2022-2023学年山西省高一年级下册学期3月联考数学试题【含答案】

2022-2023学年山西省高一下学期3月联考数学试题一、单选题1．设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式可得集合，再根据集合的运算可得结果.【详解】由，解得，即，显然，∴，∴．故选：C.2．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理求解即可.【详解】由余弦定理可得，因为，所以．故选：A.3．若三点共线，则（

）A． B．5 C．0或 D．0或5【答案】D【分析】由题意可得，再利用向量共线求解即可.【详解】因为，若三点共线，则，所以，解得或5．故选：D.4．已知正实数a，b满足，则的最小值为（

）A．8 B．16 C．12 D．24【答案】B【分析】根据已知条件，利用“1”的代换，将转化为，再利用基本不等式求解即可.【详解】已知正实数a，b满足，所以，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为16，故选：B.5．已知向量与向量均为单位向量，且它们的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知条件求出，再由投影向量公式计算即可求出答案．【详解】∵，∴，则，故向量在向量上的投影向量为，故选：B.6．已知函数，则方程的实数解的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】讨论、，令求解即可判断个数.【详解】当时，由，解得；当时，由，得或，解得或．故方程的实数解的个数为3．故选：B7．已知的三个内角所对的边分别为．若，则该三角形的形状一定是（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形【答案】C【分析】利用正弦定理的边角转化，将已知变形，化简从而得出【详解】因为，由正弦定理（为外接圆的直径），可得，所以．又因为，所以．即为等腰三角形.故选：C8．泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”．秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物AB，高约为50m，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得A处、泰姬陵顶端C处的仰角分别是45°和60°，在A处测得泰姬陵顶端C处的仰角为15°，则估算泰姬陵的高度CD为（

）A．75m B．m C．m D．80m【答案】A【分析】中边角关系解出，中由正弦定理解得，中由边角关系解得.【详解】由已知得为等腰直角三角形，，，，，则有，A处测C处的仰角为15°，则，∴，中，由正弦定理，，即，解得，中，.故选：A二、多选题9．已知向量，若，则k的值可能为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】AC【分析】由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】依题意得．因为，所以，解得或．故选：AC.10．如图，在正方形中，Q为上一点，交于E，且E，F为的两个三等分点，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用向量的线性运算及三角形相似的性质即可求解.【详解】因为，所以，故A错误．，故B正确．，故C正确．因为E为上靠近B的三等分点，所以，利用相似性质可得，则．故D正确．故选：BCD.三、单选题11．若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，的夹角为，则（

）A． B．C．夹角的余弦值为 D．夹角的余弦值为得【答案】BC【分析】利用数量积公式及变形即可解决.【详解】由已知可知：，所以．设的夹角为，由，得，得．故选：BC.四、多选题12．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列选项正确的是（

）A．若，则有两解B．若，则无解C．若为锐角三角形，且，则D．若，则的最大值为【答案】ACD【分析】根据边角的关系，可判断三角形的个数，即可判断AB；根据三角形是锐角三角形，求角的范围，即可判断C；利用正弦定理，将边表示为三角函数，利用三角函数的性质，即可判断D.【详解】对于A，因为，所以，则有两解，A正确．对于B，因为，所以有且仅有一解，B错误．对于C，由得，则，因为，所以，C正确．对于D．因为，所以，又因为，所以，则，由，得，所以当，即时，取得最大值，D正确．故选：ACD五、填空题13．写出与向量平行的一个单位向量的坐标：_____________．【答案】（答案不唯一）【分析】先求向量的模，再利用平行向量进行求解即可．【详解】因为，则，所以与平行的单位向量为或．故答案为：（答案不唯一）．14．已知两个非零向量满足，且，则__________．【答案】【分析】根据得到，然后求即可.【详解】两非零向量满足，可得，则，因为，所以．故答案为：.15．如图，海上一观测站A接到在北偏西方向上一艘商船D的求助电话，得知该商船需要加燃油，观测站人员准备让在商船D正东方向的一艘商船B向它输送燃油，速度为每小时120海里，此时商船B距观测站海里，20分钟后测得商船B位于距观测站30海里的C处，再经过___________分钟商船B到达商船D处．【答案】15【分析】在中，由余弦定理求得，从而得到，利用正弦定理求得，然后根据速度比求出时间.【详解】在中，海里，海里，海里，由余弦定理得，则．在中，因为，所以海里，所以分钟，即再经过15分钟商船B到达商船D处．故答案为：15.16．在长方形中，，，为边的中点，分别为边上的动点，且，则的取值范围是_______________．【答案】【分析】画出图形，用三角函数的性质表示出，在根据辅助角公式化简，换元法后利用函数单调性求解即可.【详解】如图，设，则，，，，令，则，所以．易得，所以，，因为函数在上单调递增，所以，所以．故答案为：六、解答题17．如图，在4×4正方形网格中，向量，满足，，且．(1)在图中，以A为起点作出向量，使得；(2)在（1）的条件下，求．【答案】(1)作图见解析(2)2【分析】（1）由向量线性运算的几何表示作出向量；（2）利用向量，为基底，求.【详解】（1），以A为起点作出向量，如图所示，（2）由图中网格可得：，由，，且则有18．已知向量，且．(1)求的值；(2)若与反向，，求与的夹角．【答案】(1)或(2)．【分析】（1）根据题意求出、的坐标，由向量共线的坐标运算可得答案；（2）由与反向求出，再求出的坐标，由向量夹角的坐标运算可得答案.【详解】（1）根据题意得，，因为，所以，解得或；（2）由（1）时，，，所以，则与同向，舍去；当时，，，所以，则与反向，，因为，因为，所以与的夹角为．19．已知向量，函数．(1)求的单调递减区间；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根据向量的加法及数量积的坐标表示，利用同角三角函数函数的平方关系及二倍角的正弦、余弦公式，结合辅助角公式及三角函数的性质即可求解；（2）根据已知条件及三角函数的诱导公式，结合二倍角的余弦公式即可求解.【详解】（1）因为所以，所以．由，得，所以的单调递减区间为．（2）由得，即．因为，所以，，故20．某城建部门欲沿河边规划一个三角形区域建设市民公园．如图，为该城区内河段的一部分，现有两种设计方案，方案一的设计为区域，方案二的设计为区域，经测量，米，米，米，．(1)求的长度．(2)若市民公园建设每平方米的造价为80元，不考虑其他因素，要使费用较低，该选哪个方案（请说明理由）？较低造价为多少？（参考数据：取）【答案】(1)700米(2)方案二的设计符合要求，理由见解析，元【分析】（1）利用余弦定理解得，解方程可得的长度；（2）利用面积公式可得，确定方案二节约及其造价.【详解】（1）在中，由余弦定理得．在中，由余弦定理得．由，得，故，解得米，故的长度为：700米．（2）方案二的设计符合要求．理由如下：因为，，且，所以，故选择方案二的设计，建设市民公园的费用较低．因为米，所以是等边三角形，，所以平方米，所以总造价为元．故：方案二符合要求，最低造价为元.21．在中，内角所对的边分别为，且．(1)若，求角的值；(2)若外接圆的周长为，求面积的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，根据余弦定理和正弦定理可得，结合三角恒定变化即可求解；（2）利用圆的周长公式可得外接圆的半径为，再根据余弦定理和均值不等式求得的范围，代入三角形面积公式即可求解.【详解】（1）因为，所以由余弦定理得，解得，所以由正弦定理可得，由，得，即，又因为，，且，所以，解得．由知，不是最大边，故．（2）因为外接圆的周长为，所以外接圆的半径，又因为，当且仅当时等号成立，所以，由正弦定理可得，所以，所以的面积．因为，所以，所以．22．已知函数.(1)证明：对任意，总存在，使得对恒成立.(2)若不等式对恒成立，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）先判断为增函数，找出隐零点从而得证；（2）把不等式等价为，从而借助二次函数的图象建立不等式，再构造函数，利用单调性可解.【详解】（1