线性代数线性方程组解的结构

线性代数线性方程组解的结构第1页，共23页，2023年，2月20日，星期六在有解的情况下，回顾：其中为增广矩阵。

当线性方程组有无穷多解的情况下，希望用有限个解表示出来。2第2页，共23页，2023年，2月20日，星期六一、齐次线性方程组解的结构由解的判别定理知，(*)只有零解当且仅当(*)有零解(即无穷多解)当且仅当3第3页，共23页，2023年，2月20日，星期六齐次线性方程组解的性质:证明（1）若为的解，则也是的解.（2）若为的解，为实数，则也是的解.证明均是的解,则它们的综上所述,若线性组合也是的解.4第4页，共23页，2023年，2月20日，星期六定义齐次线性方程组的一组解向量如果满足：(1)线性无关；(2)的任一解向量均可被线性表示，则称为的一个基础解系。若只有零解，则基础解系不存在。基础解系即为全体解向量组的极大无关组。定理证略下面举例说明基础解系的求法。5第5页，共23页，2023年，2月20日，星期六求下面齐次线性方程组的一个基础解系，并用基础解系表示出全部解。

例1解6第6页，共23页，2023年，2月20日，星期六自由未知量取为

7第7页，共23页，2023年，2月20日，星期六基础解系:8第8页，共23页，2023年，2月20日，星期六例2解求下面齐次线性方程组的一个基础解系：

9第9页，共23页，2023年，2月20日，星期六自由未知量取为

10第10页，共23页，2023年，2月20日，星期六自由未知量取为

基础解系:11第11页，共23页，2023年，2月20日，星期六二、非齐次线性方程组解的结构称为的导出组。12第12页，共23页，2023年，2月20日，星期六非齐次线性方程组解的性质:证明（1）若为的解，则是的解.证明（2）若为的解，为的解，则

是的解.13第13页，共23页，2023年，2月20日，星期六定理如果

是的一个特解，那么的任一解可表为其中是导出组

的解.因此，当取遍导出组的全部解时，就给出的全部解。证明由上述性质可知，为导出组的解，记为则当取遍导出组的全部解时，就给出

的全部解。14第14页，共23页，2023年，2月20日，星期六设非齐次线性方程组当取遍导出组的全部解时，就给出

的全部解。全部解的求法：满足则有无穷多解,导出组(1)求出导出组的基础解系(2)求出原方程组的一个特解则的全部解为其中为任意常数.15第15页，共23页，2023年，2月20日，星期六例3解求方程组的全部解.所以有无穷多解。16第16页，共23页，2023年，2月20日，星期六导出组的基础解系：特解：所以全部解为任意。17第17页，共23页，2023年，2月20日，星期六例4方程组的增广矩阵为导出组的基础解系：18第18页，共23页，2023年，2月20日，星期六特解：所以全部解为任意。19第19页，共23页，2023年，2月20日，星期六例5解方程组(1)

为何值时,无解？有唯一解？有无穷多解？

(2)

无穷多解时，求出全部解(用向量表示)。

无解;20第20页，共23页，2023年，2月20日，星期六有无穷多解,全部解为k为任意常数.21第21页，共23页，2023年，2月20日，星期六例6