模糊关系和模糊矩阵

1智能控制4.1.3模糊关系与模糊矩阵上海大学自动化系---杜鑫4.模糊数学与模糊控制4.1.3模糊关系与模糊矩阵4.1.3.1

普通关系4.1.3.2

模糊关系4.1.3.3

模糊关系的矩阵表示4.1.3.4

模糊关系的运算4.1.3.5

模糊向量4.1.3模糊关系与模糊矩阵4.1.3.1

普通关系4.1.3.2

模糊关系4.1.3.3

模糊关系的矩阵表示4.1.3.4

模糊关系的运算4.1.3.5

模糊向量大小关系父子关系弟兄关系朋友关系4.1.3.1

普通关系常见的普通关系普通关系是用数学方法来描述普通集合中的元素

之间有无关联。普通关系的定义：集合A和B的直积AB的一个子集R，称作A到B有二元关系，简称关系

由两个集合U与V的各自元素uU及vV构成的序偶（u，v）的集合，称为U与V的直积。(笛卡尔积)直积（笛卡尔积）普通关系的定义4.1.3.1

普通关系4.1.3模糊关系与模糊矩阵4.1.3.1

普通关系4.1.3.2

模糊关系4.1.3.3

模糊关系的矩阵表示4.1.3.4

模糊关系的运算恨之切长的像大的多爱之深常见的模糊关系4.1.3.2

模糊关系定义模糊集A和B的直积AB的一个模糊子集R称为A到B的二元模糊关系，其序偶(a,b)的隶属度为模糊集的直积运算法则与普通集合的直积运算相同。为n元模糊关系若论域为n个集合的直积，则称4.1.3.2

模糊关系模糊关系的定义例1：设X为横轴，Y为纵轴，直积X×Y是什么？其上的普通关系x>y是什么？YXY=XR:X>Y04.1.3.2

模糊关系模糊关系&&普通关系当x-y=1时，R(x,y)=0.00994.1.3.2

模糊关系模糊关系&&普通关系例2：设X为横轴，Y为纵轴，直积X×Y是整个平面，其上的模糊关系R=“x远大于y”，怎么表示？当x-y=10时，R(x,y)=0.54.1.3.2

模糊关系模糊关系&&普通关系例2：设X为横轴，Y为纵轴，直积X×Y是整个平面，其上的模糊关系R=“x远大于y”，怎么表示？当x-y=100时，R(x,y)=0.994.1.3.2

模糊关系模糊关系&&普通关系例2：设X为横轴，Y为纵轴，直积X×Y是整个平面，其上的模糊关系R=“x远大于y”，怎么表示？学生甲、乙、丙参加艺术五项全能比赛，各项均以20分为满分，比赛结果如表所示。学生唱歌跳舞乐器小品绘画甲1814191315乙1618121911丙1910151218模糊关系&&普通关系4.1.3.2

模糊关系若令18分以上为优，可写出A到B的普通关系为：（0-1矩阵形式给出）学生甲、乙、丙参加艺术五项全能比赛，各项均以20分为满分，比赛结果如表所示。模糊关系&&普通关系4.1.3.2

模糊关系

若我们用20分除各分数，得到的数值作为“优”的隶属函数，可求出甲、乙、丙与“成绩优”的模糊关系为：

唱歌跳舞乐器小品绘画甲0．90．70．950．650．75乙0．80．90．60．950．55丙0．950．50．750．60．9学生甲、乙、丙参加艺术五项全能比赛，各项均以20分为满分，比赛结果如表所示。模糊关系&&普通关系4.1.3.2

模糊关系

若我们用20分除各分数，得到的数值作为“优”的隶属函数，可求出甲、乙、丙与“成绩优”的模糊关系为（以模糊矩阵形式给出）：学生甲、乙、丙参加艺术五项全能比赛，各项均以20分为满分，比赛结果如表所示。模糊关系&&普通关系4.1.3.2

模糊关系4.1.3模糊关系与模糊矩阵4.1.3.1

普通关系4.1.2.2

模糊关系4.1.2.3

模糊关系的(矩阵)表示4.1.2.4

模糊关系的运算若论域X×Y是连续或无限的，则该论域上的关系不能用矩阵来表示，通常用隶属函数来表示模糊关系的表示4.1.2.3

模糊关系的(矩阵)表示若论域X×Y是有限集，（普通）模糊关系可以表示为（0-1）模糊矩阵，也可用图表法来表示模糊矩阵4.1.2.3

模糊关系的(矩阵)表示模糊矩阵【例】子女和父母“相像”的关系可以有以下的模糊矩阵表示：父

母模糊矩阵4.1.2.3

模糊关系的(矩阵)表示[例]设X=Y={1,2,3,4,5,6},X×Y中的X>Y的一般关系以及X>>Y的模糊关系可分别表示为：4.1.2.3

模糊关系的(矩阵)表示一般关系矩阵vs模糊关系矩阵X>YX>>Y4.1.3模糊关系与模糊矩阵4.1.3.1

普通关系4.1.2.2

模糊关系4.1.2.3

模糊关系的矩阵表示4.1.2.4

模糊关系的运算模糊矩阵的运算(交，并，补运算)4.1.2.4

模糊关系的运算【例】给定下面两个模糊矩阵，求其交，并，补运算模糊矩阵的运算(交，并，补运算)4.1.2.4

模糊关系的运算【例】给定下面两个模糊矩阵，求其交，并，补运算模糊矩阵的运算(交，并，补运算)4.1.2.4

模糊关系的运算定义为例：给定模糊矩阵则：4.1.2.4

模糊关系的运算模糊矩阵的运算(截阵)在日常生活中，两个单纯关系的组合，可以构一种新的合成关系。例如，有u,v,w三个人，若u是v的妹妹，而v又是w的丈夫，则与就是一种新的关系，即姑嫂关系。用关系式表示的话,可写作姑嫂=兄妹*夫妻,其中是*合成运算符模糊矩阵的运算(合成)4.1.2.4

模糊关系的运算模糊关系合成是指，有第一个集合和第二个集合之间的模糊关系及第二个集合和第三个集合之间的模糊关系得到第一个集合和第三个集合之间的模糊关系的一种运算模糊关系的合成，因使用的运算不同而有各种定义，我们这里介绍最为常有的max-min合成法模糊矩阵的运算(合成)4.1.2.4

模糊关系的运算R1=“x与y相关”R2=“y与z相关”X={1，2，3}，Y={y1,y2,y3,y4},Z={a,b}R1=R2=R3（2，a）=

max(min(0.4,0.9),……min(0.9,0.7))X=2Z=a例：模糊矩阵的运算(合成)4.1.2.4

模糊关系的运算123y1y2y3y4ab0.40.20.80.90.90.20.50.7模糊矩阵的运算(合成)4.1.2.4

模糊关系的运算模糊矩阵的运算(合成)4.1.2.4

模糊关系的运算运算规则：按矩阵运算规则元素相乘时，隶属度“取小”；(MIN)元素相加时，隶属度“取大”。(MAX)模糊矩阵的运算(合成)4.1.2.4

模糊关系的运算【例】：给定下列两个模糊矩阵，求它们的合成模糊矩阵的运算(合成)4.1.2.4

模糊关系的运算【例】：给定下列两个模糊矩阵，求它们的合成模糊矩阵的运算(合成)4.1.2.4

模糊关系的运算模糊矩阵的合成不满足交换律：模糊矩阵的运算(合成)4.1.2.4

模糊关系的运算例:某家中子女与父母的长像相似关系R为模糊关系，可表示为

也可以用模糊矩阵R来表示

R父母子0.20.8女0.60.1模糊矩阵的运算(合成)4.1.2.4

模糊关系的运算

S祖父祖母父0.50.7母0.10模糊矩阵的运算(合成)4.1.2.4

模糊关系的运算该家中父母与祖父母的相似关系也是模糊关系，可表示为用模糊矩阵S可表示为

这一计算结果表明孙子与祖父、祖母的相似程度为0.2、0.2；而孙女与祖父、祖母的相似程度为0.5、0.6。模糊矩阵的运算(合成)4.1.2.4

模糊关系的运算对称性、传递性、模糊矩阵的合成运算满足下列性质：模糊矩阵的运算(合成)4.1.2.4

模糊关系的运算4.1.3模糊关系与模糊矩阵4.1.3.1

普通关系4.1.3.2

模糊关系4.1.3.3

模糊关系的矩阵表示4.1.3.4

模糊关系的运算4.1.3.5

模糊向量若对任意的i(i=1,2,…,n)，都有，则称向量为模糊向量。其转置称为列向量，即4.1.3.5

模糊向量模糊向量的定义模糊向量的叉积（笛卡尔乘积）4.1.3.5

模糊向量例：已知两个模糊向量分别为：试计算它们的笛卡尔乘积解：模糊向量的叉积（笛卡尔乘积）4.1.3.5

模糊向量模糊向量叉积的意义在实际应用中，考虑如下情况：分别是同一概念在不同论域上的表现，把按照模糊关系的合成运算，应有即表现了论域的转换关系，用不同论域表现同一概念时，这两个论域的元素之间便发生了一定的联系，就表现了论域和元素间存在的联系（关系）。理解为模糊关系4.1.