试论数学分析中极限的化归转化思想方法(图文)

试论数学分析中极限的化归转化思想方法(图文)数学分析中的极限是一种重要的数学工具，它在研究数学问题和解决实际问题中都具有重要作用。在数学分析中，极限有许多种不同的定义和运用方法，其中化归转化思想方法是较为常用的一种，本文将对其进行详细介绍。一、化归转化思想方法的定义化归转化思想方法是指通过利用已知条件对极限式子进行变形，化简，消去不必要的部分，从而使得求解过程更加简洁明了，同时也可以更好地掌握极限性质和运算规则的方法。二、化归转化思想方法的基本原理化归转化思想方法是基于一些基本运算规律和极限性质的，其中包括：1.基本运算规律【加减规律】二个无穷小的和仍为无穷小，二个有限量的和仍为有限量；【乘法规律】二个无穷小的积是高阶无穷小，有限量和无穷小的积是无穷小；【除法规律】有限量除无限趋于零的量必为无穷大或无穷小，无穷小除无穷大趋近于零，无穷小除无穷小的积为无穷大或无穷小。2.极限的性质【唯一性】如果一个函数有极限，那么这个极限只有一种可能，且为唯一的；【保序】如果函数$\\lim_{x\\tox_0}f(x)=A,\\lim_{x\\tox_0}g(x)=B$，且$f(x)\\leg(x)，x$充分靠近$x_0$，则$A\\leB$；【夹逼】如果有三个函数$u(x),v(x),w(x)$，满足$u(x)\\lev(x)\\lew(x)，x$处于某个邻域内，且$\\lim_{x\\tox_0}u(x)=\\lim_{x\\tox_0}w(x)=A$，则$\\lim_{x\\tox_0}v(x)=A$。三、化归转化思想方法的应用下面以几个例子来说明化归转化思想方法的应用。例一已知极限$\\lim_{x\\to0}\\frac{\\sinx}{x}=1$，求$\\lim_{x\\to0}\\frac{\\cosx-1}{x}$。解：将$\\frac{\\cosx-1}{x}$化为$\\frac{1-\\cosx}{x}$，然后根据极限公式将两个式子乘起来，即：$$\\begin{aligned}\\lim_{x\\to0}\\frac{\\cosx-1}{x}&=\\lim_{x\\to0}\\frac{1-\\cosx}{x}\\cdot\\frac{\\sinx}{x}\\\\&=\\lim_{x\\to0}\\frac{(1-\\cosx)\\sinx}{x^2}\\\\&=\\lim_{x\\to0}\\frac{\\sinx}{x}\\cdot\\lim_{x\\to0}\\frac{1-\\cosx}{x}\\\\&=1\\cdot0\\\\&=0\\end{aligned}$$所以$\\lim_{x\\to0}\\frac{\\cosx-1}{x}=0$。例二已知$\\lim_{x\\to0}\\frac{\\ln(1+3x)-\\ln(1+2x)}{x}=k$，求$\\lim_{x\\to0}\\frac{\\ln(1+5x)-\\ln(1+2x)}{x}$。解：由题，可得$$\\lim_{x\\to0}\\frac{\\ln(1+5x)-\\ln(1+2x)}{x}=\\lim_{x\\to0}\\left(\\frac{\\ln(1+3x)-\\ln(1+2x)}{x}+\\frac{3\\ln(1+2x)-2\\ln(1+3x)}{x}\\right)$$对于第一个极限，由已知：$$\\lim_{x\\to0}\\frac{\\ln(1+3x)-\\ln(1+2x)}{x}=k$$对于第二个极限，利用条件$\\lim_{x\\to0}\\frac{\\ln(1+x)}{x}=1$可得：$$\\lim_{x\\to0}\\frac{3\\ln(1+2x)-2\\ln(1+3x)}{x}=-\\lim_{x\\to0}\\frac{3\\ln(1+2x)-6\\cdot\\frac{2x}{3}}{x}+\\lim_{x\\to0}\\frac{2\\ln(1+3x)-6\\cdot\\frac{3x}{2}}{x}=-4$$因此$$\\lim_{x\\to0}\\frac{\\ln(1+5x)-\\ln(1+2x)}{x}=k-4$$例三已知$\\lim_{x\\to\\infty}\\frac{1}{x}\\int_{0}^{x}f(t)dt=L$，求$\\lim_{x\\to\\infty}\\frac{1}{x^2}\\int_{0}^{x}tf(t)dt$。解：根据平均值定理，存在$\\xi\\in(0,x)$，使得：$$\\int_{0}^{x}f(t)dt=xf(\\xi)$$因此，$$\\lim_{x\\to\\infty}\\frac{1}{x^2}\\int_{0}^{x}tf(t)dt=\\lim_{x\\to\\infty}\\frac{1}{x^2}\\left(\\int_{0}^{x}f(\\xi)tdt+\\int_{0}^{x}(f(t)-f(\\xi))tdt\\right)$$由于$\\left|\\int_{0}^{x}(f(t)-f(\\xi))tdt\\right|\\le\\frac{x^2}{2|x|}\\cdot\\sup_{x\\in[0,\\xi]}|f(\\xi)-f(x)|$，由于$\\lim_{x\\to\\infty}f(x)=0$，故右侧的极限趋于零，只需考虑第一个极限，化式为：$$\\lim_{x\\to\\infty}\\frac{1}{x^2}\\int_{0}^{x}f(\\xi)tdt=\\lim_{x\\to\\infty}\\frac{f(\\xi)x}{x^2}=\\lim_{x\\to\\infty}\\frac{f(\\xi)}{x}=0$$所以$\\lim_{x