线性二次型最优控制

线性二次型最优控制第1页，共38页，2023年，2月20日，星期六线性二次型最优控制(2/12)对于线性系统,若取状态变量x(t)和控制变量u(t)的二次型函数的积分作为性能指标泛函,这种动态系统的最优控制问题称为线性系统的最优二次型性能指标的最优控制问题,简称为线性二次型问题。该类问题的优点是能得到最优控制解u*(t)的统一解析表达形式和一个简单的且易于工程实现的最优状态反馈律。因此,线性二次型问题对于从事自动控制研究的理论工作者和工程技术人员都具有很大吸引力。近40年来,人们对各种最优状态反馈控制系统的结构、性质以及设计方法进行了多方面的研究,并且有许多成功的应用。第2页，共38页，2023年，2月20日，星期六线性二次型最优控制(3/12)线性二次型问题是最优控制理论中发展最为成熟、最有系统性、应用最为广泛和深入的分支。本节将陆续介绍线性二次型问题及其解的存在性、唯一性和最优控制解的充分必要条件。线性系统的二次型性能指标的最优控制问题可表述如下。第3页，共38页，2023年，2月20日，星期六线性二次型最优控制(4/12)线性二次型最优控制问题设线性时变系统的状态方程和输出量测方程为式中,x(t)是n维状态向量,u(t)是r维控制向量,y(t)是m维输出向量。A(t)、B(t)和C(t)分别是n×n、n×r和m×n维的分段连续的时变矩阵。假定系统的维数满足0<mrn,且u(t)不受约束。用z(t)表示预期的输出,它为m维向量,则定义输出误差向量如下e(t)=z(t)-y(t)第4页，共38页，2023年，2月20日，星期六线性二次型最优控制(5/12)控制的目标是寻找最优控制函数u*(t),使下列二次型性能指标泛函为最小式中,F为m×m维非负定的常数矩阵;Q(t)为m×m维时变的分段连续的非负定矩阵;R(t)为r×r维时变的分段连续的正定矩阵,且其逆矩阵存在并有界;末态时刻tf是固定的。第5页，共38页，2023年，2月20日，星期六线性二次型最优控制(6/12)下面对上述性能指标泛函作细致的讨论:1)性能指标泛函J[u(·)]中的第1项e(tf)Fe(tf),是为了突出对末端目标的控制误差的要求和限制而引进的,称为末端代价函数。非负定的常数矩阵F为加权矩阵,其各行各列元素的值的不同,体现了对误差向量e(t)在末态时刻tf各分量的要求不同、重要性不同。若矩阵F的第i行第i列元素值较大,代表二次项的重要性较大,对其精度要求较高。第6页，共38页，2023年，2月20日，星期六线性二次型最优控制(7/12)2)性能指标泛函J[u(·)]中的被积函数中的第1项e(t)Q(t)e(t),表示在系统工作过程中对控制误差向量e(t)的要求和限制。由于时变的加权矩阵Q(t)为非负定的,故该项函数值总是为非负的。一般情况下,e(t)越大,该项函数值越大,其在整个性能指标泛函所占的份量就越大。因此,对性能指标泛函求极小化体现了对误差向量e(t)的大小的约束和限制。在e(t)为标量函数时,该项可取为e2(t),于是该项与经典控制理论中判别系统性能的误差平方积分指标一致。第7页，共38页，2023年，2月20日，星期六线性二次型最优控制(8/12)非负定的时变矩阵Q(t)为加权矩阵,其各行各列元素的值的不同,体现了对相应的误差向量e(t)的分量在各时刻的要求不同、重要性不同。时变矩阵Q(t)的不同选择,对闭环最优控制系统的性能的影响较大。第8页，共38页，2023年，2月20日，星期六线性二次型最优控制(9/12)3)性能指标泛函J[u(·)]中的被积函数的第2项u(t)R(t)u(t),表示在系统工作过程中对控制向量u(t)的大小的要求和限制。由于时变的加权矩阵R(t)为正定的,故该项函数值在u(t)为非零向量时总是为正的。而且u(t)越大,该项函数值越大,其在整个性能指标泛函所占的分量就越大。因此,对性能指标泛函求极小化体现了对控制向量u(t)的大小的约束和限制。如u(t)为与电压或电流成正比的标量函数时,该项为u2(t),并与功率成正比,而u2(t)dt则与在[t0,tf]区间内u(t)所做的功或所消耗的能量成正比。第9页，共38页，2023年，2月20日，星期六线性二次型最优控制(10/12)因此,该项Lu是用来衡量控制功率大小的代价函数。正定的时变矩阵R(t)亦为加权矩阵,其各行各列元素的值的不同,体现了对相应的控制向量u(t)的分量在各时刻的要求不同、重要性不同。时变矩阵R(t)的不同选择,对闭环最优控制系统的性能的影响较大。综上所述,可见线性系统的二次型性能指标泛函的最优控制问题的实质在于用不大的控制量,来保持较小的控制误差,以达到所耗费的能量和控制误差的综合最优。第10页，共38页，2023年，2月20日，星期六线性二次型最优控制(11/12)现在讨论上述线性二次型问题的几种特殊情况。1)若令C(t)=I,z(t)=0,则y(t)=x(t)=-e(t)。这时,线性二次型问题的性能指标泛函变为该问题转化成:用不大的控制能量,使状态x(t)保持在零值附近,称为状态调节器问题。2)若令z(t)=0,则y(t)=-e(t)。这时,线性二次型问题的性能指标泛函变为该问题转化成:用不大的控制能量,使输出值y(t)保持在零值附近,称为输出调节器问题。第11页，共38页，2023年，2月20日，星期六线性二次型最优控制(12/12)3)若z(t)≠0,则e(t)=z(t)-y(t)。这时,线性二次型问题为:用不大的控制能量,使输出y(t)跟踪期望信号z(t)的变化,称为输出跟踪问题。下面将陆续介绍状态调节器、输出调节器和最优跟踪问题的求解方法、解的性质以及最优状态反馈实现,具体内容为：时变状态调节器定常状态调节器第12页，共38页，2023年，2月20日，星期六时变状态调节器(1/3)7.5.1时变状态调节器前面已经指出,状态调节器问题为:用不大的控制能量,使状态x(t)保持在零值附近的二次型最优控制问题。该问题的描述如下。第13页，共38页，2023年，2月20日，星期六时变状态调节器(2/3)有限时间LQ调节器问题设线性时变系统的状态方程和初始条件为式中,控制量u(t)不受约束。寻找最优控制函数u*(t),使下列二次型性能指标泛函为最小式中,F和Q(t)为非负定矩阵;R(t)为正定矩阵;末态时刻tf是固定的。第14页，共38页，2023年，2月20日，星期六时变状态调节器(3/3)由于所讨论的系统为线性系统,给定的性能指标泛函对状态变量x(t)和控制量u(t)均连续可微,因此,状态调节器问题可用变分法、极大值原理和动态规划方法中的任一种求解。本节采用变分法给出最优控制解存在的充分必要条件及最优控制问题解的表达式,讨论最优控制解的存在性、唯一性等性质及解的计算方法。内容为：最优控制的充分必要条件矩阵P(t)的若干性质最优控制的存在性与唯一性第15页，共38页，2023年，2月20日，星期六最优控制的充分必要条件(1/10)—定理7-141.最优控制的充分必要条件定理7-14(有限时间LQ调节器)对于有限时间LQ调节器问题,为其最优控制的充分必要条件是最优轨线为下述状态方程的解,而最优性能值为式中,P(t)为下述矩阵黎卡提微分方程的正定或半正定解。第16页，共38页，2023年，2月20日，星期六最优控制的充分必要条件(2/10)第17页，共38页，2023年，2月20日，星期六最优控制的充分必要条件(10/10)上述具有充分必要的最优控制实际上是一个线性状态反馈,因此,可以将线性系统最优状态调节器的最优控制表示成如图7-6所示的状态反馈形式,其闭环系统的状态方程为图7-6线性系统最优状态调节器上述结论是线性时变系统的结论,当系统是线性定常的时候,上述结论仍然成立,而且计算还要简单。第18页，共38页，2023年，2月20日，星期六矩阵P(t)的若干性质(1/3)2.矩阵P(t)的若干性质对黎卡提微分方程的解P(t),有如下性质。1)P(t)是黎卡提微分方程末值问题的解,与初始状态无关。当在区间[t0,tf]内A(t)、B(t)、R(t)和Q(t)为分段连续的时间函数,R(t)为正定且其逆矩阵有界,Q(t)矩阵为非负定时,则根据微分方程解的存在性和唯一性理论,

P(t)的解在区间[t0,tf]内唯一存在。第19页，共38页，2023年，2月20日，星期六矩阵P(t)的若干性质(2/3)2)对于任意t[t0,tf],P(t)是对称矩阵。事实上,将黎卡提微分方程和边界条件的两边作转置,并考虑到R(t),Q(t)和F都为对称矩阵,则有因此,矩阵P(t)和它的转置P(t)满足同一个矩阵微分方程和边界条件。根据微分方程解的存在性和唯一性理论,则对任意t[t0,tf],有P(t)=P(t),即P(t)是对称的。第20页，共38页，2023年，2月20日，星期六矩阵P(t)的若干性质(3/3)3)于矩阵P(t)的对称性,则n×n维的黎卡提矩阵微分方程实质上是一个由n(n+1)/2个非线性标量微分方程组成的微分方程组。因此,求解P(t),只要求解n(n+1)/2个非线性微分方程即可。第21页，共38页，2023年，2月20日，星期六最优控制的存在性与唯一性(1/13)—定理7-153.最优控制的存在性与唯一性对于一般的最优控制问题,论证最优控制解的存在性是很困难的,但对于最优状态调节器问题,可以证明最优控制解的存在性和唯一性。对此,有如下定理。定理7-15对线性时变系统的最优状态调节器问题,当tf<时,最优控制u*(t)存在且唯一。第22页，共38页，2023年，2月20日，星期六最优控制的存在性与唯一性(5/13)—例7-11例7-11已知一阶被控系统的状态方程和性能指标分别为式中,f0,q0,r>0。试求其最优控制和最优状态轨线。解根据定理7-14,可以求出该问题的最优控制为式中,p(t)是如下黎卡提微分方程及边界条件的解第23页，共38页，2023年，2月20日，星期六最优控制的存在性与唯一性(6/13)由上述微分方程可知,p(t)的解满足积分上式,可得其中第24页，共38页，2023年，2月20日，星期六最优控制的存在性与唯一性(7/13)最优状态轨线为下列一阶时变微分方程的解于是得第25页，共38页，2023年，2月20日，星期六最优状态轨线为对上述线性定常系统的最优状态调节器问题,其最优状态反馈律和闭环系统状态方程都呈现时变的性质。最优控制的存在性与唯一性(8/13)图7-7状态最优调节器结构图这是最优状态调节器在tf<的一个重要性质。图7-7是例7-11的最优状态调节器的结构图。图中信号p(t)是对黎卡提微分方程进行电子电路模拟的结果,其初始信号p(0)是对黎卡提微分方程的解在t=0时的值。第26页，共38页，2023年，2月20日，星期六定常状态调节器(1/12)7.5.2定常状态调节器前面已经指出,即使被控系统是线性定常的,性能指标泛函中的矩阵Q(t)和R(t)也为定常的,在末态时刻为有限时间(tf<)时,其最优状态调节器的最优状态反馈律也是时变的。这样就为控制方法的实施带来了相当大的困难,控制系统的结构变得复杂。显然,最优状态反馈律为时变的症结在于P(t)是时变的。因此,建立P(t)为定常矩阵的最优状态调节器问题的条件就是得到定常最优状态反馈律的条件。以定常最优状态反馈律构成闭环系统,既大大减少了控制系统实施的困难性,简化了系统的结构,又便于维护使用,无论在理论上和工程上都具有较大价值。第27页，共38页，2023年，2月20日，星期六定常状态调节器(2/12)从例7-11的一阶线性定常系统的最优状态调节器问题可以看出,随着末态时刻tf的无限增长,黎卡提微分方程的解p(t)趋于常数,而最优状态反馈律也转化为定常的。因此,对线性定常系统的最优状态调节器问题,若其泛函指标中矩阵Q(t)和R(t)均为定常,最优状态反馈律为定常的条件与末态时刻tf无限有关。下面将先给出线性定常系统在无限时间时最优状态调节器问题,再给出和证明最优状态反馈律为定常的条件以及定常的最优状态反馈解。线性定常系统在无限时间时最优状态调节器问题的描述如下。第28页，共38页，2023年，2月20日，星期六定常状态调节器(3/12)无限时间最优状态调节器问题设线性定常系统的状态方程和初始条件为式中,系统矩阵A和输入矩阵B为常数矩阵;控制量u(t)不受约束。寻找最优控制函数u*(t),使下列二次型性能指标泛函为最小式中,Q为非负定常数矩阵;R为正定常数矩阵。第29页，共38页，2023年，2月20日，星期六定常状态调节器(4/12)上述无限时间最优状态调节器问题的性能指标泛函中没有末态性能指标项S(x(tf),tf)。这是因为,对无限时间调节器问题,使性能指标泛函最小的末态x()必定为原点,否则,J[u(·)]将趋于。因此,x()必为原点,此时再规定末态性能指标项是无意义的。前面已经指出,上述线性定常系统的无限时间最优状态调节器的最优状态反馈律为定常的条件与末态时刻tf为无限的有关。该结论可简单说明如下。第30页，共38页，2023年，2月20日，星期六定常状态调节器(5/12)由黎卡提微分方程解的性质可知,矩阵P(t)是如下黎卡提微分方程末值问题的解。式中,矩阵A、B、Q和R都为定常矩阵。由于P(t)与末态时刻tf有关,可记为P(t,tf)。由微分方程理论可知,上述定常微分方程的解P(t,tf)的值只与tf-t有关,与时刻t无直接关系。因此,有第31页，共38页，2023年，2月20日，星期六定常状态调节器(6/12)即当tf→时定常微分方程(7-178)的解P(t,tf)与时间t无关。因此,只要黎卡提微分方程(7-178)的解P(t,tf)存在且为有限矩阵,则P(t,tf)必为常数矩阵。所以,该黎卡提微分方程可记为如下代数矩阵方程也称为黎卡提矩阵代数方程。因此,上述结论可归纳为如下线性定常系统的无限时间最优状态调节器定理。第32页，共38页，2023年，2月20日，星期六定常状态调节器(7/12)—定理7-16定理7-16(无限时间状态调节器定理)无限时间最优状态调节器问题的最优控制存在且唯一,并可由下式决定u*=-R-1BPx式中,n×n维矩阵P是黎卡提矩阵代数方程的唯一非负定的解。此时,最优状态调节器的闭环系统状态方程为从任意初始状态开始的最优性能指标为第33页，共38页，2023年，2月20日，星期六定常状态调节器(8/12)关于线性定常系统的无限时间最优状态调节器的定理,有如下说明。1)在该定理中,强调了被控的线性定常系统状态要能镇定的(即能稳的)。由6.3节知识可知,状态能稳性的意义是:一定存在一个状态反馈,使状态能稳的系统闭环渐近稳定。无限时间的最优状态调节器问题要求调节被控系统在末态时刻tf→时的状态x()为零状态(原点)。如果被控系统是状态能控的,当然就存在线性定常状态反馈律,使被控系统的反馈闭环系统是渐近稳定的,即状态x(t)可逐渐衰减至零;或存在时变的状态反馈律,使