2020年四川达州高考数学一诊试卷理科

2020年四川省达州市高考数学一诊试卷(理科)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的..设集合A={x|-1<x<2},B={-1,0,1,2,3},则AAB=( )A.{-1,0,1,2} B.{0,1,2}C.{0,1} D.{x|-1<x<2,或x=3}【点睛】直接求交集.【答案】B【解析】由题意得AAB={0,1,2}.故选B.【点评】本题考查交集的运算，是基础题..若向量2=(4,2),b=(6,k)，则江〃3的充要条件是( )A.k=-12 B.k=12 C.k=-3 D.k=3【点睛】由充分条件和必要条件的定义进行判断.【答案】D【解析】若3=(x],y1),b=(x2,y2),则Z〃bx1y2=x/产因为^〃仇所以4k=2*6,解得k=3.故选D.【点评】本题考查向量平行，充分条件和必要条件，是基础题..在30名运动员和6名教练员中用分层抽样的方法共抽取n人参加新闻发布会，若抽取的TOC\o"1-5"\h\zn人中教练员只有1人，则n=( )A.5 B.6 C.7 D.8【点睛】由分层抽样的定义求出n.【答案】B【解析】因为抽取的n人中教练员有1人，由分层抽样的定义得1=/一，解得n=6.6 306故选B.【点评】本题考查分层抽样，是基础题..已知直线a,b,l，平面a,B，下列结论中正确的是( )A.若aua,bua,l_La,l_Lb，则l_La第1页(共13页)B.若aua,b〃a，贝Ub〃aC,若a_LB,aua，则a_LBD.若a〃B，lLa，则lLB【点睛】逐项验证.【答案】D【解析】A:直线垂直平面内两条相交直线才垂直平面，缺少a,b相交，所以A错误；B:平面外一条直线平行平面内一条直线才平行于平面，缺少条件b%0,所以B错误；C:若a_LB,aua,则a_LB或a//B等，所以C错误；D:若a/B，lLa,则lLB，D正确.故选D.【点评】本题考查点线面之间的位置关系，是基础题..若a=0.302,b=log0,12,c=0.3-0」，则a,b,c的大小关系为（ ）A.c>a>b B.b>a>c C.a>c>b D.b>c>a【点睛】用指数、对数函数的单调性直接求解.【答案】A【解析】因为歹=0字单减，所以0<a=0.30.2<1<c=0.3-0/，即0<a<1<c;因为尸10go.产单减，所以b=1og012<10go]1=0;所以b<0<a<1<c;所以c>a>b.故选A.【点评】本题考查三个数比较大小，指数、对数函数的单调性，是基础题.1TOC\o"1-5"\h\z.二项式（％+》6的展开式中常数项为（ ）A.5 B.10 C.15 D.20【点睛】用二项式定理的通项公式，求得展开式中常数项.【答案】D【解析】由题意得：（%+1）6的展开式的通项公式T =以第6?（1）「=或第62「，令6-2r=0,X 丁+1 6X 61求得尸3,所以常数项费=C3=20.即二项式（％+1）6的展开式中常数项为20.4 6 X故选D.【点评】本题考查二项式定理，是基础题.7.已知直线尸x+3与圆x2+y2-2x-2y=0相交于A,B两点，则|AB|=（ ）第2页（共13页）A.- B.V3 C.V6 D.2【点睛】先求圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求弦长.【答案】C【解析】将x2+y2-2x-2y=0化为标准方程：（x-1）2+（广1）2=2,即圆心为（1,1）,半径为收而圆心到x+y-3=0的距离d=|1+1-31=券，所以|AB\=2（烟2-舟2=国故选C.【点评】本题考查直线与圆的位置关系，是基础题..斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有，图一图二是斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个小长方体）组成.若棱台两底面面积分别是400cm2,900cm2,高为9cm，长方体形凹槽的体积为4300cm3,斗的密度是0.70g/cm3.那么这个斗的质量是（ ）注：台体体积公式是，=1（S'+，丞+S）h.A.3990g B.3010g C.7000g D.6300g【点睛】先求“斗”的体积，再由m=pV求解即可.【答案】C【解析】由题意得，=1X（400+900+，400X900）u9=5700,长方体形凹槽的体台3积为4300,所以“斗”的体积为10000cm3,所以这个斗的质量为10000x0.7=7000g.故选C.【点评】本题考查空间几何体的体积，是基础题.%>0,.若实数x,y满足y>-i, ，则2x-y的最大值为（ ）%+5y+1<0.A.-2 B.0 C.7 D.9【点睛】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，代入目标函数得答案.第3页（共13页）【答案】D【解析】画出可行域，如图所示，令2x-y=z,,当y=2x-z过A（4,1）时，z取得最大值2义4+1=9.所以2x-y的最大值为9.故选D.【点评】本题考查简单的线性规划，是基础题..已知函数/l（%）=1。%2+2。%+m%在区间（0,+8）上为增函数，则实数a的取值范围是（）A.[0,1] B.[0,+8） C.（-1,+8） D.（-1,1）【点睛】将八%）在（0,+8）上单增转化为f（x）>0在（0,+8）上恒成立，再分离参数法求解.【答案】B【解析】因为f（%）在（0,+8）上为增函数，所以f（x）>0在（0,+8）上恒成立，即1ax+2a+—>0在（0,+8）上恒成立，即a>一运诵^在（0,+8）上恒成立；因为x2+2x>0,1所以-°r<0；所以a>0.x2+2x故选B.【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，是中档题..已知A是双曲线D：%2-祭=1右支上一点，B、C分别是双曲线D的左、右焦点.记kJsin2B△ABC的内角为A，B，C，当|AC|=8时， =（ ）sinAA.1 B.V2 C.V3 D.2【点睛】用双曲线的定义求得AB|,在△ABC中，运用正余弦定理，结合二倍角的正弦公式求解.第4页（共13页）

【答案】A【解析】由题意得：B(-6,0),C(6,0),|BC|=12;而|/C|=8,由双曲线的定义得|AB|=2a+|/。|=2+8=10|AB|=2a+|/。|=2+8=10;在4ABC中，cosB=102+122-82 3丁————二4；而2-10-12sinB 14c 2—T=J=，所以smA |bc| 3sin2B2sinBcosBsinAsinA23

=2x-x-=1.34故选A.【点评】本题考查双曲线的定义与方程，正余弦定理，二倍角公式，是中档题.【点评】本题考查双曲线的定义与方程，正余弦定理，二倍角公式，是中档题.B,与抛物线C的准线交于点P,12.过抛物线CB,与抛物线C的准线交于点P,12.过抛物线C：y2=4x焦点的直线交该抛物线C于点A,联立直线PB与抛物线，由韦达定理求解，用坐标表示以•曲，再求最值.2左2+4^2,x1x2=1,=x1x2+x1+x2+1+y1y2+2k(y1+y2)+4k2=142『+4

k244+1+(-4)+2kx4+4k2=4k2+±+8,即

k k2P，A-PB=4k2+—+8>2k2+8=16(当且仅当k=-1时取“=”)，所以成•曲的最小【点睛】【答案】【解析】由题意得抛物线C的焦点为(1,0);设PB为y=k(x-1),A(xky1),B(x2,【解析】y2),联立直线PB与抛物线的方程得k2落-(2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2=2女2+4 4y1y2=-4, y1+y2=k (x1-1) +k (x2-1) =k (x1+x2) -2k=k —-2k=力；又因为AB与抛K2物线C的准线交于点P,所以P(-1,-2k);所以为-PB=(x1+1,y1+2k)•(x2+1,y2+2k)值是16,故选C.【点评】本题考查直线与抛物线相交问题，平面向量的数量积，是中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.第5页(共13页)

.已知随机变量歹与x有相关关系y=2%+1,当x=3时，歹的预报值为.【点睛】直接在回归方程中取x=3求得歹值.【答案】7【解析】因为歹与x有相关关系y=2%+1,所以x=3时，歹的预报值为2义3+1=7.故答案为7.【点评】本题考查线性回归方程，是基础题....3.复数於的实部为一【点睛】用复数代数形式的乘除运算化简.【答案】【解析】由题意得备3(2i)

(2+i)(2i)【解析】由题意得备3(2i)

(2+i)(2i)33 6”所以备的实部为5.【点评】本题考查复数的概念，复数代数形式的乘除运算，是基础题.一.. 7T.、...……一_ j 一一、一.兀.已知函数f(x)=2sin(①x+甲)(3>0,0<9<2)图象的相邻两条对称轴的距离为一,22且f(卷=2,则f^)=.【点睛】逐个求T、①、(p，然后代入计算.【答案】TOC\o"1-5"\h\z冗 T冗 2冗【解析】因为(x)图象的相邻两条对称轴的距离为二，所以二=不得T=n=-,解得①=2,2 22 a… ，、 ， 、 一、万、所以f(x)=2sin(2x… ，、 ， 、 一、万、所以f(x)=2sin(2x+p);又因为/Xy2)=2=2sin(―+p),即sin(一+p)=1;而0<p<-66 2兀 兀.一 万 .. . 万. 万、一.，一万万.所以一+9=；,解得p=3，所以f(x)=2sin(2x+万)；所以『(/)=2sin(2x-+-)6 2 3 3 o o3，冗 冗 冗 冗 冗 冗 V2 1 V2 V3 、/2+、/6=2sin(—+一)=2(sin-cos—+cos—sin—)=2(——x-+—x—)=---.4 3 4 3 4 3 2 2 2 2 2故答案为V2+V6故答案为V2+V62【点评】本题考查三角函数的性质与求值，和角公式，是基础题.16.16.f(x)是定义域为R的偶函数，对VxGR,都有f(x+4)=f(—x)，当0Wx<2时，f(%)='2久 '2久 1,0<%<1,,，。%%+1,1<%<2一， 9、 一、贝夙9)+/(21)=第6页(共13页)TOC\o"1-5"\h\z9、 ，9、【点睛】由题意得f(x+4)=f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数，得f(-2=f(-)2 2,1 1.=f(~),f(21)=f(1),结合解析式得f(~).f(1),即可求解.乙 乙【答案】V2【解析】因为f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x+4)=f(-x)，所以f(x+4)=f(x),99 11所以f(x)是周期为4的周期函数；所以f(—2)=f(~)=f(4+2)=f(-),f(21)=f22 222久一1,0W%<1 1 -(1+4x5)=f(1);当0<x<2时，f(%)= ，所以f(~)=V2-1,log2x+1,1<x<2 2f(1)=1;所以f(-2)+f(21)=f(1)+f(1)=(V2-1)+1=V2.22故答案为V2.【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性，分段函数求值，是基础题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD，底面ABCD,点E是PC的中点.(1)求证：PA〃平面EDB；(2)若PD=AD=2,求二面角C-ED-B的余弦值.【点睛】(1)只需证明EF//PA.(2)建立空间直角坐标系，用空间向量法求解.【解析】(1)连接AC与BD相交于£连接EF.・•底面ABCD是正方形，・•・F为AC中点；又E是PC的中点，・•・EF/PA,・•PA仁平面EDB,EFu平面EDB,•・PA〃平面EDB.第7页(共13页)

(2)建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示：,?|PD|=|AD|=2,・•・D(0,0,0),E(0,1,1),B(2,2,0),设平面EDB的一个法向量为晶=(%,y,z),DIE=(0,1,1),痂=(2,2,0),所以网庇=0,即｛y+z=0,总•痂=0 (2%+2y=0,不妨令z=1,解得x=1,y=-1,即访=(1,—1,1)；而平面CED的一个法向量元=（1,0,0）；— —..cos<m,n>=Irn— —..cos<m,n>=Irnllnl・•・二面角C-ED-B的余弦值为.3【点评】本题考查线面平行的判定，空间向量法求解二面角的余弦值，是基础题.18.我国已进入新时代中国特色社会主义时期，人民生活水平不断提高，某市随机统计了城区若干户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量（记为P元）的情况，并根据统计数据制成如下频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图估算P的平均值及（2）视样本中的频率为概率，现从该市所有住户中随机抽取（2）视样本中的频率为概率，现从该市所有住户中随机抽取3次，每次抽取1户，每次抽取相互独立，设自为抽出3户中P值不低于65元的户数，求自的分布列和期望E«）.第8页（共13页）【点睛】(1)利用频率分布直方图直接估算尸的平均值方；(2)自〜B(3,0.1),然后求出分布列与数学期望.【解析】(1)由频率分布直方图得：P=(30x0.014+40x0.026+50x0.036+60x0.014+70x0.01)义10=48(2)由题意得：三次随机抽取为3次独立重复试验，且每次抽取到十月人均生活支出增加不低于65元的的概率为0.1,所以匕〜B(3,0.1),P(f=i)=C*0.1i・0.93t(i=0,1,2,3).・•・P(宁0)=0,729,P/=1)=0.243,P(宁2)=0,027,P/=3)=0.001.匕的分布列为自0123P0.7290.2430.0270.001・•・E/)=3x0.1=0.3.【点评】本题考查频率分布直方图，二项分布，随机变量的分布列与数学期望，是中档题..已知数列｛an｝满足a1=1,nan1 2(n1)an=n2n(nCN*).(1)求证：数列｛守1｝为等比数列：(2)求数列｛an｝的前n项和Sn.【点睛】(1)将等式两边同除以n(〃+1),结合等比数列的定义，即可得证；(2)求得4=九・2九以由数列的分组求和、错位相减法求和，即可求解.【解析】(1)由九412(九1)an=n2n,TOC\o"1-5"\h\z两边同除以n(n+1)得2*&=1,所以％^1=2X%2=2(%1).九1 九 九1 n n° ° ^u1—1’1=2W0,・•・d1W0,・•・^1 =2,n 配1n,数列｛守1｝是以2为首项，2为公比的等比数列. ^(2)由(1)有1=2几，所以q=n-2n九，n nSn=1x212x22•••n•2n-(1+2+3+…+n)=1x21 2x22 …n-2n吗).令4=1x212x22…n-2n,第9页(共13页)则2图=1x22+2x23+3x24+…+(n-1)•2n+n•2n+1,：.-Tn=2+22+23+-+2n-n-2n+i=2x1-22n)-n-2n+i=(1-n)2n+i-2,：/Tn=(n-1)-2九+i+2.所以S=(n-1)-2n+1+2-n(^+1).n 2所以数列｛an｝的前n项和Sn=(n-1)n+1+2—九(?2+1).【点评】本题考查等比数列的定义、通项公式、求和公式，数列的分组求和、错位相减法求和，是中档题..已知椭圆C：^|+^|=1(a>匕>0)过点4(1，彳)，且以F1(-c,0),F2(c,0)&(c>0)为焦点，椭圆C的离心率为^.(1)求实数c的值；(2)过左焦点F1的直线l与椭圆C相交于B、D两点，O为坐标原点，问椭圆C上是否存在点尸，使线段BD和线段OP相互平分？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.【点睛】(1)4(1,均在椭圆上得工+工=1.结合离心率、c2=a2-b2.求解即可.2 a22b2(2)联立直线1与椭圆的方程，通过线段BD、OP相互平分推出关系式，即可求解.TOC\o"1-5"\h\z/2、 1 1【解析】⑴因为椭圆C过点4(1,勺)，所以一；+—=1.2 a22b2J2 cJ2因为椭圆C的离心率为，即一=三一；2 a 2而c2=a2-b2,联立解得a=洲，b=1,c=1.所以实数c的值为1.%2(2)由(1)得：椭圆C的方程为彳+y2=1,F1(-1,0).假设存在点P满足题意，且BD和OP相交于点Q(x0,歹0),则P(2x0,2y0).当直线1与x轴重合时，不满足题意.设直线1的方程为x=ty'-1,A(x1,y1),B(x2,y2).TOC\o"1-5"\h\z%=ty-1 c ”.一 一，一一 - 2t 1联立更+y2=1得(2+12)y2-22t-1=0,"1+丫2=2+；?%丫2=*.,t ^2 2则E=2+?%=%-1=而-1=-不第10页(共13页)

将2x0,2y0代入二+y2=1有;~~+--+,4t =1.0 0 2 (2+t2)2 (2+t2)2解得/=±72,所以p(-1,±-)；2V2故存在P使线段BD和OP相互平分，其坐标为P(-1,士一).2【点评】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，是难题..已知f(x)=(x-m)ex.(1)当m=2时，求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若函数f(x)在区间(-1,0)上有极小值点，且总存在实数m，使函数f(x)的极小值与空”2产互为相反数，求实数a的取值范围.2(a+1)e【点睛】(1)m=2代入，求导求得切线的斜率，再求f(0),由点斜式求出切线方程;e2^+2am⑵求导得极小值,由题意得使f(x)的极小值与许7互为相反数,即可求解.【解析】f(x)=[x-(m-1)]ex.(1)当m=2时，f(x)=(x-2)e,f(x)=(x-1)e,；.f(0)=-2,f(0)=-1,所以切线方程为y+2=-(x-0),即x+y+2=0.所以f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y+2=0.(2)f(x)=[x-(m-1)]ex;当x£(-双m-1)时，f(x)<0,f(x)在(-*m-1)上单减；x£(m-1,+s)时，f(x)>0,f(x)在(m-1,+s)单增；所以f(x)的极小值点为m-1.因为f(x)在(-1,0)上有极小值点，所以-1<m-1<0,解得0<m<1,切I切I=f(他—1)=极小—gm—1；e2^+2am故在(0,1)上存在m,使得1^17—em—1=°-. e2m. e2m—2em,-2a=em—m(0<m<1).e2*2em设g(*=em—m.当0<m<1时，或他)=(MT)0M+2(1-叫刎>°,g(m)在(0,1)上递增，(e^—m)2所以g(0)<g(m)<g(1),即—1<2a<^—^,解得—1<a<^—^,333 e—1 2 2e—2所以实数a的取值范围是(—2,Mf).第11页(共13页)【点评】本题考查导数的几何意义，导数在研究函数中的应用，是难题.22.在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情.在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为p=1-sin9（p=1-sin仇p>0）,M为该曲线上的任意一点. 3.（1）当|0M|=2时，求M点的极坐标；TOC\o"1-5"\h\z一 兀 一（2