逆向思维在三角形中的应用 论文

逆向思维在三角形中的应用摘要

数学教学不仅仅是让学生领会和掌握数学知识，更应该着重促进他们思维的提高和发展。学生思维能力的发展过程，其实是思维方法不断更新的过程，因为思维的特性，决定了思维要具有多种法则。逆向思维就是其中一种具有重要意义的学习法则。逆向思维是指对方法、原理进行逆向思考，由结果来一步步反推，逆向进行的思维方法，简单来说就是“由果寻因”。逆向思维在数学中的应用十分广泛，本文作者以几何中的三角形为例，结合学生实践，浅谈逆向思维在几何中的应用。关键字：逆向思维，三角形，学生实践引言

《全日制义务教育数学课程标准》中明确提出要培养和发展学生逆向思维和实践能力，并要求教师引导学生主动地进行观察、实验、猜想、推理和交流等活动，让学生获得必需的数学知识，会运用数学逆向思维去解决实际问题，使学生获得进行数学学习的切身体验和能力[1]。逆向思维是我们解决数学问题的一大重要思想，它在我们代数、几何中都有着广泛的应用。本文重点阐述了逆向思维在三角形中的应用，结合教学实例，结合教学实践和学生实践探讨其应用。逆向思维为学生解题指明了方向，提供了思路[2]。文中的定义内容参考了相关的文献资料，以及总结已有的研究成果而来，当然也容入了自己的部分理解。作为奋斗在教育一线的执教者来说，“授之以鱼，不如授之以渔”，让学生在漫长的学习生涯中，保持清晰的头脑是至关重要的，逆向思维未尝不是另一种选择。一、逆向思维在三角形有关线段中的应用1．三角形三条重要线段的相关概念（1）三角形的高：如图1.1-1，从VABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做VABC的边BC上的高。（2）三角形的中线：如图1.1-2，连接VABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做VABC的边BC上的中线。（3）三角形的角平分线：如图1.1-3画ÐA的平分线AD，交ÐA所对的边BC于点D,所得线段AD叫做VABC的角平分线。A A A BD C

BD

CB D C(图1-1) (图1-2) (图1-3)2．三角形三条重要线段的性质（1）结合图1-1，因为AD是VABC的高，AD^BC,所以ÐADB=ÐADC=90°（2）结合图1-2，因为AD是VABC的中线，所以BD=DC（3）结合图1-3，因为AD是VABC的角平分线，所以ÐBAD=ÐCAD3．三角形三条重要线段的性质的应用在这部分，我选取了三角形中非常常见的题型。先分析思路，在这里，逆向思维在解题中的优势就凸显出来了，“由果寻因”，很快就能找到答案。例1.如图（3-1），在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小A82°B1D?2E40°C(图3-1)分析：我们要想求出∠DAE，可以通过角之间的和差关系求得。即ÐDAE=ÐÐBAD,这里Ð1可根据角平分线的性质直接求得，但是要求ÐBAD,可以根据三角形的内角和是180°来求，所以还要求出ÐB.综上所述，用流程图表示为：ÐDAEÐDAEÐB，以下是完整的解答过程：58°-90°=32°QAE是VABC的角平分线，ÐBAC=82°解： 1

\Ð=Ð=ÐBAC21

=´282°=41°又QAD是VABC的高\ÐADB=90°在VABC中，QÐBAC=82,°ÐC=40°\Ð=180°-ÐBAC-ÐC=180°-82°-40°=58°同理，在VABD中，ÐBAD=180°-Ð-ÐABD=180°-\ÐDAE=Ð-ÐBAD=41°-32°=°刚看到这题时，有部分学生是无从下手的，对于题目中的条件也不知道怎么用，也有的学生把答案求出来了，但是过程显得很混乱，所需要的条件和上下衔接不恰当，这都是思路不清晰的原因。这里，逆向思维就给我们指明了方向，通读题意后，分析出条件和问题，从问题出发，一步步反推，目的也很明确，知道自己需要什么，就求什么，也避免了一些无关条件。二.逆向思维在三角形外角中的应用1.三角形外角的概念（1）如图1，把VABC的一边BC延长，得到ÐACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 AB C D（图1）2．三角形外角的性质

（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。如图2所示：ÐACD=Ð+ÐB

ABCD（图2）3．三角形外角的应用

（1）在这里我选取了一个非常典型的题型，在平常的学习中，逆向思维已经渗透到学生的日常学习中了。在这里我要求学生一题多解，发散思维，培养解决问题的能力，巩固所学知识。例2.如图3，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数 A

51°20°分析：这题图形不是我们熟悉的基础图形，所以需要作辅助线，作出的辅助B D 30° C线不同，对应着解法也不同。我们要作辅助线构造出三角形，结合学生做法，（图3）提供了三种解题思路。解法一：20°51°DA30°C1234E（图3-1）如图3-1所示：连接AD并延长于点EQ在VABD中，Ð+ÐABD=Ð3在VACD中，Ð+ÐACD=Ð4\ÐBDC=Ð+Ð=Ð+ÐABD+Ð+ÐACD=51°+20°+°=101°解法二： A51°E20°D30°CB（图3-2）如图3-2所示：Q在VABE中，Ð1=ÐABE+ÐBAE在VECD中，ÐBDC=1Ð+ÐECD\ÐBDC=ÐBAC+ÐABD+ÐACD=51°+20°+°=101°解法三： A51°B20°D30°C（图3-3）如图3-3所示：Q在VABC中，ÐDBC+DCB=180-A-ABD-ACD=180-51-20-30=79°在VBCD中，ÐBDC=180-(°ÐDCB+ÐDBC)=180°-79°=101°在这三种解法中，虽然借助不同的辅助线，但是都运用到了逆向思维，再结合不同的知识点，很快就得到结果。解法一中，要想求得ÐBDC,需要先求得Ð3、Ð4,到这里，再结合题中所给条件，学生很容易看出。解法二中，要想求得ÐBDC,需要先求得ÐBEC,再利用外角知识，求得ÐBEC即可。解法三中，直接利用三角形的内角和来求。在这三种方法中，显然解法一和解法二，运用逆向思维思路更清晰。逆向思维不仅在数学学习中有着广泛的应用，并且在我们日常的生活、生产中，逆向思维时往往也能闪烁出带有智慧的耀眼光芒。因此，在平时的教学中，要多重视对学生逆向思维的训练，这有利于激发学生学习数学的兴趣，更要培养良好的思维品质。逆向思维在开发学生智