2022-2023学年山东省青岛市西海岸新区高一年级下册学期调研检测（分考试）数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省青岛市西海岸新区高一下学期调研检测（分考试）数学试题一、单选题1．已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据交集运算求解.【详解】由题意可得：.故选：A.2．函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理分析判断.【详解】∵在定义域内单调递增，且，∴函数的零点所在区间是.故选：C.3．（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据诱导公式得即可解决.【详解】由题知，，故选：D4．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金5万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为p，若存m期，本利和为5.4万元，若存n期，本利和为5.5万元，若存期，则利息为（

）A．5.94万元 B．1.18万元 C．6.18万元 D．0.94万元【答案】D【分析】由指数的运算得出存期的本利和，再减去本金得出所求利息.【详解】由题意可得，则，即存期，本利和为，则存期，则利息为万元.故选：D5．函数在的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数奇偶性，结合特殊值检验即可解决.【详解】由题知，，关于原点对称，因为，所以为偶函数，故C，D错误；又当时，易知，所以，故B错误；故选：A6．已知函数为函数的反函数，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由题意可得，结合指数幂的运算求解.【详解】由题意可得：，故.故选：D.7．已知定义在上的奇函数，对任意的，，满足，且，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】构建，根据题意分析可得在定义域内为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，分和两种情况讨论，结合函数性质解不等式.【详解】构建，则，故在定义域内为偶函数，∵任意的，，满足，则在上单调递增，故在上单调递减，对于不等式，则有：当时，可得，即，∵在上单调递增，且，∴的解集为；当时，可得，即，∵在上单调递减，且，∴的解集为；综上所述：不等式的解集为.故选：A.8．已知，，，则（

）A．S的最大值是 B．S的最大值是C．S的最大值是 D．S的最大值是【答案】B【分析】根据题意整理得，令，利用基本不等式求得，进而整理可得，结合对勾函数求最值.【详解】∵，令，∵，，则，当且仅当，即时等号成立，故，可得，又∵在上单调递增，则，∴，即S的最大值是.故选：B.二、多选题9．已知，，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据对数的运算逐项分析判断.【详解】对A：，A正确；对B：，B错误；对C：，C正确；对D：，D正确.故选：ACD.10．已知函数的最小正周期为π，则（

）A．B．函数为奇函数C．函数在上单调递减D．直线是图象的一条对称轴【答案】ABD【分析】根据三角函数性质逐项分析判断.【详解】对A：由题意可得：，解得，A正确；故，对B：，故函数为奇函数，B正确；对C：令，解得，故函数的递减区间为，令，且，则函数在上单调递减，在上单调递增，C错误；对D：为最大值，故直线是图象的一条对称轴，D正确.故选：ABD.11．若实数a，b满足，，则（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】首先确定的范围，再根据换底公式，做差法，以及单调性法判断选项.【详解】由条件可知，，或，A.根据换底公式可知，，即，故A正确；B.，因为，，所以，即，故B正确；C.，当时，，，所以，故C错误；D.当时，根据指数函数的单调性可知，，根据幂函数的单调性可知，所以不确定与的大小关系，当时，根据指数函数的单调性可知，，根据幂函数的单调性可知，所以，综上可知，D错误.故选：AB12．已知函数，函数与的图象关于y轴对称，则（

）A．存在实数a，使函数的图象存在对称中心B．对任意实数a，函数值域均为RC．存在实数a和k，使函数不存在零点D．对于任意给定的正实数m，总存在实数a，使函数在区间上单调递减【答案】ACD【分析】由与的图象关于y轴对称，可得，进而可得解析式，借助解析式画出图象，根据图象对选项逐一判断即可.【详解】与的图象关于y轴对称，则，又，则，对于A，a=0时,图象如下：函数为奇函数，故A正确；对于B，如下图所示，函数的值域不为R，故B不正确；对于C，如上图所示，存在直线与函数的图象无交点，即函数不存在零点，故C正确；对于D，由图象可知，当时，函数在上单调递减，故D正确．故答案为；ACD.三、填空题13．函数的定义域为______．【答案】【分析】根据函数的解析式，列不等式求函数的定义域.【详解】函数的定义域需满足，解得：且，所以函数的定义域是.故答案为：14．写出一个同时具有下列性质①②的函数______．①；②在R上为增函数．【答案】（答案不唯一）【分析】根据指数函数的性质，判断函数的解析式.【详解】指数函数满足，且，时，函数单调递增，所以满足条件的一个函数.故答案为：（答案不唯一）四、双空题15．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，若锐角x的终边与以O为圆心的单位圆交于点M，点M关于x轴的对称点为N，MN的中点为P，点，记的面积为S．（1）______（用x表示）；（2）已知圆内接三角形中等边三角形面积最大，则的最大值为______．【答案】

【分析】利用数形结合，结合三角函数表示边长，即可求的面积；由已知条件得，圆内接三角形的面积最大.【详解】设，，由条件可知轴，垂足为点，，，；，因为圆内接三角形中等边三角形面积最大，此时，所以当取得最大值.故答案为：；五、填空题16．已知函数，，，且，若对任意，，则______．【答案】2020【分析】根据题意赋值求，总结猜想并验证得：当或时，，当时，，即可求结果.【详解】∵，令，则，注意到，且，则，且能满足，令，则，解得，令，则，解得，令，则，解得，猜想：当或时，，当时，，验证：当时，则成立；当时，则成立；当时，则成立；综上所述：当或时，，当时，.∵，故.故答案为：2020.六、解答题17．已知函数是定义在上的奇函数．(1)求；(2)证明：在上为增函数．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据奇函数的性质求出参数的值，再代入检验即可；（2）利用定义法，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可.【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得，此时，所以，符合题意，所以.（2）证明：由（1）知，设且，则，因为且，所以，，，所以，即，所以在上为增函数.18．已知．(1)当时，求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用平方关系，求解，再求解方程组，利用即可求解；（2）利用平方差公式化简分母，再根据齐次分式形式，将分式转化为正切，即可化简求值.【详解】（1）因为，得，因为，所以，，因为，所以，得，解得：，，；（2）19．已知二次函数的图象过点，不等式的解集为．(1)求的解析式；(2)若函数图象的顶点在函数图象上，求关于x的不等式的解集．【答案】(1)(2)详见解析【分析】（1）首先设二次函数的两根式，再代入点，即可求解；（2）首先求二次函数的顶点坐标，代入函数后，整理不等式，讨论后，求不等式的解集.【详解】（1）因为的解集为，所以设，因为，所以，所以；（2）由（1）可知，函数的顶点在的图象上，则，则，，所以，所以，整理为：，即，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为,当且时，不等式的解集为.20．已知函数（，），记其最小正周期为T，若．(1)求φ；(2)从①；②两个条件中任选一个，补充在下面的横线处，并解答，若在上单调，且______，求方程在上的解．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)；(2)答案见解析.【分析】（1）由得到，解方程即得解；（2）先求出的表达式，再利用函数的单调性求出的值，再利用三角函数的图象解方程得解.【详解】（1）由题得.因为，所以.因为，所以.（2）由（1）得.如果选择①，则，.所以.因为.假设函数在上单调递增，令,所以.所以因为，，所以所以.同理当函数在上单调递减，此时无解.,所以，所以或.所以或，因为如果选择②，则函数的图象关于点对称.所以,所以.假设函数在上单调递增，同理所以.同理当函数在上单调递减，此时无解.,所以，所以或.所以或，因为21．如图所示，为增加学生劳动技术实践活动区域，学校计划将一矩形试验田扩建成一个更大的矩形试验田，要求在的延长线上，在的延长线上，且对角线过点．已米，米，设（单位：米），记矩形试验田的面积为．(1)要使不小于64平方米，求的取值范围；(2)若（单位：米），求的最大值及此时的长度．【答案】(1)(2)的最大值为（平方米），此时的长度为米【分析】（1）根据三角形相似，矩形的长和宽用表示出，即可得矩形面积是关于的方程，列不等式求解，即可得的取值范围；（2）根据函数，利用分式性质变形转化为二次函数复合结构，结合二次函数与反比例函数的性质，即可求得的取值范围，从而得最大值及此时的长度．【详解】（1）由题意可知，则，故，要使S不小于64平方米，则，且，解得或，即x的取值范围为.（2）因为，令，由于，所以，则，所以即当时，取到最大值，则的最大值为（平方米），此时的长度为米.22．已知函数，，．(1)求的解析式；(2)已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，据此结论求函数图象的对称中心；(3)设函数，，若对任意，恒成立，求m．【答案】(1)(2)函数的图象关于点成中心对称图形；(3)【分析】(1)利用关系，列方程求即可得函数的解析式；(2)化简函数解析式可得，证明根为奇函数，根据所给结论确定对称中心；(3)由(2)判断函数的单调性，再判断函数的单调性，由条件可得，在上恒成立，令，可得在上恒成立，方法一：讨论求函数的最小值，列不等式求，方法二，取求在上恒成立的必要条件，再验证该条件也为充分条件即可.【详解】（1）因为，，，所以，，所以，所以，（2）因为，所以，所以因为，所以因为，所以函数为奇函数，又函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，所以函数的图象关于点成中心对称图形；（3）因为，所以函数在上为减函数，所以函数在上为减函数，有意义可得且，由可得，当时，因为，所以不等式恒成立，当时，不等式可化为，满足条件的不存在，所以函数的定义域为，因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，故函数在上单调递增，又，所以当时，，当时，，当时，，因为对任意，恒成立，所以对任意，恒成立，即在上恒成立，令，，则，所以在上恒成立，所以，其中，方法一：当时，不等式可化为，，矛盾，故，函数可化为