对偶单纯形法

§2.4.对偶单纯形法一、什麽是对偶单纯形法？

对偶单纯形法是应用对偶原理求解原始线性规划的一种方法——在原始问题的单纯形表格上进行对偶处理。

注意：不是解对偶问题的单纯形法！二、对偶单纯形法的基本思想

1、对“单纯形法”求解过程认识的提升从更高的角度理解单纯形法

初始可行基（对应一个初始基本可行解）

→迭代→另一个可行基（对应另一个基本可行解），直至所有检验数≤0为止。

所有检验数≤0意味着，说明原始问题的最优基也是对偶问题的可行基。换言之，当原始问题的基B既是原始可行基又是对偶可行基时，B成为最优基。定理2-5

B是线性规划的最优基的充要条件是，B是可行基，同时也是对偶可行基。单纯形法的求解过程就是：

在保持原始可行的前提下(b列保持≥0)，通过逐步迭代实现对偶可行(检验数行≤0)。

2、

对偶单纯形法思想：

换个角度考虑LP求解过程：保持对偶可行的前提下（检验数行保持≤0），通过逐步迭代实现原始可行（b列≥0，从非可行解变成可行解）。

三、对偶单纯形法的实施1、使用条件：

①检验数全部≤0；②解答列至少一个元素<0；2、实施对偶单纯形法的基本原则：在保持对偶可行的前提下进行基变换——每一次迭代过程中取出基变量中的一个负分量作为换出变量去替换某个非基变量(作为换入变量),使原始问题的非可行解向可行解靠近。3、计算步骤：

①建立初始单纯形表，计算检验数行。解答列≥0——已得最优解；至少一个元素<0,转下步;解答列≥0——原始单纯形法；至少一个元素<0,另外处理；

检验数全部≤0（非基变量检验数<0）至少一个检验数>0

基变换：

先确定换出变量——解答列中的负元素（一般选最小的负元素）对应的基变量出基；即相应的行为主元行。然后确定换入变量——原则是：在保持对偶可行的前提下，减少原始问题的不可行性。如果(最小比值原则),则选为换入变量,相应的列为主元列,主元行和主元列交叉处的元素为主元素。

按主元素进行换基迭代（旋转运算、枢运算），将主元素变成1，主元列变成单位向量，得到新的单纯形表。继续以上步骤，直至求出最优解。对偶单纯形法举例(例1-1)例1：用对偶单纯形法解下列线性规划解:先将原问题化为标准形式再将标准形式改为下列形式：对偶单纯形法举例(例1-2)则第一个基为B1=(P4,P5)=I基变量为y4,y5第一个对偶可行基对应的单纯形表如下

XB

b

Y1Y2Y3Y4Y5

Y4Y5-2-1

0-6-110-5-2-101-w

0

-15-24-500

T(B1)Y2Y5-w1/3011/6-1/60-1/3-50-2/3-1/318-150-1-40

T(B2)对偶单纯形法举例(例1-3)

T(B2)Y2Y5-w1/3011/6-1/60-1/3-50-2/3-1/318-150-1-40

T(B3)对偶单纯形法举例(例1-4)XBb

Y1Y2Y3Y4Y5

Y2Y3-w-5/410-1/41/415/2011/2-3/21/41/217/2-15/200-7/2-3/2最优解Y*=(0,1/4,1/2,0,0)T

最优值W’*=-17/2对偶单纯形法举例(例2-1)例2：用对偶单纯形法解下列线性规划解:先将原问题化为下列形式对偶单纯形法举例(例2-2)则第一个基为B1=(P3,P4,P5)=I基变量为y3,y4,y5第一个对偶可行基对应的单纯形表如下

T(B1)Y3Y4w-4-2-1100-6-1-30110-2-3000XBb

Y1Y2Y3Y4Y5

Y5-3-1-1001对偶单纯形法举例(例2-3)

T(B1)Y3Y4w-4-2-1100-6-1-30110-2-3000XBb

Y1Y2Y3Y4Y5

Y5-3-1-1001Y3Y2Y5w-2-5/301-1/3-1/321/310-1/3-1/3-1-2/300-1/32/36-100-1-1对偶单纯形法举例(例3-1)例3：用对偶单纯形法解下列线性规划解:取B1=(P3，P4，P5)=I为对偶可行基因此其对应的单纯形表如下对偶单纯形法举例(例3-2)x3x4x5-w-13-1100-2-110104220010-1-1000x3x4x5x1x2

T(B1)x3x1x5-w-70213021-10-1000402120-20-10

T(B2)

由于基变量X3所在行的变量系数全大于等于0，则原问题无可行解对偶单纯形法适用范围对偶单纯形法的适