线性代数第四讲矩阵的初等变换

线性代数第四讲矩阵的初等变换第1页，共10页，2023年，2月20日，星期六①②①②1.引例在解线性方程组的过程中我们可以把一个方程变为另一个同解的方程这种变换过程称为同解变换

同解变换有交换两个方程的位置把某个方程乘以一个非零数某个方程的非零倍加到另一个方程上

显然交换B的第1行与第2行即得B1

增广矩阵的比较例如下页第2页，共10页，2023年，2月20日，星期六③2③2显然把B的第3行乘以(1/2)即得B2

1.引例在解线性方程组的过程中我们可以把一个方程变为另一个同解的方程这种变换过程称为同解变换

同解变换有交换两个方程的位置把某个方程乘以一个非零数某个方程的非零倍加到另一个方程上

例如增广矩阵的比较下页第3页，共10页，2023年，2月20日，星期六①2②①2②显然把B的第2行乘以(2)加到第1行即得B3

1.引例在解线性方程组的过程中我们可以把一个方程变为另一个同解的方程这种变换过程称为同解变换

同解变换有交换两个方程的位置把某个方程乘以一个非零数某个方程的非零倍加到另一个方程上

例如增广矩阵的比较下页第4页，共10页，2023年，2月20日，星期六线性方程组与其增广矩阵相互对应对方程组的变换完全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换

把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上就得到矩阵的三种初等变换1.引例在解线性方程组的过程中我们可以把一个方程变为另一个同解的方程这种变换过程称为同解变换

同解变换有交换两个方程的位置把某个方程乘以一个非零数某个方程的非零倍加到另一个方程上

下页第5页，共10页，2023年，2月20日，星期六

定义5.1

矩阵的初等行(列)变换

(i)对调两行(列)(ii)以非零数k乘某一行(列)中的所有元素

(3)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去2.矩阵的初等变换这三种变换都是可逆的且其逆变换是同一类型的初等变换例如变换krj+ri的逆变换为(k)rj+ri

rirj(cicj)对调i

j两行(列)

rik(cik)表示第i行(列)乘非零数k

krj+ri

(kcj+ci)表示第j行(列)的k倍加到第i行(列)上

初等变换的符号下页

定义5.1

矩阵的初等行(列)变换

(i)对调两行(列)——换法变换

(ii)以非零数k乘某一行(列)中的所有元素——倍法变换

(3)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去——消法变换第6页，共10页，2023年，2月20日，星期六矩阵的等价关系如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B

就称矩阵A与B等价记作A~B

如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B

就称矩阵A与B行等价记作A~Br如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B

就称矩阵A与B列等价记作A~Bc等价关系的性质

(i)反身性A~A

(ii)对称性若A~B

则B~A

(iii)传递性若A~B

B~C

则A~C

下页第7页，共10页，2023年，2月20日，星期六~~~~~r3r4112140

111000

026112140

222005

5360

3343112142111223

1123

69792r3+r4矩阵初等变换举例

r1r2r3+r22r1+r33r1+r4112140

11100

0

0

2600

013r2x1/25r2r33r2+r4r3x1/2r2+r1r3+r2行阶梯形矩阵

行最简形矩阵101040

11030

0

0

1300

00

000

00

00

0

0

13下页第8页，共10页，2023年，2月20日，星期六定理：任何矩阵总可以经过有限次初等行变换把它变成行阶梯形矩阵.例判断下列矩阵是否为行阶梯形矩阵.对行最简形矩阵再施以初等列变换可变成一种形状更简单的矩阵称为标准形其特点是左上角是一个单位矩阵其余元素全为0

矩阵的标准形~c