2020年广东高考数学文科模拟试卷

2020年广东省高考数学（文科）模拟试卷（2）一.选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1.（5分）设集合A={%1-1<%W2},B={-1,0,1,2,3},则AnB=（ ）A.{-1,0,1,2} B.{0,1,2}C.{0,1} D.{%I-1<%W2,或％=3}（5分）设a®,若复数工4■在复平面内对应的点位于实轴上，则a=（ ）a-HiA.2 B.1C.-1 D.-2（5分）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图是折扇的示意图，A为OB的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分>0的解集为（）>0的解集为（）c.9,得）50, d.（卷田）（5分）已知平面向量！E的夹角为135°,且工为单位向量，己二（1,1）,则又+4|=（ ）A. 5 B.3+丁2 C.1 D.3_.-;26. （5分）椭圆6. （5分）椭圆C的焦点为F1 （-c,0）, F2 （c, 0） （c>0）,过F2与%轴垂直的直线交椭第1页（共19页）（5分）某程序框图如图所示，若a=4（5分）某程序框图如图所示，若a=4,则该程序运行后输出的结果是（ ）7.（5分）约公元前600年，几何学家泰勒斯第一个测出了金字塔的高度.如图，金字塔是8.正四棱锥，泰勒斯先测量出某个金字塔的底棱长约为230米；然后，他站立在沙地上，请人不断测量他的影子，当他的影子和身高相等时，他立刻测量出该金字塔影子的顶点A与相应底棱中点B的距离约为22.2米.此时，影子的顶点A和底面中心O的连线恰好与A.115米B.A.115米B.137.2米C.230米D.252.2米相应的底棱垂直，则该金字塔的高度约为（）9.（5分）为了宣传今年9月即将举办的“第十八届中国西部博览会”（简称“西博会”）9.的15〜65岁市民进行随机抽样，各年龄段人数情况如表:组号分组各组人数[1525)[2535)[3545)[4555)各组人数频率分布直方图10a组号分组各组人数[1525)[2535)[3545)[4555)各组人数频率分布直方图10abc第5组[55,65]TOC\o"1-5"\h\z根据以上图表中的数据可知图表中。和％的值分别为（ ）A.20,0.15 B.15,0.015C.20,0.015D.15,0.15（5分）将函数y=cos（2%+s）（-。＜9＜二"）的图象向右平移哈个单位长度单位2 2 a后得函数f（%）图象，若f（%）为偶函数，则（ ）f（%）在区间［-［，，:：］上单调递减f（%）在区间［-2，:：］匀上单调递增f（%）在区间［J，，与上单调递减f（%）在区间［*,5］上单调递增TOC\o"1-5"\h\z2 2（5分）已知双曲线C：三-彳 b＞。）的一条渐近线被圆（％-c）2+y』2a2ab截得的弦长为2b（其中c为双曲线的半焦距），则双曲线C的离心率为（ ）A.学 B. 2 C. 3 D.2E、F分别为AB和DD1的中点，经)二.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）（5分）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，过点BpEE、F分别为AB和DD1的中点，经)二.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）（5分）在^ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,则满足a=10,b=18,A=30°的三角形解的个数是 .（5分）曲线f（%） = （%+1） e%在点（0, f（0））处的切线的横纵截距之和为 .（5分）已知三棱锥P-ABC中，PA，平面ABC,PA=BC=2,ZBAC=17,则三棱锥第3页（共19页）P-ABC的外接球的表面积为.兀ax+s其）（5分）已知岂-= -叫在lG（0,1）上恰有一个零点，则正实数a的取值范围为.三.解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）（12分）已知等差数歹也an｝的前n项和为Sn,S4=16,a3=3a2.（1）求｛an｝的通项公式；（2）设匕口=-/——，求｛bn｝的前2n项的和T2n.an+l（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AB±BC,AD//BC,AD=4,AP=AB=BC=2,E是AD的中点，AC和BE交于点0,且PO，平面ABCD.（1）证明：平面PAC，平面PCD；（12分）已知函数f（x）=alnx-x2.（1）讨论f（x）的单调性；（2）求证：当a>0时，f（x）W（a-sinx）x2-ax.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆N：（x-1）2+y2=1,圆心n（1,0）,点E在直线x=-1上，点P满足PE〃口此NP-NE=EP・EN,点P的轨迹为曲线M.（1）求曲线M的方程.（2）过点N的直线l分别交M和圆N于点A、B、C、D（自上而下），若IACI、ICDI、IDBI成等差数列，求直线l的方程.（12分）某学校因为寒假延期开学，根据教育部停课不停学的指示，该学校组织学生线第4页（共19页）上教学，高一年级在线上教学一个月后，为了了解线上教学的效果，在线上组织了数学学科考试，随机抽取50名学生的成绩并制成频率分布直方图如图所示.（1）求m的值，并估计高一年级所有学生数学成绩在［70，100］分的学生所占的百分比;（2）分别估计这50名学生数学成绩的平均数和中位数.（同一组中的数据以该组区间的中点值作代表，结果精确到0.1）四.解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）（10分）在直角坐标系xQy中，以坐标原点为极点，％轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线g的极坐标方程为pcos9=m，曲线C2的极坐标方程为p2=——“一.3+sin6（1）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；（2）设曲线C1与曲线C2在第二象限的交点为A,曲线C1与1轴的交点为H,点M（1,0）,求4AMH的周长l的最大值.五.解答题（共1小题）23.已知函数f(1)=13%-11+1%+11.(1)解不等式f(%)三5(2)若函数f(%)的最小值为m，且log4(2a+3b)=log2(3m),(a>0,b>0),求ab的最大值.第5页（共19页）2020年广东省高考数学（文科）模拟试卷（2）参考答案与试题解析一.选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）（5分）设集合A={%|-1<%W2},B={-1,0,1,2,3},则AnB=（ ）A.{-1,0,1,2} B.{0,1,2}C.{0,1} D.{%I-1<%W2,或％=3}【解答】解：A={%I-1<%W2},B={-1,0,1,2,3},・•・AnB={0,1,2}.故选：B.（5分）设aCR,若复数■在复平面内对应的点位于实轴上，则a=（ ）a+iA.2 B.1 C.-1 D.-2【解答】解：二•复数上］=-一争一i在复平面内对应的点位于实轴上，・^=0,即a=-1.故选：C.（5分）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图是折扇的示意图，A为OB的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分■|X2X29-yXIX9此点取自扇面（扇环）部分的概率= ； 管X2X28第6页（共19页）(5分)已知/(%)是定义在R上的奇函数，当％>0时，f(x)=3-2x，则不等式f(x)【解答】解：根据题意，f(x)是定义在【解答】解：根据题意，f(x)是定义在R上的奇函数,-Tuc°!于>0的解集为()当x>0时，f(x)=3-2x,则其图象如图：且f(1)^f(-1)=0， R则不等式f(x)>0的解集为(-8,-亍)0(0,—)；故选：C.b=(L1)，则Ia+b故选：C.b=(L1)，则Ia+b|=5.(5分)已知平面向量a、b的夹角为135且且为单位向量，b二0,()A. 532A. 5321D.【解答】解：由题意知，平面向量a、b的夹角为135°,且lal=1,bEl,1)，所以lb|=：］?十］?=:2,礼•b=1X=2Xcos135°=-1,+2st+B+ =1+2X(-1)+2=1,所以ia十b|=1.故选：C.6.(5分)椭圆C的焦点为F1(-c,0),F2(c,0)(c>0)，过F2与x轴垂直的直线交椭第7页(共第7页(共19页)【解答】/y2解：由题意设椭圆C的方程：三丁+%=1,（a>b>0）,连结BF2，由椭圆的对称性易得2四边形AF1BF2为平行四边形，由NAF1B=120°得NF2AF1=60°,又AF^2±F1F2，设AF2I=+BF1I=m，则IF1F2I='.''3m,IAF1I=2m,又sAfAB=-l|bf1I-|f=2|=,・m,/37=言3■，解得m=^A，cL 4 」 」又由2c=IF1F2I=1.'13m=2,2a=IAF1I+IAF2I=3m=2'.：工解得c=1,a=-3,b2=a2-c2=2,则椭圆c的方程为：［■心故选：C.7.（则椭圆c的方程为：［■心故选：C.7.（5分）某程序框图如图所示，若a=4,则该程序运行后输出的结果是（)D.13第8页（共19页）【解答】解：由题意知，该程序计算的是数列｛【解答】解：由题意知，该程序计算的是数列｛]

nCn+1)｝前四项的和再加上1.1_1n(n+l)nn+1sn+a-^+/等十母小十号蒋）（5分）约公元前600年，几何学家泰勒斯第一个测出了金字塔的高度.如图，金字塔是正四棱锥，泰勒斯先测量出某个金字塔的底棱长约为230米；然后，他站立在沙地上，请人不断测量他的影子，当他的影子和身高相等时，他立刻测量出该金字塔影子的顶点A与相应底棱中点B的距离约为22.2米.此时，影子的顶点A和底面中心O的连线恰好与相应的底棱垂直，则该金字塔的高度约为（）A.115米 B.137.2米 C.230米 D.252.2米【解答】解：当泰勒斯的身高与影子相等时，身高与影子构成等腰直角三角形的两直角边，再根据金字塔高与影子所在的直角三角形与刚才的三角形相似，可知塔底到A的距离即为塔高.所以由题意得金字塔塔高为OA=OB+BA=115+22.2=137.2米.故选：B.（5分）为了宣传今年9月即将举办的“第十八届中国西部博览会”（简称“西博会”），组委会举办了“西博会”知识有奖问答活动.在活动中，组委会对会议举办地参与活动的15〜65岁市民进行随机抽样，各年龄段人数情况如表：组号分组各组人数 各组人数频率分布直方图第9页（共19页）

第1组第1组[15,25)第2组[25,35)第3组[35,45)第4组[45,55)第5组[55,65]10abd根据以上图表中的数据可知图表中a和％的值分别为( )A.20,0.15 B.15,0.015 C.20,0.015D.15,0.15【解答】解：由频率分布直方图可知，第一组的频率为：0.010X10=0.1,又•・•第一组的人数为10,•・总人数为：y^=100,・•第二组的频率为：0.020X10=0.2,•・第二组的人数a=0.2X100=20,由频率分布直方图可知，％=，pX［1-(0.01+0.02+0.03+0.025)X10］=0.015,故选：CJT TE QTT10.(5分)将函数y=cos(2%+s)(-三<9<《「)的图象向右平喂匕个单位长度单位后得函数f(%)图象，若f(%)为偶函数，则( )f(%)在区间［-：，号］上单调递减f(%)在区间［---,=:］匀上单调递增f(%)在区间［-［，-^-］上单调递减TT7Tf(%)在区间［二1，5-］上单调递增7TTT TTT【解答】解：将函数y=cos(2%+9)(-g<“<g)的图象向右平心-个单位长度单位后得函数f(%)图象，贝Uf(%)=cos［2(%- )+9］=cos(2%+9—3：),qtt若f(%)为偶函数，则9-9=kn,kGZ,即9=3:+kn,kGZ,第10页(共19页)•・•-子〈9〈子，，当k=-1时，9=-子，兀3TT即f（x）=cos（2x ）=cos（2x-n）=-cos2x，4 4jrttjr当--rWxW〒时，-fW2xWn,此时f（x）=-cos2x不具备单调性，故A,B错误，当JLwxW;三时，—W2xWn,此时f（x）=-cos2x为增函数，故D周期，故选：D.TOC\o"1-5"\h\z2 2（5分）已知双曲线C：三-彳 b＞。）的一条渐近线被圆（x-c）2+y』2a2ab截得的弦长为2b（其中c为双曲线的半焦距），则双曲线C的离心率为（ ）A.当 B. 2 C. 3 D.2【解答】解：如图所示，双曲线的两条渐近线关于x轴对称，取y=且其与圆相交于点A,B,IAB1=2b,,a圆心（c,0）到直线bx-ay=0的距离d=-====b.结合垂径定理可得2a2=b2+b2,即a=b.・•・双曲线为等轴双曲线，其离心率e=•①故选：B.（5分）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB和DD1的中点，经过点BpE,F的平面a交AD于G,则AG=（ ）第11页（共19页）

【解答】解：由平面【解答】解：由平面A1A5当〃平面D1DCC1,可得平面B1EF与平面D1DCC1的交线与B1E平行，过F作B1E的平行线交C1D1于H,由F为DD1的中点，可得H为C1D1的四等分点，连接B1H，过E作EG//B1H,交AD于G,从而G为AD的三等分点，则AG=-1.・二|故选：D故选：D.二.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）（5分）在^ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,则满足a=10,b=18,A=30°的三角形解的个数是_2_.【解答】解：由正弦定理可得，【解答】解：由正弦定理可得，,sinAsinB因为a<b，所以A<B,故B可能为锐角，也可能是钝角，即三角形有两解.第12页（共19页）故答案为：2.（5分）曲线f（x）=（x+1）ex在点（0,f（0））处的切线的横纵截距之和为_1_.【解答】解：根据条件可得f,（x）=（x+2）ex，则f（0）=1,f,（0）=2,故切线方程为y-1=2x，即2x-y+1=0,则其横纵截距分别为-a，1,■Lu则横纵截距之和为｝,故答案为：.（5分）已知三棱锥P-ABC中，PA，平面ABC,PA=BC=2,ZBAC=子，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为8n.【解答】解：将三棱锥还原成直三棱柱，则三棱柱的外接球即为求O,D,D,，为上下底面的外心，O为DD/的中点，AD为底面外接圆的半径，由正弦定理可得：2AD=-\==2；sitTT由OD=1,AD=1；得R=AO=2,所以球O的表面积为：4nR占8n.故答案为：8n.JTax+s其）（5分）已知岂6= -2k在xG（0,1）上恰有一个零点，则正实数a的取值范围为（0,1）.【解答】解：依题意，方程 -2工=0在（0,1）上仅有一个解，即期门（二，富）=2产-二Q〉。）在（0,1）上仅有一个实数根，第13页（共19页）

IT亦即函数g⑴二五口（工「必和h（x）=2x2-ax的图象在（0,1）上只有一个公共点，而h（x）=2x2-ax必经过原点，且其对称轴为x4〉。，4由图可得当h（1）>g（1）时符合题意，即2-a>1,解得a<1,又：a>0,••・0<a••・0<a<1.三.解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）（12分）已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn,S4=16,a3=3a2.（1）求｛an｝的通项公式;'、十1''、十1'求｛%｝的前2n项的和T2n.【解答】解：（1）因为等差数列U｛an｝中，设首项为a1公差为d.由题意得=a]+由题意得=a]+42+讥三+况4=4a].+6d=16a1+2d=3（a1+d） ，解得w]=~2d=4所以an=-2+4（n-1）=4n-6.%十]Cin-6）（4n-2）4（2n-3）（2n-l）3^2n-32n-l'，T2nT2n=b1+b2+b3+…+b2n-1+b2n第14页（共19页）二2(24n).所以bn｝的前2n项的和T2n为乂J的1.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AB±BC,AD〃BC,AD=4,AP=AB=BC=2,E是AD的中点，AC和BE交于点0,且PO，平面ABCD.(1)证明：平面PAC，平面PCD；(2)求点D到平面PCE的距离.【解答】(1)证明：•「AD〃BC,AD=4,BC=2,E是AD的中点，・•・四边形ABCE为平行四边形，又:AB±BC,AB=BC,.•.四边形ABCE是正方形，得CE±AD.又,：CE=AE=ED=2,.AC=CD=2/2.又：AD=4,.AC2+CD2=AD2,故CD±AC.「P0，平面ABCD,CD<=平面ABCD,.CD±PO.又「ACnPO=0,AC,PO<=平面PAC,.CD，平面PAC,而CDu平面PCD,・•.平面PAC，平面PCD；(2)解：由(1)知，四棱锥P-ABCE为正四棱锥，故PC=PE=PA=2.又CE=2,AAPCE是等边三角形，即父上设点D到平面PCE的距离为h，得昨_?比43反比一一由PC=PA=2,AC=2:2得4PAC为等腰直角三角形，故PO得AC=第15页(共19页)

•:△ECD是直角三角形，且CE=•:△ECD是直角三角形，且CE=ED=2,ASA-ECD=yX2X2=2,(1)讨论f(x)的单调性;(2)求证：当a>0时，f(x)W(a-sinx)x2-ax.【解答】解：(1)函数f(x)=alnx-x2,定义域为(0,+-),I所以f'(公=曳-2所且冬二X K当aW0时，f(x)<0,f(x)当a>0时，a-2t2令f(x)>0,则 >0,xa-2t2令f(x)<0,则 <0,在(0,+8)单调递减;解得。＜汽＜等，f(x)在S,等)单调递增;;f(x)在(一^曳,9口)单调递减;综上，当aW0时，f(x)在(0,+8)单调递减；当a>0时，f(x)在(。，等工)单调递增，在心)单调递减;(2)要证当a>0时，f(x)W(a-sinx)x2-ax,只须证：a(Inx+x-x2)+(sinx-1)x2W0,而(sinx-1)x2W0,因此，只要证：lnx+x-x2W0设g(x)=lnx+x-x2,贝I屋31+1-2胪-°-1)(2k+1).I x当x6(0,1)时，g'(x)>0,g(x)单调递增;第16页(共19页)当lG(1,+8)时，g'(%)<0,g(%)单调递减;所以g(%)Wg(1)=0,即/〃%+%-%2W0；所以当a>0时，f(%)W(a-sin%)%2-a%.(12分)在平面直角坐标系%Oy中，已知圆N：(%-1)2+y2=1,圆心N(1,0),点E在直线%=-1上，点P满足PE〃口此NP-NE=EP・EN,点P的轨迹为曲线M.(1)求曲线M的方程.(2)过点N的直线l分别交M和圆N于点A、B、C、D(自上而下)，若IACI、ICDI、IDBI成等差数列，求直线l的方程.【解答】解：(1)设p(%,y)，由近〃丽，得E(-1,y),则而二以-1,y),施二"2,y),EP=(x+L0),而二⑵一¥),由NP・ME=EP・EN,得(%-1,y)・(-2,y)=(%+1,0)(2,-y),即-2%+2+y2=2%+2,化简得：y2=4%,所以点P的轨迹曲线M的方程为：y2=4%；(2)由IACI、ICDI、IDBI成等差数列，得IACI+IDBI=2ICDI=4,所以弦长IABI=IACI+ICDI+IDBI=6,①当斜率不存在时，直线l的方程为：%=1,交点A(1,2),B(1,-2),此时IABI=4W6,不符合题意，②当斜率存在时，设直线l的方程为：y=k(%-1),A(%1,y1),B(%2,y2),(k-1)联立方程9，消去y得：k2%2-(2k2+4)%+k2=0,Q=4工_4 ，一一•直］+工2=2"1一,%m2=1,显然4=16(k2+1)>0恒成立，由抛物线的定义可知，IABI=%1+%2+2=6,•・4V=6,解得：k=土”，•・直线l的方程为y=土巧&T).(12分)某学校因为寒假延期开学，根据教育部停课不停学的指示，该学校组织学生线上教学，高一年级在线上教学一个月后，为了了解线上教学的效果，在线上组织了数学学科考试，随机抽取50名学生的成绩并制成频率分布直方图如图所示.(1)求m的值，并估计高一年级所有学生数学成绩在［70，100］分的学生所占的百分比；第17页(共19页)

(2)分别估计这50名学生数学成绩的平均数和中位数.(同一组中的数据以该组区间的中点值作代表，结果精确到0.1)“山川-ftjOiZrs■m，【解答】解：(1)由频率分布直方图可知，m=-^X［1-(0.004+0.006+0.02+0.03+0.024)X10］=0.016,50名学生中数学成绩在［70,100］的概率为：(0.03+0.024+0.016)X10=0.7,故高一年级所有学生数学成绩在［70,100］分的学生所占的百分比估计为70%；(2)这50名学生数学成绩的平均数为：0.04X45+0.06X55+0.2X65+0.3X75+0.24X85+0.16X95=76.2,设这50名学生数学成绩的中位数为1,•••0.04+0