相交线与平行线教材分析

相交线与平行线教材分析第1页，共77页，2023年，2月20日，星期六

北京市东城区教师研修中心.成绩与挑战名单人数考试人数平均分及格率良好率优秀率难度系数8059794480.191.4%81.55%45.66%0.80（1）学生的平均分、及格率、优秀率统计数据第2页，共77页，2023年，2月20日，星期六

北京市东城区教师研修中心.成绩与挑战（2）各分数段学生人数第3页，共77页，2023年，2月20日，星期六

北京市东城区教师研修中心.成绩与挑战题号12345678910合计平均分（赋分3）32.92.126.5选择题的数据统计：第4页，共77页，2023年，2月20日，星期六

北京市东城区教师研修中心.成绩与挑战填空题的数据统计：第5页，共77页，2023年，2月20日，星期六

北京市东城区教师研修中心.成绩与挑战解答题的数据统计：题号（赋分）19（4）20（4）21（5）22（4）23（4）平均分3.73.3第6页，共77页，2023年，2月20日，星期六

北京市东城区教师研修中心.成绩与挑战第7页，共77页，2023年，2月20日，星期六

北京市东城区教师研修中心本学期的教学内容安排本学期，完成人教版义务教育课程标准实验教科书七年级下册：（61课时）第五章《相交线与平行线》（14课时）第六章《平面直角坐标系》（7课时）第七章《三角形》（9课时）第九章《不等式与不等式组》（11课时）第十章《数据的收集、整理与描述》（9课时）八年级上册：第十一章《全等三角形》的教学（11课时）第8页，共77页，2023年，2月20日，星期六

北京市东城区教师研修中心.本学期教学研修计划序号日期地点研修活动内容主讲人参加人员12.24研修中心本学期教学安排与教学要求、《相交线与平行线》教材教法研究雷晓莉初一数学教师23.3研修中心《平面直角坐标系》《三角形》教材教法研究韩芃胥世菊

初一数学教师33.10研修中心《不等式与不等式组》《数据的收集、整理与描述》教材教法研究王芳曹自由初一数学教师43.24研修中心《全等三角形》教材教法研究梁燕初一数学教师54.7171中学

研究课陈蕾王悦初一数学青年教师第9页，共77页，2023年，2月20日，星期六

北京市东城区教师研修中心，.序号日期地点研修活动内容主讲人参加人员65.1922中研究课待定初一数学青年教师7待定研修中心专业素养研修待定初一数学教师8待定研修中心专业素养研修待定初一数学教师96.9dchjyleixiaoli@126.com期末复习安排雷晓莉初一数学教师本学期教学研修计划第10页，共77页，2023年，2月20日，星期六

北京市东城区教师研修中心相交线与平行线教学分析一.几何学介绍二.知识结构三.教学建议第11页，共77页，2023年，2月20日，星期六1.初高中的几何学习一、几何学简介第12页，共77页，2023年，2月20日，星期六2.欧氏几何与非欧几何简介任何一个玩过游戏的人大概都曾改变过游戏的规则。有时，只是改变一条游戏规则，一个游戏就完全不同了。几何也许可与游戏比较----几何的公设就是规则。如果你改变了即使一条公设，你也许能创立一种新的几何学。

欧几里得的几何学，被称为欧式几何，是建立在几个公设之上的（不正自明的真理）。按照欧几里得同代人的说法，一个公设是不能从其它的公设得到显然的真理。一、几何学简介第13页，共77页，2023年，2月20日，星期六这五条公设分别为：1.由任意一点到任意一点可作直线。2.一条有限直线可以继续延长。3.以任意点为圆心及任意的距离为半径可以画圆。4.凡直角都相等。5.同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。一、几何学简介第14页，共77页，2023年，2月20日，星期六欧几里得的第五公设被认为是平行公设(可在第五公设中未提及平行),之所以有此名称是因为它从逻辑上等价于:过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.

前四条公设看起来非常直截了当,而第五公设看起来却不那么显而易见.若干世纪中,数学家们试图证明它可以从其他公设推出却没有成功.

所以数学家试图利用间接证明,他们假定第五公设是假的,并试图得到逻辑上的矛盾.有两种假设:经过直线外一点存在不止一条直线平行已知直线或不存在直线平行于已知直线.一、几何学简介第15页，共77页，2023年，2月20日，星期六

俄国数学家罗巴切夫斯基(1973-1856),德国数学家高斯(1777-1860)和匈牙利数学家鲍耶(1802-1860)作了第一种假设:经过直线外一点存在多于一条的直线平行于已知直线。此假设导致一种与欧几里得的其他公设都不矛盾的新非欧几何学,它与任何不依赖于平行公设的的定理都不矛盾.这种几何被称为罗氏几何或双曲几何.罗氏几何像欧氏几何一样是完善的、严密的几何学。

一、几何学简介第16页，共77页，2023年，2月20日，星期六德国的数学家黎曼作了第二种假设:过直线外一点不存在直线与已知直线平行.对于其他假设作了些许调整,这一假设导致了第二种非欧几何学,它同样与任何不依赖于平行公设的的定理都不矛盾.黎曼几何学也被称为椭圆几何学.一、几何学简介第17页，共77页，2023年，2月20日，星期六欧氏几何的所有定理,除了那些直接或非直接依赖于平行公设的定理外,在罗氏几何和黎曼几何中都依然成立.在欧式几何中依赖于平行公设的定理中人们最熟悉的例子是三角形内角和定理:三角形内角和等于180°;在罗氏几何中相应的定理:三角形内角和小于180°;在黎曼几何中:三角形内角和大于180°;一、几何学简介第18页，共77页，2023年，2月20日，星期六黎曼几何(椭圆几何)模型你可以用球面做黎曼几何的一个模型.为了建立模型,你需对欧式几何的公设作两点改变.1.你用”大圆”代替”直线”.2.把每一对球面上的径对点(位于同一直径两端点)代替“点”.在欧式几何中直线无端点且长是无限的.一、几何学简介第19页，共77页，2023年，2月20日，星期六在黎曼几何中大圆无端点,但它的长度却是有限的.大圆上介于两点的部分叫做测地线.测地线是黎曼几何中的线段.显然在黎曼几何中不存在平行线,因为球的所有大圆都相交.在我们的日常生活中,欧式几何是使用的,在地球表面的航海,航空等实际问题中,黎曼几何更准确一些.一、几何学简介第20页，共77页，2023年，2月20日，星期六下面是罗氏几何的一个模型,此模型是圆内的所有点,不包括边界(圆周).在这个世界中，“直线段”已经不再是我们熟悉的直线段了，而是一条条垂直于边界的圆弧（图1中蓝色的那条）（还包括圆的直径）。而我们眼中的直线，在他们看来就是曲线（图1中红色的那条）

一、几何学简介第21页，共77页，2023年，2月20日，星期六

这个世界中的几何满足欧式几何的前面四个公设，但不满足第五公设。比如，两点确定一条直线，因为过两点的圆弧只有一条垂直于这个世界的边界；而直线可以无限延长，因为不包括边界。但是，这个世界不满足第五公设。一、几何学简介第22页，共77页，2023年，2月20日，星期六

从图2可以看到，过一点可以作无数条直线不与已知直线平行；从图3可以看到，三角形的内角和小于180度。一、几何学简介第23页，共77页，2023年，2月20日，星期六

下面这幅图片可以帮助你更好地理解这个双曲模型。这是该平面上的一个三角形剖分，里面的所有三角形都是等边三角形，而且所有这些三角形都是一样大的。你可以看到7个等边三角形共用一个顶点，这说明三角形的内角和小于180度。在宇宙中或原子核世界,罗氏几何更符合客观实际.一、几何学简介第24页，共77页，2023年，2月20日，星期六按几何特性（曲率），现存非欧几何的类型可以概括如下：坚持第五公设，引出欧几里得几何。以“可以引最少两条平行线”为新公设，引出罗氏几何（或称双曲面几何）。以“一条平行线也不能引”为新公设，引出黎曼几何（或称椭圆几何）。

非欧几何分类一、几何学简介第25页，共77页，2023年，2月20日，星期六一般来讲，非欧几何有广义、狭义、通常意义三个不同含义:

广义的非欧几何：泛指一切和欧几里得几何不同的几何学；狭义的非欧几何：只是指罗式几何或黎曼几何；通常意义的非欧几何：指罗式几何和黎曼几何二者。一、几何学简介第26页，共77页，2023年，2月20日，星期六

平面几何是研究平面图形的形状、大小与位置的学科．实际上这个定义没有真正揭示几何学的本质，实际上我们研究几何本身是研究：图形变换后的性质不变的学科．而这个认识就是基于几何变换的作用以及学习几何的目的．因此要学会从几何变换的角度看问题与研究问题．一、几何学简介平面几何研究的对象：第27页，共77页，2023年，2月20日，星期六二、知识结构第28页，共77页，2023年，2月20日，星期六

北京市东城区教师研修中心.三、教学建议本章的学习目标是“语言关、图形关、互化关”，体会数量与位置之间的内在联系1.本章的学习目标第29页，共77页，2023年，2月20日，星期六

北京市东城区教师研修中心.（１）解读图形与语言对应关系的能力，为逐步培养几何直观做必要的铺垫；（２）解读好数量关系与位置关系的含义以及两者之间的关系；（3）培养“有序”的思想方法（观察与思考）图形内部与外部；先识别谁；先想什么；先做什么；先表述什么？2.解决的问题三、教学建议第30页，共77页，2023年，2月20日，星期六3.本章教学所需总课时为１４节５．１相交线４课时５．２平行线３课时５．３平行线的性质３课时５．４平移２课时小结２课时三、教学建议第31页，共77页，2023年，2月20日，星期六

本章知识实际上分为两部分其一：知识部分，即研究相交线、平行线以及平行线的性质、这部分主要解决的是知识的确立以及相关的概念，特征以体验平面几何知识的研究对象与方法等问题、其二：是平行线知识的使用问题，即平移问题、这部分知识解决的是图形的移动问题，要研究图形移动的目的、移动的条件、移动的方法以及相对应的表述、三、教学建议第32页，共77页，2023年，2月20日，星期六

在本章学习的知识，可以说都是起始的知识，它们都担负着各自的重要作用．

1.基本形成研究几何的按线型展开研究的基本思路；

2.基本确立位置关系的确立与相应的数量关系对应，并形成数量与位置并不一一对应的关系．

三、教学建议第33页，共77页，2023年，2月20日，星期六

教学时，应研究知识内容，研究学生，研究教法。教学时，突出概念的形成过程，突出知识的探究过程，这是学生能力的增长点。

三、教学建议第34页，共77页，2023年，2月20日，星期六三、教学建议第35页，共77页，2023年，2月20日，星期六三、教学建议第36页，共77页，2023年，2月20日，星期六三、教学建议第37页，共77页，2023年，2月20日，星期六三、教学建议第38页，共77页，2023年，2月20日，星期六三、教学建议第39页，共77页，2023年，2月20日，星期六垂线段最短三、教学建议第40页，共77页，2023年，2月20日，星期六三、教学建议第41页，共77页，2023年，2月20日，星期六三、教学建议第42页，共77页，2023年，2月20日，星期六５．１相交线总体建议：主要是“对顶角、垂线以及垂线的性质”问题，建议增加格点问题，为直角坐标系做必要的铺垫、对顶角问题：主要解决邻补角的应用，建立数量关系与位置关系的联系、垂直问题：解决数量关系与位置关系的对应关系；画法（用三角板；过一点）；点到直线的距离（用度量的方法给出）；（可以补过线外一点，角内一点）、三、教学建议第43页，共77页，2023年，2月20日，星期六１．相交线问题知识的解读：这是个生成性的知识，是由角的形成而形成的知识，抓住这点就抓住了知识之间的关系、从另一个角度讲也是因邻补角知识而形成的知识，所以也可抓住这个问题建立知识、因此，这个知识的引入方式就有三种：造一个角等于一个已知角；造一个与已知角成既相邻又互补的角；从日常生活的现象发现．三、教学建议第44页，共77页，2023年，2月20日，星期六在应用引例的基础上，要用好它．即解决好角的分类问题：位置上不相关、位置上相关．位置上相关是指：有公共顶点、有公共边；有公共顶点、边共线；没有公共顶点、边共线；有公共顶点、边不共线．三、教学建议第45页，共77页，2023年，2月20日，星期六2、对顶角由两条直线相交形成对顶角进而形成对顶角相等，它是刻画两条相交直线关系的工具、其一，有两条相交直线就可以有对顶角相等，这时对顶角的大小就是刻画相交状态的工具、∠AOC的大小就刻画了直线AB与CD的相交的状态三、教学建议第46页，共77页，2023年，2月20日，星期六其二，对顶角又是判断两条直线是否相交的一种重要的依据．如果有∠AOC＝∠BOD，则我们就可以说明直线AB与CD相交．在此要清楚不要强行推理，我们可以在此进行有关角度的计算，只是说理就够了，还可以把角平分线的知识与对顶角结合计算．三、教学建议第47页，共77页，2023年，2月20日，星期六增加反面例子图中∠1、∠2是对顶角吗？对顶角的特点：1、顶点相同，2、角的两边互为反向延长线，3、成对出现．三、教学建议第48页，共77页，2023年，2月20日，星期六３、垂直知识解读：这是相交两条直线的一种特殊位置关系、但是，它是利用数量确定图形位置关系的第一个知识，要在此揭示这种现象，让同学体会这种相互关系、如果有∠ＣＯＡ＝∠ＣＯＢ＝∠ＢＯＤ＝∠ＤＯＡ我们也不能说明直线AB与CD垂直、三、教学建议第49页，共77页，2023年，2月20日，星期六垂线的画法：为作平行线做准备这个知识是一个能力提升点，即从问题的设计到操作可以体现能力的要求、如已知一条直线与一个点，过该点作已知直线的垂线（研究点与直线的不同位置）；如已知一条线段与一个点，过该点作已知线段的垂线（分析点与线段的不同位置）；如已知一个角和一个点，过该点作已知角的两边的垂线（点与角的不同位置）、三、教学建议第50页，共77页，2023年，2月20日，星期六３、垂线段（唯一性问题）不要在概念上做文章，只要能分清“垂线段”是图形，“距离”是长度即可、理解需要利用图形关系时用“垂线段”，关注它是谁，会比线段的大小；理解需要研究数量时，用距离的知识、三、教学建议第51页，共77页，2023年，2月20日，星期六(1)创造各种情形做垂线，让学生在画图中感受垂线.如图，过P点做OB的垂线，等.三、教学建议第52页，共77页，2023年，2月20日，星期六(2)利用课本上的问题启发学生思考问题如：课本第8页

三、教学建议第53页，共77页，2023年，2月20日，星期六课本第10页拓广探究的第12题

三、教学建议第54页，共77页，2023年，2月20日，星期六５、２平行线１、平行线知识解读：这是个新知识，它不能直接由前科知识生成，要讲究引入的严谨性（与小学要有区别）、引入要注意：从画两条直线的角度；从日常生活的现象（要注意与相交线的比较，从不同中发现区别）、三、教学建议第55页，共77页，2023年，2月20日，星期六２、画平行线由于是操作性问题，因此，也是能力提升点、在此要讲究点“序”的问题，如果不在此讲也可以，要讲就要利用前科知识（不要利用后面的知识），这样有利于同学对知识的理解与认识、如画一条直线的平行线，体会点的位置选择的必要性与作垂线相类比、可以研究三条直线两两相交的情况了，在此要注意结合学生的水平设计问题（指向性）、三、教学建议第56页，共77页，2023年，2月20日，星期六３、平行公理这是由画平行线产生的问题，可以理解为生成性知识、要对公理的理解做必要的解读，要对它做一些分析、按现行教材的设计，还需要研究它的推论，要抓住该点的教学，可以大致的讲利用相交关系说明其真实性，只不过如何引导学生把平行问题化为相交问题是关键（同学可以理解）、三、教学建议第57页，共77页，2023年，2月20日，星期六４、平行线的条件知识解读：这也是新生性知识，需要我们考虑引入的方法与方式，也就是学习的必要性问题、而问题的关键在于直接无法解决，需要借助第三条线，如何能让同学体会到这个问题就是成功（还需要体会由数量确定图形的位置）、

三、教学建议第58页，共77页，2023年，2月20日，星期六４、平行线的条件建议：从平行线的画法中启发，把问题转化为平行线成立的条件问题；从实际经验发现，如测量门窗的垂直或平行关系中发现等、三、教学建议第59页，共77页，2023年，2月20日，星期六怎么用平行线的条件（体会第三条直线）从教材中可以发现，几乎没有使用的对象、原因出在两个方面：其一，图形的识别有问题；其二，由条件直接可判断平行，即角的关系必须作为已知条件（不要强行推理）、为此，我们也要注意这个问题中的困难、利用实际生活中的事例；利用相交线中的对顶角；利用垂直关系、三、教学建议第60页，共77页，2023年，2月20日，星期六５、３平行线的性质知识解读：这是个生成性知识，由平行线的存在而形成、同样有性质不能直接存在，要依赖于第三条直线、这个问题的确立，表示落实的成功、由于平行线的问题需要利用角的数量关系刻画直线的位置关系，因此，如何强化对问题的认识，对今后而言就是认识平面几何知识的基本出发点问题、三、教学建议第61页，共77页，2023年，2月20日，星期六如何使用平行线的知识问题推理的介入在适当的情况下介入对同学学习几何的作用是十分明显的、人教社的教材中现在没有介入，它用角度的计算形成数理推理来补充说理，是必要的，因此，我们就没有必要在此过多的强化推理、实际上推理的早期介入对一部分同学而言，就相当于把这部分同学分离出来，使他们失去学习几何的兴趣、我们要不断的强化学习推理的需求就可以了、三、教学建议第62页，共77页，2023年，2月20日，星期六怎么办？

应该在计算上做足文章、作用：（１）不断的用问题强化同学对图形的位置问题需要借助数量关系支持的认识，反之亦然；（２）有利于知识的巩固，增强使用知识的目的性；（３）体会解决几何问题中数量问题时如何解读好已知条件，尤其是图形条件的解读，理解需要我们解决什么问题、三、教学建议第63页，共77页，2023年，2月20日，星期六注重一题多解，做好题目的扩展，为学生开启趣味的大门从一个简单问题引入：如图，a∥b，P是直线a、b间的任意一点，问：∠1、∠2、∠3之间的关系尽量让学生放开了想，不要怕耽误时间．三、教学建议第64页，共77页，2023年，2月20日，星期六

三、教学建议第65页，共77页，2023年，2月20日，星期六再进一步：如果将点P改变位置，那么，∠1、∠2、∠3之间又有怎样的关系？如何证明呢？三、教学建议第66页，共77页，2023年，2月20日，星期六再进一步：将平行线a、b间的折线折两次，（开口向右、小于平角的角都用偶数表示，开口向左的用奇数表示，折线起点和终点的角同取锐角）判断∠1、∠2、∠3、∠4之间的关系？如果折三次呢？三、教学建议第67页，共77页，2023年，2月20日，星期六规律：夹在两平行线间的折线，小于平角的同方向的角之和相等，如折三次：∠1+∠3+∠5=∠2+∠4；如折n次，则有：∠1+∠3+∠5+∠7…=∠2+∠4+∠6+…三、教学建议第68页，共77页，2023年，2月20日，星期六一定要做好相应的练习：1、如图，AB∥CD，∠2=3∠1，求：∠E2、如图，a∥b，若∠ABC=80°，∠3=25°，∠C=60°，求∠1+∠2=？三、教学建议第69页，共77页，2023年，2月20日，星期六3、如下面两图，试用∠1、∠2、∠3表示∠α，并给出证明．三、教学建议第70页，共77页，2023年，2月20日，星期六

5、4平移知识解读：这个知识应该是全等变换的问题，在这里研究只能是意会，为了不产生歧义，最好利用网格讲解，这样可以体会平移必须满足的条件，即有平移方向与平移距离、从对知识的认识的角度讲，利用网格的特点可以体会到：一个图形的平移实际上就是这个图形上的端点的移动，即是“点对点的移动”，这样就保证了不改变其大小的作用、三、教学建议第71页，共77页，2023年，2月