｛an｝和等比数列U｛hn｝满足a1=b1=-2,a2=b2=4,则满足an=bn的n的所有取值构成的集合是.m(2019-盐城期中)已知数列U｛an｝满足2anan+1+an+3an+1+2=0,其中％=-；,设bn=*，若b3为数列U｛bn｝中唯一最小项，则n实数2的取值范围是.k各项均为正偶数的数列a1，a2,a3,a4中，前三项依次成公差为d(d>0)的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列.若a4-%=88,则q的所有可能的值构成的集合为.aP-设数列｛a｝的刖n项和S=n2，数列｛b｝满足b=n n n na+m(m£N*).(1)若b1，b2,b8成等比数列，试求m的值；(2)是否存在m,使得数列｛bn｝中存在某项bt满足b,4,bt(t£N*,t三5)成等差数列？若存在，请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由.m(2020.镇江期末)设数列｛an｝是各项均为正数的等比数列，%=2,a2a4=64.数歹U｛hj满足：对任意的正整数n,都有%b1+a2b2+...+abn=(n-1)-2n+1+2.(1)分别求数列｛a/与］bn｝的通项公式；(2)若不等式2(1-2F)(1—2b)-(1—?