线性代数 矩阵的特征值和特征向量

线性代数矩阵的特征值和特征向量第1页，共26页，2023年，2月20日，星期六§3.1矩阵的特征值和特征向量

在经济管理的许多定量分析模型中，经常遇到矩阵特征值和特征向量问题。引言例如例1定量分析污染与工业发挥水平的关系模型：，设是某地区目前的污染水平，是目前的工业发展水平。若干年后的污染述评和工业发展水平分别为，它们之间具有关系或

第2页，共26页，2023年，2月20日，星期六记有当有，，，。，由此，可预测出污染水平和工业发展水平的状态具有倍数关系。这是所谓矩阵特征值与特征向量问题。

。下面给出特征值与特征向量概念，除特别声明，均在实数域上讨论矩阵特征值与特征向量问题。时第3页，共26页，2023年，2月20日，星期六一、矩阵的特征值、特征向量概念定义3.1设是阶矩阵，如果存在一个数,相应地有非零向量,使得（3.1.1）,那么就称是矩阵的一个特征值,称为的一个特征向量.的属于特征值注1)矩阵的特征值、特征向量有两个前提条件:（1）特征值是一个数；（2）特征向量是非零向量,且满足；（3）对任何数,有,但0不是的特征向量,也不能说不是的特征值.第4页，共26页，2023年，2月20日，星期六注2)特征值与特征向量是相互联系的两个概念,即有特征值一定有相应的特征向量,有特征向量一定有相应的特征值.注3)等式刻划特征向量的特性:对作用只发生数量倍的变化.对于普通的几何空间而言,上述特性有明显的几何意义:与共线.一般地，向量经过线性变换后，表明是共线的。注4）对给定矩阵，并不是随便那个数都是它的特征值的。第5页，共26页，2023年，2月20日，星期六二、特征值、特征向量的求法、特征多项式设矩阵有一个特征值,是的属于特征值的特征向量，则,于是有.这表明是齐次线性方程组(3.1.2)的一个非零解（向量）。因而由齐次线性方程组理论，于是其系数矩阵的行列式。第6页，共26页，2023年，2月20日，星期六设为阶矩阵,命题是矩阵一个特征值充分必要条件是为以为变量的一元次代数方程(3.1.3)的根。称为A的特征矩阵，其行列式定义3.2含有未知数的矩阵称为矩阵的特征多项式,记作.

第7页，共26页，2023年，2月20日，星期六称为矩阵的特征方程。是A的属于特征值的特征向量的充分必要条件是为特征方程的根，设为阶矩阵,代数方程（证明略）定理3.1则是A的特征值，是齐次线性方程组的非零解（向量）。注1)

的特征多项式是一个次且首项系数是1；多项式,注2)

如果是A的特征值，常常称为A的特征根；第8页，共26页，2023年，2月20日，星期六注3)

根据定理3.1和齐次方程组理论，可以得到推论1如果是A的属于特征值的特征向量，则对任意常数，也是A的属于特征值的特征向量。且，则推论2如果都是A的属于特征值的特征向量，也是A的属于特征值的特征向量。

为数值。推论3如果都是A的属于特征值的特征向量，则也是A的属于特征值的特征向量，其中第9页，共26页，2023年，2月20日，星期六(它就是的属于特征值的全部特征值、特征向量的求法

注4)第一步对给定下的矩阵，计算特征多项式;第二步求出特征方程中的全部根(即的全部特征值，其中可能有重根或成对出现、重数相同的复数根);第三步对每一个特征值,求出齐次线性方程组的一个基础解系的极大无关的特征向量组),由此可求出的属于的全部特征向量，其中为数值.第10页，共26页，2023年，2月20日，星期六例2．求矩阵的特征值和相应的特征向量.解：矩阵的特征多项式为

因此由可得的全部特征值为.即求解对于，解齐次线性方程组,得到一个基础解系，

第11页，共26页，2023年，2月20日，星期六，这里为任意常数。于是的属于的全部特征向量为即求解对于，解齐次线性方程组,得到一个基础解系，这里为任意常数。

于是的属于的全部特征向量为，第12页，共26页，2023年，2月20日，星期六例3．求矩阵的特征值和相应的特征向量.解：矩阵的特征多项式为

因此没有实数解，在实数域上无特征值，但在复数域上，可得的全部特征值为解齐次线性方程组,对于，即求解

得到一个基础解系，第13页，共26页，2023年，2月20日，星期六全部特征向量为，解齐次线性方程组,对于，的于是的属于

的全部特征向量为，这里为任意常数。即求解得到一个基础解系，于是的属于这里为任意常数。

特征值与讨论数域有关，如果限制在实数域上，矩阵的特征值可能不存在或者不够多。注5）本例表明，对于给定的实数矩阵，其特征值可能不是实数，这时它的所有特征值全为复数。第14页，共26页，2023年，2月20日，星期六对于，例4．求矩阵特征值和相应的特征向量.解:矩阵的特征多项式为

因此由可得的全部特征值为（二重根），.即求解解齐次线性方程组,第15页，共26页，2023年，2月20日，星期六得到一个基础解系，于是的属于的全部特征向量为这里为不全为零的任意常数。即求解对于，解齐次线性方程组,于是的属于的全部特征向量为得到一个基础解系，这里，为任意常数。第16页，共26页，2023年，2月20日，星期六求矩阵特征值和相应的特征向量.例5．解:矩阵的特征多项式为（二重根），.因此由可得的全部特征值为即求解对于，解齐次线性方程组,得到一个基础解系

第17页，共26页，2023年，2月20日，星期六解齐次线性方程组,的属于的全部为非零任意常数。于是特征向量为，这里即求解对于，,于是的属于得到一个基础解系，的全部特征向量为，为任意常数。这里第18页，共26页，2023年，2月20日，星期六对于给定的阶矩阵A，记为。

的解空间。注6）A最多有个不同的特征值，每个特征值可以确定一簇特征向量。阶矩阵A属于特征值的特征向量全体再添加零向量构成的一个子空间，称为矩阵A对应特征值的特征子空间，它就是齐次线性方程组第19页，共26页，2023年，2月20日，星期六证明：设是矩阵A的属于的一个特征向量，则于是的一个特征向量。由此可知，是阶矩阵的一个特征值，并且是矩阵的属于例6．设是阶矩阵A的一个特征值，证明是阶矩阵的一个特征值。第20页，共26页，2023年，2月20日，星期六三、矩阵特征值和特征向量的性质特征多项式、特征值.定理3.2设是阶方阵,则与有相同的有

证明：根据行列式性质和特征多项式定义，此即与有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。第21页，共26页，2023年，2月20日，星期六则，假定不可逆，是它的任一特征值都不等于零。定理3.3阶方阵可逆的充分必要条件于是证明：必要性：设阶方阵可逆，则，的任一特征值都不为零。即0不是的特征值，亦即于是充分性：设的任一特征值都不为零，这表明0是的特征值，与已知条件矛盾。故必然可逆。第22页，共26页，2023年，2月20日，星期六个彼此不同的特征值，线性无关。定理3.4设是阶方阵,是的个彼此不同的特征值，分别是的属于的特征向量，则证明略属于的线性无关的特征向量组，定理3.5设是阶方阵,是的是的则证明略是线性无关向量组。第23页，共26页，2023年，2月20日，星期六个特征值为,设,例如例4中情形。根据定理3.5，是的个所有不同的特征值，则特征子空间的基向量组合起来的向量组线性无关。