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第六章积分学定积分二重积分三重积分积分域区间域平面域空间域曲线积分曲线域曲面域曲线积分曲面积分对弧长曲线积分对坐标曲线积分对面积曲面积分对坐标曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分第1页第1页第一节一、对弧长曲线积分概念与性质二、对弧长曲线积分计算法机动目录上页下页返回结束对弧长曲线积分

第六章第2页第2页一、对弧长曲线积分概念与性质假设曲线形细长构件L在xoy平面所占弧段为AB,其线密度为(1)分小:

在A,B之间依次插入n-1个分点,计算此构件质量m。1.引例:

曲线形构件质量(2)取近似(3求和(4)取极限

A=A0,A1,,Ak-1,Ak,,An=B把L分成n小段,其弧长仍用此符号表示。第3页第3页设是平面中一条有限长光滑曲线,义在上一个有界函数,存在,上对弧长曲线积分,在上任意插入n-1个分点在sk上任取一点(k,k),k=1,2,…,n2.定义做和式则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.记作称为被积函数，

称为积分弧段.曲线形构件质量若极限是定A=A0,A1,,Ak-1,Ak,,An=B把L分成n小段即分小、取点、作和、取极限第4页第4页假如L是空间中曲线弧,假如L

是闭曲线,则记为则定义对弧长曲线积分为例求解：第5页第5页3.性质（k为常数)(l为曲线弧

长度)(5)

对称性若关于y轴对称，1为y轴右边部分，则若关于x轴对称，1为x轴上方部分，则(1)

线性(2)

线性(3)

可加性第6页第6页二、对弧长曲线积分计算法定理:且上连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分注：因此积分限必须满足第7页第7页点设各分点相应参数为相应参数为则证:依据定义第8页第8页阐明:因此积分限必须满足(2)注意到因此上述计算公式相称于“换元法”.因此机动目录上页下页返回结束第9页第9页假如曲线L方程为则有假如方程为极坐标形式:则推广:

设空间曲线弧参数方程为则计算办法:

把曲线方程和弧长元素ds代入被积表示式，从小参数值到大参数值积分第10页第10页例1.

计算其中L是抛物线与点

B(1,1)之间一段弧.解:上点O(0,0)第11页第11页1.曲线形构件质量三、对弧长曲线积分应用2.曲线形构件重心形心第12页第12页3.曲线形构件转动惯量第13页第13页例2.计算半径为R,中心角为圆弧L

对于它对称轴转动惯量I(设线密度

=1).解:

建立坐标系如图,则第14页第14页例3.计算其中L为双纽线解:

在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得第15页第15页例4.计算曲线积分

其中为螺旋一段弧.解:

线第16页第16页例5.

计算其中为球面被平面所截圆周.解:注：由于被积函数定义在曲线上，化简，然后再计算因此可先用方程把被积函数xyzO第17页第17页例6.

计算其中为球面被平面所截圆周.解:由对称性可知机动目录上页下页返回结束第18页第18页思考:例5中改为计算解:

令,则圆形心在原点,故,如何机动目录上页下页返回结束第19页第19页例6.计算其中为球面解:化为参数方程则机动目录上页下页返回结束第20页第20页例7.有二分之一圆弧其线密度解:故所求引力为求它对原点处单位质量质点引力.第21页第21页内容小结1.定义2.性质(l

曲线弧

长度)第22页第22页3.计算•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧作业：作业册P52－54第23页第23页思考与练习1.已知椭圆周长为a,求提醒:原式=利用对称性分析:机动目录上页下页返回结束第24页第24页2.

设均匀螺旋形弹簧L方程为(1)求它关于z

轴转动惯量(2)求它质心.解:

设其密度为

ρ(常数).(2)L质量而(1)机动目录上页下页返回结束第25页第25页故重心坐标为第二节目录上页下页返回结束第26页第26页备用题1.

设

C

是由极坐标系下曲线及所围区域边界,求提醒:

分段积分机动目录上页下页返回结束第27页第27页2.

L为球面面交线,求其形心.在第一卦限与三个坐标解:

如图所表示,交线长度为由对称性,形心坐标为机动目录上页下页返回结束第28页第28页第二节一、对坐标曲线积分概念与性质二、对坐标曲线积分计算法三、两类曲线积分之间联系机动目录上页下页返回结束对坐标曲线积分

第六章第29页第29页一、对坐标曲线积分概念与性质1.

引例:

变力沿曲线所作功.设一质点受下列变力作用在xoy

平面内从点A沿光滑曲线弧L

移动到点B,求移“分小”“取近似”“求和”“取极限”恒力沿直线所作功处理办法:动过程中变力所作功W.第30页第30页1)“分小”.2)“取近似”把L分成n个有向小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做功为F

沿则用有向线段上任取一点在3)“求和”4)“取极限”令为n

个小弧段最大长度第31页第31页2.定义.设

L

为xoy

平面内从A到B有向曲线弧,在L上沿从A到B方向任意插入n-1存在,在有向曲线弧L上对坐标x曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.在L上有界把L分成n小段有向曲线个分点，在上任上任取一点令作和式若极限记为即第32页第32页对坐标y曲线积分.若记则对坐标曲线积分可写作其中,L

称为积分弧段或积分称为被积函数,积分曲线.同样可定义所求量往往为对坐标x,y曲线积分和.简记为若L为x坐标轴上从A到B线段，则第33页第33页若记所求量往往为对坐标x,y,z曲线积分和.简记为类似定义三元函数在空间有向曲线上对坐标曲线积分则可表示为第34页第34页3.性质(1)可加性(2)方向性

定积分是第二类曲线积分特例.注:

对坐标曲线积分必须注意积分弧段方向

!用L－

表示L反向弧,则第35页第35页二、对坐标曲线积分计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L参数方程为则曲线积分连续,存在,且有尤其是,假如L

方程为则第36页第36页相应参数设分点依据定义由于相应参数由于L为光滑弧,同理可证证实:

下面先证第37页第37页对空间光滑曲线弧:类似有计算办法:

把曲线方程和弧长元素dx,dy或dz代入被积表示式，从起点参数值到终点参数值积分第38页第38页例1.计算其中L为沿抛物线解法1

取x

为参数,则解法2取y

为参数,则从点一段.第39页第39页例2.计算其中L为(1)半径为a

圆心在原点上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点

B(–a,0).解:(1)取L参数方程为(2)取L方程为则则第40页第40页例3.设在力场作用下,质点由沿移动到解:(1)(2)

参数方程为试求力场对质点所作功.其中为第41页第41页例4.求其中从

z

轴正向看为顺时针方向.解:取参数方程第42页第42页例4.求其中从

z

轴正向看为顺时针方向.解:取参数方程第43页第43页三、两类曲线积分之间联系设有向光滑弧L

在(x,y)点与L同向切向量方向余弦为则两类曲线积分有下列联系令记A

在t

上投影为则第44页第44页类似地,在空间曲线

上两类曲线积分联系是令记A

在t

上投影为设空间有向光滑弧L

在(x,y,z)点与L同向切向量方向余弦为第45页第45页两者夹角为例6.设曲线段L

长度为s,证实续,证:设阐明:

上述证法可推广到三维第二类曲线积分.在L上连第46页第46页例5.将积分化为对弧长积分,解：其中L沿上半圆周第47页第47页1.定义2.性质(1)可加性(2)方向性内容小结3.计算计算办法:

把曲线方程和弧长元素dx,dy或dz代入被积表示式，从起点参数值到终点参数值积分4.两类曲线积分联系作业:作业册P55－59第48页第48页原点O

距离成正比,思考与练习1.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提醒:(解见P139例5)F

大小与M到原F

方向力F作用,求力F

所作功.思考:

若题中F方向改为与OM垂直且与

y

轴夹锐角,则机动目录上页下页返回结束第49页第49页2.

已知为折线ABCOA(如图),计算提醒:机动目录上页下页返回结束第50页第50页备用题

1.解:线移动到向坐标原点,其大小与作用点到xoy

面距离成反比.沿直求F所作功W.已知F

方向指一质点在力场F

作用下由点机动目录上页下页返回结束第51页第51页2.

设曲线C为曲面与曲面从ox

轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线C

参数方程;(2)计算曲线积分解:(1)机动目录上页下页返回结束第52页第52页(2)原式=令利用“偶倍奇零”机动目录上页下页返回结束第53页第53页第三节格林公式

格林公式

第六章第54页第54页单连通区域:D内任一闭曲线所围部分都属于D

多连通区域:非单连通区域域D边界L正向:沿L这个方向行走时定理1.

设区域D

是由分段光滑正向曲线L围成,则有(格林公式)函数在D上含有连续一阶偏导数,或一、格林公式

D总在行走者左边第55页第55页证实:1)若D既是X-型区域,又是

Y-

型区域,且则即①同理可证②①、②相加得:第56页第56页2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式区域,如分成两个分别用（1）结论第57页第57页推论:正向闭曲线L所围区域D面积格林公式例1:求椭圆所围面积解:二、例题第58页第58页例2.设L是一条分段光滑闭曲线,证实证:

令则利用格林公式,得注：利用格林公式时必须先验证条件(2)P(x,y)Q(x,y)在D上含有连续一阶偏导数例3.计算L是半径为a圆周正向边界曲线(1)区域D

是由分段光滑正向曲线

L围成例4.计算L是顺时针方向注：L不封闭时添加有方向辅助线，再用格林公式第59页第59页例5.

计算其中L为一无重点且但是原点分段光滑正向闭曲线.解:

令设L所围区域为D,由格林公式知在D内作圆周取逆时针方向,,对区域应用格林公式记L和

lˉ

所围区域为第60页第60页例6*.计算L是正向闭曲线注：P(x,y),Q(x,y)在D上不含有连续一阶偏导数时，采用挖点法，挖掉D上使P(x,y)Q(x,y)不含有连续一阶偏导数点例7.设且取正向,问下列计算办法是否正确?解：第61页第61页内容小结格林公式作业:作业册P60－611.利用格林公式时必须先验证条件2.L不封闭时添加有方向辅助线，再用格林公式3.P(x,y),Q(x,y)在D上不含有连续一阶偏导数时，采用挖点法，挖掉D上使P(x,y)Q(x,y)不含有连续一阶偏导数点第62页第62页

备用题1.

设

C

为沿从点依逆时针半圆,计算解:

添加辅助线如图,利用格林公式.原式=到点机动目录上页下页返回结束第63页第63页2.

质点M沿着以AB为直径半圆,从A(1,2)运动到点B(3,4),到原点距离,解:

由图知故所求功为锐角,其方向垂直于OM,且与y

轴正向夹角为求变力F

对质点M

所作功.(90考研)

F

大小等于点M在此过程中受力F作用,机动目录上页下页返回结束第64页第64页第三节平面曲线积分与路径无关、原函数

一、平面上曲线积分与路径无关二、全微分原函数第65页第65页一、平面上曲线积分与路径无关定义：设G是一个开区域

P(x

y)、Q(x

y)在区域G内含有一阶连续偏导数,假如对于G内任意指定两个点A、B以以及G内从点A到点B任意两条曲线L1、L2

等式恒成立就说曲线积分与路径无关积分与路径无关时,曲线积分记为第66页第66页二、原函数定义：若在区域G内有三、平面上曲线积分与路径无关等价条件定理设D是单连通域

,在D内含有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线

L,有(2)对D中任一分段光滑曲线

L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点相关.函数则下列四个条件等价:在D内是某一函数全微分则称u(x

y)为P(xy)dx+Q(x

y)dy原函数第67页第67页证实(1)(2)设为D内任意两条由A到B

有向分段光滑曲线,则(依据条件(1))(1)沿D中任意光滑闭曲线

L,有(2)对D中任一分段光滑曲线

L,曲线积分与路径无关,只与起止点相关.第68页第68页证实(2)(3)在D内取定点则同理可证因此有和任一点B(x,y),因曲线积分与路径无关,有函数(2)在D中(3)与路径无关,只与起止点相关.在D内是某一函数全微分,第69页第69页证实

(3)(4)设存在函数

u(x,y)使得则由于P,Q在D内含有连续偏导数,从而在D内每一点都有(3)(4)在D内每一点都有在D内是某一函数全微分,第70页第70页证实

(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域为(1)沿D中任意光滑闭曲线

L,有(4)在D内每一点都有第71页第71页注:

若D是单连通域，P(x,y),Q(x,y)有连续偏导数且则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=

Pdx+Qdy在域D内原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择以便积分路径;第72页第72页例1.

计算其中L为从O(0,0)到A(4,0)且与无其它交点