系统运动的稳定性分析

系统运动的稳定性分析1第1页，共46页，2023年，2月20日，星期六稳定性判别方法线性定常系统的稳定性：代数判据（劳斯判据、赫尔维茨判据）；奈奎斯特判据；对数稳定判据等。非线性定常系统的稳定性：描述函数法(要求系统的线性部分具有良好的低通滤波性能)；相平面法(仅适合于一阶、二阶非线性系统)。现代控制理论中：各类系统（包括单变量、多变量、线性、非线性、定常、时变系统）的稳定性：李雅普诺夫稳定性理论。经典控制理论中：2第2页，共46页，2023年，2月20日，星期六李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫稳定性理论提出了判断系统稳定性的两种方法：1、间接法：利用线性系统微分方程的解来判定系统的稳定性，又称李雅普诺夫第一法；2、直接法：构造李雅普诺夫函数并根据其性质来直接判定系统的稳定性，又称李雅普诺夫第二法。它特别适用于那些难以求解的非线性系统和时变系统。3第3页，共46页，2023年，2月20日，星期六4.1李雅普诺夫稳定性定义4.2李雅普诺夫第一法4.3李雅普诺夫第二法4.4线性系统稳定性分析4第4页，共46页，2023年，2月20日，星期六4.1李雅普诺夫稳定性定义

一.BIBO稳定性的概念李雅普诺夫稳定性的物理意义就是系统响应是否有界。对于一个初始条件为零的系统，如果在有界输入u(t)作用下，系统的输出y(t)是有界的，则此系统称为外部稳定，即有界输入-有界输出稳定(BIBO–BoundaryInputBoundaryOutput稳定)。5第5页，共46页，2023年，2月20日，星期六状态，记为xe。平衡状态满足。对于线性定常系统，其平衡状态xe应满足代数方程。二、平衡状态李雅普诺夫稳定性均是相对于平衡状态而言。1、平衡状态的定义设系统状态方程为：若对所有t，状态x满足态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。，则称该状态x为平衡由平衡状2、平衡状态的求法当A为非奇异矩阵时，系统存在惟一的一个平衡状态xe=0。而当A为奇异矩阵时，则系统将有无限多个平衡状态。6第6页，共46页，2023年，2月20日，星期六非线性系统方程的解可能有多个。该系统存在三个平衡状态：由于任意一个已知的平衡状态，总可以经过适当的坐标变换将其移到状态空间的坐标原点xe=0处，故为讨论方便又不失一般性，我们今后只讨论在坐标原点处的平衡状态的稳定性分析。7第7页，共46页，2023年，2月20日，星期六在n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的(欧几里德)范数，用表示，则长度称为向量x与xe的距离，写为：三．范数的概念范数的定义向量的距离8第8页，共46页，2023年，2月20日，星期六若能使系统从任意初态x0出发的解在t>t0的过程中，都位于以xe为球心、任意规定的实数ε为半径的闭球域S(ε)内，即四、李雅普诺夫稳定性定义1、李雅普诺夫意义下的稳定性定义：对于系统，设初始状态位于以平衡状态xe为球心、δ为半径的闭球域S(δ)内，即则称系统的平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。9第9页，共46页，2023年，2月20日，星期六几何意义按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要不超出S(ε)，则认为是稳定的，这与经典控制理论中线性定常系统的稳定性定义有差异。10第10页，共46页，2023年，2月20日，星期六2、渐近稳定性则称平衡状态xe是李雅普诺夫意义下渐近稳定的。这时，从S(δ)出发的状态轨线不仅不会超出S(ε)，且当t→∞时最终收敛于xe，可见经典控制理论中的稳定性定义与渐近稳定性对应。定义：如果系统的平衡状态xe不仅有李雅普诺夫意义下的稳定性，且对于任意小量μ>0，总有11第11页，共46页，2023年，2月20日，星期六几何意义12第12页，共46页，2023年，2月20日，星期六定义：当初始状态扩展到整个状态空间，且平衡状态xe均具有渐近稳定性，称这种平衡状态xe是大范围渐近稳定的。此时，δ→∞，S(δ)→∞。当t→∞时，由状态空间中任意一点出发的轨迹都收敛于xe。3、大范围渐近稳定性对于线性系统来说，如果平衡状态是渐近稳定的，则必然也是大范围渐近稳定的。对于非线性系统，使xe为渐近稳定平衡状态的球域S(δ)一般是不大的，常称这种平衡状态为小范围渐近稳定。13第13页，共46页，2023年，2月20日，星期六大范围稳定局部稳定几何意义14第14页，共46页，2023年，2月20日，星期六定义：如果对于某个实数ε>0和任一实数δ>0，不管这两个实数多么小，在S(δ)内总存在一个状态x0，使得由这一状态出发的轨迹超出S(ε)，则称平衡状态xe是不稳定的。4、不稳定性几何意义15第15页，共46页，2023年，2月20日，星期六对于不稳定平衡状态的轨迹，虽然超出了S(ε)，但并不意味着轨迹趋于无穷远处。例如以下物理系统比喻不稳定，轨迹趋于S(ε)以外的平衡点。当然，对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的轨迹，理论上趋于无穷远。16第16页，共46页，2023年，2月20日，星期六如果有界，则称xe稳定；如果不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则称xe渐近稳定；如果无界，则称xe不稳定；17第17页，共46页，2023年，2月20日，星期六4.2李雅普诺夫第一法

一．线性定常系统稳定性判定（1）平衡状态xe是渐进稳定的充分必要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部；（2）平衡状态xe是不稳定的充分必要条件是矩阵A存在特征值具有正实部；（3）当系统用传递函数描述时，系统BIBO稳定的充分必要条件为G(s)的极点具有负实部。定理线性定常系统18第18页，共46页，2023年，2月20日，星期六例设系统的状态空间表达式为：试分析系统平衡状态xe=0的稳定性与系统的BIBO稳定性。解：系统的特征方程为A阵的特征值为+1，-1。故系统平衡状态xe是不稳定的。系统传递函数传递函数极点位于s左半平面，故系统是BIBO稳定的。19第19页，共46页，2023年，2月20日，星期六BIBO稳定渐近稳定结论：1.线性定常系统是内部稳定的，则其必是BIBO稳定的；2.线性定常系统是BIBO稳定的，则不能保证系统一定是渐近稳定的；3.如果线性定常系统既能控又能观测，则其内部稳定性与外部稳定性是等价。BIBO稳定渐近稳定20第20页，共46页，2023年，2月20日，星期六二．非线性系统的稳定性判定对于非线性系统，设xe为其平衡点。对于可以线性化的非线性系统，可以在一定条件下用它的线性化模型来研究。系统在平衡状态xe附近的稳定性，可将非线性向量函数在xe附近做泰勒级数展开，得21第21页，共46页，2023年，2月20日，星期六(1)A的所有特征值均具有负实部，则平衡状态xe是渐近稳定的；(2)A的特征值至少有一个具有正实部，则平衡状态xe是不稳定的。(3)A的特征值至少有一个实部为0，则不能根据A来判平衡状态xe的稳定性。李雅普诺夫给出以下结论：22第22页，共46页，2023年，2月20日，星期六例4.2已知非线性系统的状态空间表达式，试分析系统平衡状态的稳定性。解：系统有2个平衡状态：xe1=[0,0]和xe2=[1,1]在xe1=[0,0]处线性化，A1阵的特征值为+1，-1。故系统在xe1处是不稳定的。在xe2=[1,1]处线性化，A2阵的特征值为+j、-j，其实部为0,不能根据A来判断系统的稳定性。23第23页，共46页，2023年，2月20日，星期六李雅普诺夫第二法是通过构造李雅普诺夫函数V(x)来直接判断运动稳定性的一种定性方法。根据经典力学中的振动现象，若系统能量随时间推移而衰减，系统迟早会达到平衡状态。李雅普诺夫提出，虚构一个能量函数，称为李雅普诺夫函数，记为V(x,t)或V(x)。李雅普诺夫第二法利用V(x)和的符号特征，直接对平衡状态稳定性作出判断，无需求解系统状态方程的解，故称直接法。4.3李雅普诺夫第二法24第24页，共46页，2023年，2月20日，星期六直接法解决了一些其它稳定性判据难以解决的非线性系统的稳定性问题，但遗憾的是对一般非线性系统仍未找到构造李雅普诺夫函数V(x)的通用方法。尽管如此目前它仍然是研究系统(包括时变、非线性)稳定性的有力工具。对于线性系统，通常用二次型函数V(x)=xTPx作为李雅普诺夫函数。25第25页，共46页，2023年，2月20日，星期六1、二次型函数的定义及其表达式①定义：设为n个变量，二次型标量函数为其中，，则称P为实对称阵。一．预备知识26第26页，共46页，2023年，2月20日，星期六例如：显然，二次型V(x)完全由矩阵P确定。因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的。②二次型的标准型只含有平方项的二次型。27第27页，共46页，2023年，2月20日，星期六2、标量函数V(x)的符号和性质设：，且V(0)=0。对于任何非零向量x①V(x)>0，称V(x)为正定的。例如：②V(x)<0，称V(x)为负定的。例如：③V(x)≥0，称V(x)为半正定的。例如：④V(x)≤0，称V(x)为半负定的。例如：⑤V(x)>0或V(x)<0，称V(x)为不定的。例如：28第28页，共46页，2023年，2月20日，星期六设实对称矩阵二次型函数V(x)=xTPx为正定的充要条件是，P阵的所有各阶主子行列式均大于零，即：即:3、赛尔维斯特(Sylvester)准则29第29页，共46页，2023年，2月20日，星期六③、如果当，有。二、李雅普诺夫第二法的判稳定理1、系统渐近稳定的判别定理1定理1设系统状态方程为:，其状态平衡点xe=0，满足。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数V(x,t)，且满足以下条件①、V(x,t)是正定的；②、是负定的；则系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。30第30页，共46页，2023年，2月20日，星期六而且，当时，有，所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。解：平衡状态例4.5非线性系统的状态方程为试分析其平衡状态的稳定性。是负定的，因此V(x)是一个李雅普诺夫函数。xe=0(即x1=0，x2=0)选取正定标量函数则31第31页，共46页，2023年，2月20日，星期六③、在时不恒等于零，则在系统原点处的平衡状态是渐近稳定的。定理2设系统状态方程为:，其状态平衡点xe=0，满足。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数V(x,t)，且满足以下条件①、V(x,t)是正定的；②、是负半定的；2、系统渐近稳定的判别定理2而且，当时，有，则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。32第32页，共46页，2023年，2月20日，星期六定理的运动分析：以二维空间为例33第33页，共46页，2023年，2月20日，星期六例4.6非线性系统的状态方程为试分析其平衡状态的稳定性。解：平衡状态xe=0(即x1=0，x2=0)③进一步分析的定号性：如果假设，必然要求，进一步要求。但从状态方程可知，必满足表明只可能在原点处恒等于零。渐近稳定。①选取正定标量函数则或时，，负半定。而且，当时，有，所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。②当34第34页，共46页，2023年，2月20日，星期六若在该例中①选取正定标量函数为负定②则由以上分析看出，选取不同的V(x)，可能使问题分析采用不同的判别定理。而且，当时，有，所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。35第35页，共46页，2023年，2月20日，星期六①、V(x,t)是正定的；②、是负半定的，且时，。则系统在原点处的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的，但不是渐近稳定的。这时系统可保持在一个稳定的等幅振荡状态上。3、系统李氏稳定的判别定理定理3设系统状态方程为:，其状态平衡点xe=0，满足。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数V(x,t)，且满足以下条件36第36页，共46页，2023年，2月20日，星期六例4.7非线性系统的状态方程为试分析其平衡状态的稳定性。①选取正定标量函数为由上式可见，，则系统在原点处的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的，但不是渐近稳定的。解：平衡状态xe=0(即x1=0，x2=0)②则37第37页，共46页，2023年，2月20日，星期六则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。4、系统不稳定的判别定理定理4设系统状态方程为:，其状态平衡点xe=0，满足。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数V(x,t)，且满足以下条件①、V(x,t)是正定的；②、是正定的；38第38页，共46页，2023年，2月20日，星期六选取正定标量函数为，则例4.8非线性系统的状态方程为试分析其平衡状态的稳定性。系统不稳定。解：平衡状态xe=0(即x1=0，x2=0)39第39页，共46页，2023年，2月20日，星期六四个定理的区别，主要集中在对于定号性判别上，可以简述为以下过程：定理1：且()可知系统构造V函数充分条件稳定性渐近稳定不稳定李氏稳定渐近稳定定理2：定理3：定理4：40第40页，共46页，2023年，2月20日，星期六在定理的应用中，要注意以下几点：(1)构造一个合理的李雅普诺夫函数，是李氏第二法的关键。李氏函数具有几个突出性质：1)李雅普诺夫函数是一个标量函数。2)李雅普诺夫函数是一个正定函数，至少在原点的邻域是如此。3)对于给定系统，李雅普诺夫函数不是唯一