微分中值定理及其应用课件

微分中值定理及其应用1拉格朗日中值定理和函数的单调性一、罗尔(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、单调函数一、罗尔(Rolle)定理例如,几何解释:证注意:罗尔定理的三个条件是充分的，但不是必要的.若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,又例如,f(x)满足条件(2),

(3),但不满足条件(1),

在(0,1)内,例如:(i)y=f(x)=1,x=1,x[0,1)

图3-1-2x

y011f(x)在[-1,1]上,满足条件(1),(3),但不满足条件(2),当

x

时,

f

(x)=1.

x

时,

f

(x)=1.

x=0时,

f

(0)不存在.

(ii)0x

y111图3-1-3y=|x|(iii)y=f(x)=x,x[1,2],

f(x)在[1,2]上满足条件(1),(2),但不满足条件(3),在(1,2)内,f

(x)=1.

02112xy图3-1-4y=x

例1

设函数

f(x)=(x1)(x2)(x3),

不求导数,试判

断方程

f

x

有几个实根,

它们分别在何区间?

解:

f(x)在[1,2]上连续,

在(1,2)上可导,且f(1)=f(2);由罗尔定理:1

,使

f

(1;

同理,2,,

注意到f(x)=0为二次方程,

使

f

(2;它至多有两个实根,故

1,2是

f(x)=0的全部实根.

二、拉格朗日(Lagrange)中值定理几何解释:证分析:弦AB方程为作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理例2证三、函数单调性函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经给出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判定函数的单调性却是很不方便的。1、函数单调性的判别法从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升（下降）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝）角，曲线就是上升（下降）的这就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调性？回答是肯定的。定理证应用拉氏定理,得注①若在(a,b)内至多有有限个导数等0的点和至多有限个不可导点，而在其余点处均有则由连续性，结论仍成立②此判定法则对其它各种类型的区间仍适用例1解注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．2、单调区间求法问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:例2解单调区间为例3证明证例4设证明[分析]如图所示oxy结论是显然的证一总之有2柯西中值定理与不定式极限一、柯西(Cauchy)中值定理几何解释:证作辅助函数二不定式极限在第三章中我们已经知道，当分子分母都是无穷小或都是无穷大时，两个函数之比的极限可能存在也可能不存在，即使极限存在也不能用“商的极限等于极限的商”这一运算法则。这种极限称为未定式本节我们就利用Cauchy中值定理来建立求未定式极限的L.Hospital法则，利用这一法则，可以直接求这两种基本未定式的极限，也可间接求出等其它类型的未定式的极限定义例如,定理定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.证定义辅助函数则有注①定理的条件：分子分母都是无穷小；分子分母都可导，且分母的导数不等于0；导数之比的极限存在或为∞②定理的结论：函数之比的极限等于导数之比的极限③④仍有类似的结论如：定理关于型的极限，有下述定理定理结论仍成立例1解例2注在反复使用法则时，要时刻注意检查是否为未定式，若不是未定式，不可使用法则。例3解例4解关键:通过适当的恒等变形将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.仍可使用L.Hospital法则来求极限步骤:即将其中之一个因子下放至分母就可转化为例9注意：对数因子不下放，要放在分子上步骤:例10解步骤:例11解例12解例13解例14解极限不存在洛必达法则失效。注意：洛必达法则的使用条件．3泰勒公式一、问题的提出在理论分析和近似计算中，常希望能用一个简单我们已经介绍了用线形函数（一次多项式）来近似的函数来近似的表示一个比较复杂的函数。表示函数的方法.不足:

问题:1、精确度不高；2、误差不能估计。分析:1.若在

点相交2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同考虑(2)且且：...(3)三、泰勒(Taylor)中值定理

证明三、泰勒(Taylor)中值定理泰勒(Taylor)中值定理

x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数,则当x在(a,b)内时,f(x)可以表示为(x-x0)的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和:

如果函数f(x)在含有

其中(4)证明:阶导数,且

的区间上满足柯西中值定理的条件,得

的区间上满足柯西中值定理的条件,得

拉格朗日形式的余项皮亚诺形式的余项四、泰勒公式的两种特殊形式上式称为麦可劳林公式，由此可得近似公式：类似的，上式右端的多项式称为f(x)的麦可劳林麦可劳林公式在应用中尤为重要。多项式，此时，误差估计式相应变成：例1.

写出f(x)=ex的n阶麦克劳林公式.

解：所以当

x=1时当n=10时,

解

例3.

求f(x)=sinx展开到n阶的麦克劳林公式解：因为所以m=1,m=2m=3oyxy=x

y=sinx

常用函数的麦克劳林展开式1.f(x)=cosx

(在0与x之间)

规定：如果对近似值要求绝对误差限为k-n则原始数据与中间计算都按4舍5入取n+1位小数,最后结果舍入成n位小数.

例3.

求sin100的近似值,要求误差不超过510-6

解：取函数f(x)=sinx.取x0=0

当n=2时,

当n=4时,

解解例6解解

应用带皮亚诺型余项的麦可劳林公式，有4函数的极值与最大（小）值可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得到解决。由Fermat定理知函数的可疑极值点为驻点、不可导点一函数的极值1函数极值的判断定理2(第一充分条件)(是极值点情形)2求极值的步骤:(不是极值点情形)例1解列表讨论极大值极小值图形如下定理3(第二充分条件)证例2解图形如下注意:例3解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.例4证（不易判明符号）而且是一个最大值点，例5设f(x)连续，且f(a)是f(x)的极值，问f

2(a)是否是f

2(x)的极值证分两种情况讨论①所以f

2(a)是f

2(x)的极小值②设f(a)是f(x)的极小值，且又f(x)在x=a处连续，且f

2(a)是f

2(x)的极大值同理可讨论f(a)是f(x)的极大值的情况例6假定f(x)在x=x0处具有直到n阶的连续导数，且证明当n为偶数时，f(x0)是f(x)的极值当n为奇数时，f(x0)不是f(x)的极值证由Taylor公式，得因此存在x0的一个小邻域，使在该邻域内下面来考察两种情形①n为奇数，当x渐增地经过x0时变号不变号变号不是极值②n为偶数，当x渐增地经过x0时不变号不变号不变号是极值且当时是极小值当时是极大值例4

解例5

解函数最大值和最小值的一般求法：y=f(x)x∈[a,b]

(1)求出f(x)的导数f'(x)；令f'(x)=0，求出驻点；(2)求出驻点处的函数值以及端点处的函数值；(3)比较这些值的大小，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是最小值.二.函数的最值例题与练习解：(1).f(x)的定义域为(-∞，1]

，[-8，1](-∞，+1](2).(3).令f‘(x)=0，解之得驻点为

(5).比较大小得，在[-8，1]上的最大值为，最小值为-5.(4).练习：求函数y=x2-4x+6在闭区间[-3，10]上的最大值和最小值例9.求函数f(x)=x2-2x+6的最值.(1).f(x)的定义域为(-∞，+∞).解：(2).f’(x)=2x-2=2(x-1)(3).令f’(x)=0，解之得驻点为x=1.当x∈(-∞，1)时，f’(x)<0,单调递减.当x∈(1，+∞)时，f’(x)>0,单调递增.若函数在一个开区间或无穷区间(-∞，+∞)内可导，且有唯一的极值点.例10.在半径为R的半圆内作内接梯形，使其底为直径其他三边为圆的弦，问应怎样设计，才能使梯形的面积最大？解：(三)：解决实际问题中的最大值问题的步骤：(1).根据题意建立函数关系式.(2).确定函数的定义域..(3).求函数f(x)在给定区域上的最大值或最小值.练习3.求半径为R的半圆的内接矩形的最大面积.

例4.生产某种商品x个单位的利润是P(x)=5000+x-0.00001x2(元)问生产多少个单位时获得的利润最大？解：(1)函数关系式为P(x)=5000+x-0.00001x2(x>0).(2)P’(x)=1-0.00002x(3)令P’(x)=0得驻点x=5×104

∵x=5×104是唯一驻点，又利润最大值存在.练习：∴当生产5×104个单位时获得的利润最大.1）求出函数的定义域；2）求出函数f(x)的导数f'(x)；3）令f’(x)=0,解出方程f'(x)=0的全部解，得到f(x)的全部驻点。4）列表考察f’(x)的符号，以确定该驻点是否为极值点，并由极值点求出函数的极值。求函数极值的步骤：小结与作业极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)最值问题的两种类型：(1)求出给定解析式的导数f'(x)；令f'(x)=0，求出驻点；(2)求出驻点处的函数值以及端点处的函数值；(3)比较这些值的大小，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是最大值.1.已知函数解析式及闭区间求最值.2.实际问题求最值.(1)根据题意建立函数关系式y=f(x)；(2)根据实际问题确定函数的定义域；

(3)求出函数y=f(x)的导数，令f‘(x)=0，求出驻点；若定义域为开区间且驻点只存一个，则由题意判定函数存在最大或最小值，则该驻点所对应函数值就是所求.作业：

P146:1,2,3,4,5.

思考题下命题正确吗？思考题解答不正确．例在–1和1之间振荡故命题不成立．§6.5函数的凸性与拐点

前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。oyxL3L2L1AB

如右图所示L1，L2，L3虽然都是从A点单调上升到B点，但它们的弯曲方向却不一样。L1是“凹(上凸)”弧，L2是“凸(下凸)”弧，L3既有凸弧，也有凹弧，这和我们日常习惯对凹凸的称呼是不一致的。K切=f

'(x)>0y单调递增凡呈凸型的弧段其切线总位于曲线的下方.凡呈凹型的弧段其切线总位于曲线的上方.K切=f

'(x)<0y单调递减x0

y0px0

y0y=f(x)pxyyxoo几何特征Ｉy=f(x)连续曲线的凹弧段与凸弧段有分界点.一、曲线凹凸的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方(凹函数)图形上任意弧段位于所张弦的下方(凸函数)的值分别是定义2.定义:若曲线y=f(x)在某区间内位于其切线的上方.则称该曲线在此区间内是凸的,此区间称为凸区间.

若曲线位于其切线的下方,则称该曲线在此区间内是凹的,此区间称为凹区间.xyoθ1θ2θ3abxyoθ1θ2θ3曲线的凹凸与拐点ab几何特征Ⅱ凸型曲线:切线的斜率随着X的增大而增大.凹型曲线:切线的斜率随着X的增大而减小.••••••x1x2x3