线性代数 特征值与特征向量

线性代数课件特征值与特征向量1第1页，共34页，2023年，2月20日，星期六一、特征值与特征向量的概念第二节

方阵的特征值与特征向量定义

设是阶矩阵，如果数和维非零列向量使关系式成立，那么这样的数称为方阵的特征值；非零向量称为方阵的对应于特征值的特征向量.注意：关系式是特征值与特征向量满足的条件式，由此可知必须为方阵.零向量显然满足关系式，但零向量不是特征向量.特征向量是非零向量.2第2页，共34页，2023年，2月20日，星期六二、特征值与特征向量的求法1.结论的引入若是的特征值，是的对应于的特征向量，则有方程有非零解，且是它的一个非零解是代数方程的根.3第3页，共34页，2023年，2月20日，星期六以为未知数的一元次方程称为方阵的特征方程.以为变元的次多项式，即称为方阵的特征多项式.4第4页，共34页，2023年，2月20日，星期六2.

结论⑴矩阵的特征方程的根就是的特征值.在复数范围内阶矩阵有个特征值(重根按重数计算).⑵设是方阵的一个特征值，则齐次方程的全体非零解就是的对应于特征值的全部特征向量；齐次方程的基础解系就是对应于特征值的全体特征向量的最大无关组.5第5页，共34页，2023年，2月20日，星期六例1求矩阵的特征值和特征向量.解

析：这是一道非常简单的求特征值和特征向量的题目，意在熟悉特征值和特征向量的求法和步骤.的特征多项式所以的特征值为6第6页，共34页，2023年，2月20日，星期六当时，对应的特征向量应满足即解得得基础解系所以对应于的全部特征向量为7第7页，共34页，2023年，2月20日，星期六当时，对应的特征向量应满足即解得得基础解系所以对应于的全部特征向量为8第8页，共34页，2023年，2月20日，星期六例2求矩阵的特征值和特征向量.解

的特征多项式所以的特征值为9第9页，共34页，2023年，2月20日，星期六当时，解齐次方程，得基础解系所以对应于的全部特征向量为10第10页，共34页，2023年，2月20日，星期六得基础解系当时，解齐次方程，所以对应于的全部特征向量为11第11页，共34页，2023年，2月20日，星期六例3求矩阵的特征值和特征向量.解

的特征多项式所以的特征值为12第12页，共34页，2023年，2月20日，星期六当时，解齐次方程，得基础解系所以对应于的全部特征向量为13第13页，共34页，2023年，2月20日，星期六得基础解系当时，解齐次方程，所以对应于的全部特征向量为(不同时为0).14第14页，共34页，2023年，2月20日，星期六说明例2和例3属于同一类型，解题方法和步骤也完全一致.但是，要注意它们的区别，在例2中，对应于2重特征值仅有一个线性无关特征向量；在例3中，对应于2重特征值有两个线性无关特征向量.15第15页，共34页，2023年，2月20日，星期六三、特征值与特征向量的性质⑴设阶矩阵的个(在复数范围内)特征值为则①②(的迹)1.特征值的性质⑵若是的特征值，且，则是矩阵的特征值.证明举例证明举例16第16页，共34页，2023年，2月20日，星期六⑶若是的特征值，则是矩阵的特征值.一般地，若是的特征值，且则是矩阵的特征值.说明如果，则上述结论中的幂指数可取任意实数.证明⑷若是的特征值，且，则是的特征值.证明特征值的性质17第17页，共34页，2023年，2月20日，星期六⑸若阶矩阵的秩为，则0一定是的特征值.但是必须注意0不一定是重特征值.证明⑹设为阶矩阵，则与的特征值相同.证明特征值的性质18第18页，共34页，2023年，2月20日，星期六⑵若是的对应于的特征向量，则也是的对应于的特征向量.⑴若是的对应于的特征向量，则也是的对应于的特征向量.2.特征向量的性质⑶

设是方阵的个特征值，依次是与之对应的特征向量，如果互不相等，则线性无关.证明举例19第19页，共34页，2023年，2月20日，星期六例4设3阶矩阵的特征值为求解析：此例的目的是熟悉特征值的性质(1)(2)(3),根据性质(1)知，求得的全部特征值，就可求得.此方法提供了求行列式的一个方法，即方阵的行列式=的全部特征值之积.因为的特征值为，全不为0，所以可逆，且则有故的特征值为20第20页，共34页，2023年，2月20日，星期六因此21第21页，共34页，2023年，2月20日，星期六例5设和是矩阵的两个不同的特征向量，对应的特征向量依次为和，证

根据题设，有析：要证明一个向量不是特征向量，通常用反证法.用反证法，假设是的特征向量，则存在数，使证明不是的特征向量.22第22页，共34页，2023年，2月20日，星期六因为，所以线性无关，故即有与题设矛盾.因此不是的特征向量.23第23页，共34页，2023年，2月20日，星期六四、小结设是阶矩阵，若有数和非零列向量，使则称是的特征值，为的对应于的特征向量.矩阵的特征值是特征方程的根.矩阵的对应于特征值的特征向量是齐次方程的非零解.特征值和特征向量的性质.24第24页，共34页，2023年，2月20日，星期六特征值的性质的证明⑴证因为是的个特征向量，则有即令，即得另一方面，根据行列式的定义知，上述行列式的展开式中，只有对角元之积含有25第25页，共34页，2023年，2月20日，星期六这些项中不含比较两端的的系数，可得即证毕特征值的性质的证明26第26页，共34页，2023年，2月20日，星期六特征值的性质的证明因为是的特征值，⑵证所以存在非零向量使又由知，可逆，且，所以这表明是矩阵的特征向量.证毕27第27页，共34页，2023年，2月20日，星期六特征值的性质的证明⑶证因为是的特征值，所以存在非零向量使用左乘上式两端得这表明是矩阵的特征向量.类似地，可以证是矩阵的特征向量.证毕28第28页，共34页，2023年，2月20日，星期六特征值的性质的证明⑷证因为是的特征值，所以存在非零向量使又因为，所以这表明是矩阵的特征向量.证毕29第29页，共34页，2023年，2月20日，星期六特征值的性质的证明⑸

证因为所以而有非零解因此存在非零向量，使这表明0是的特征值.证毕30第30页，共34页，2023年，2月20日，星期六特征值的性质的证明⑹证根据特征值满足的条件：是特征方程的根，所以要证与的特征值相同，只需证它们的特征方程相同，也即只需证它们的特征多项式相同.因为所以与的特征多项式相同，从而与的特征值相同.证毕31第31页，共34页，2023年，2月20日，星期六特征向量的性质的证明证

设存在使是方阵的特征值，依次是与之对应的特征向量，即有因为所以即即(1)(2)(3)32第32页，共34页，2023