通信原理教程数字信号最佳接收原理

数字信号最佳接收原理8.1数字信号的统计表述 设：一通信系统的最高传输频率等于fH，接收电压用其抽样 值表示。噪声抽样电压的一维概率密度 若在一个码元期间内以2fH的速率抽样，则共得到k个抽样值：n1,n2,…,ni,…,nk，每个抽样值都是正态分布的随机变量，其一维概率密度可以写为 式中，n－噪声的标准偏差；

n2－噪声的方差。1.噪声抽样电压的k维联合概率密度

在一个码元时间T内接收的噪声平均功率： 或将上式代入联合概率密度式，得到 式中，需要注意：f(n)不是时间函数。n是一个k维矢量，可以看作是k维空间中的一个点。f(n)仅决定于该码元期间内噪声的能量。2.接收电压r(t)=s(t)+n(t)的k维联合概率密度函数：当发送码元“0”时： 式中，r(t)－接收信号和噪声电压之和； s0(t)－发送码元“0”时的信号波形。当发送码元“1”时： 式中，s1(t)－发送码元“1”时的信号波形。3.8.2数字信号的最佳接收准则“最佳”的含义－指错误概率最小。最佳接收的判决规则 接收矢量r看作是k维空间中一点k维空间划分为区域A0和A1判决规则： 若接收矢量落在区域A0内，则判为发送码元是“0”； 若接收矢量落在区域A1内，则判为发送码元是“1”。总误码率： 式中， －发送“1”时,r落在A0的条件概率； －发送“0”时，r落在A1的条件概率。

∴A0A1A0A14. 区域A0和A1的划分

∵

∴

可以改写为

由于P(1)是确定的，故为了使误码率最小，需使上式中的积分值最小。若在此积分空间A1中被积因子在各点上的值都最小，则积分值才最小。这就要求在A1内所有点上被积因子满足条件： 或者要求： 当P(1)=P(0)时，要求在A1内所有点上： ∴当接收矢量r落在A1内时，有f0(r)<f1(r)，按照上述判决规则， 应该判为发送码元是“1”。5. 类似地，可以证明，当接收矢量r落在A0内时，有f1(r)<f0(r)， 按照上述判决规则，应该判为发送码元是“0”。综上所述，最佳接收准则归纳如下：二进制系统：应将接收矢量空间划分为A0和A1两个区域： 在区域A0内所有点上： 在区域A1内所有点上： 当P(1)=P(0)时，则要求 在区域A0内所有点上： 在区域A1内所有点上：对接收矢量作如下判决：当P(1)=P(0)时 若接收矢量r使f1(r)<f0(r)，则判发送码元是“0”， 若接收矢量r使f0(r)<f1(r)，则判发送码元是“1”。6.8.3确知数字信号的最佳接收机：码元等概率、等能量条件下

∵

∴ 可以改写为 上式可以简化为 即，若 则判为“0”

若 则判为“1”7.二进制等先验概率最佳接收机原理方框图r(t)S1(t)S0(t)相乘器积分器相乘器积分器比较判决二进制等先验概率最佳接收机原理方框图8.8.4确知数字信号最佳接收机的误码率二进制等先验概率信号的误码率公式： 式中，

上式表明，当先验概率相等时，对于给定的噪声功率，误码率仅和两种信号码元波形的差别[s0(t)-s1(t)]的能量有关，而与波形本身无关。9.误码率的计算：首先用相关系数表示上式中的c相关系数的定义： 式中，的取值范围： 当s0(t)=s1(t)时，＝1，为最大值； 当s0(t)=-s1(t)时，＝-1，为最小值。 所以，当E0=E1=Eb时，有 及10.将 代入 得出 化简后，有 式中， －误差函数 －补误差函数

－相关系数；n0－噪声功率谱密度。11.上式是一个非常重要的理论公式，它给出了理论上二进制等能量数字信号误码率的最佳（最小可能）值。在下图中画出了它的曲线。由上式可以看出：误码率和噪声功率无直接关系， 而和噪声功率谱密度n0有关；误码率和信号波形无直接关系， 而和Eb及相关系数有关；当=1时，误码率最大。 这时的误码率Pe=1/2。当=-1时，误码率最小。这时 －2PSK信号12.当=0时，为正交信号。这时， －2FSK信号当E0=0，E1=Eb时 －2ASK信号2ASK信号的性能比2FSK信号差3dB，而2FSK信号又比2PSK信号差3dB。由 可知，E/n0实际上相当于接收信号噪声功率比PS/Pn13.多进制通信系统：若不同码元的信号正交，且先验概率相等，能量也相等，则有式中，M－进制数； E－M进制码元能量；

n0－单边噪声功率谱密度。 由于一个M进制码元中含有的比特数为log2M，故每个比特的能量等于每比特的信噪比为当k时，Eb/n0=0.693(-1.6dB)即可无误码。

Eb/n0Pe0.69314.8.5随相数字信号的最佳接收随相信号－相位因信道变化而具有随机性的信号。设：信号－2FSK调制、码元的能量相等、先验概率相等、 相位的概率密度服从均匀分布； 噪声－带限高斯白噪声。信号表示式：信号随机相位的概率密度：

15.相关器平方cos0t相加相关器平方sin0t相关器平方cos1t相加相关器平方sin1t比较r(t)Y0X1Y1X0M02M12判决规则： 若接收矢量r使f1(r)<f0(r)，则判发送码元是“0”， 若接收矢量r使f1(r)>f0(r)，则判发送码元是“1”。 其中，按照上述判决规则计算得出的误码率公式为按照上述判决规则得出 的方框图如右，图中： 16.8.6起伏数字信号的最佳接收起伏信号－包络随机起伏、相位随机变化的信号设：信号－2FSK调制、等能量、等先验概率、 相位的概率密度服从均匀分布； 噪声－带限高斯白噪声信号表示式： 式中，V0和V1服从同一瑞利分布：

0和1的概率密度服从均匀分布： Vi的均方值：17.判决规则：同前 若接收矢量r使f1(r)<f0(r)，则判发送码元是“0”， 若接收矢量r使f1(r)>f0(r)，则判发送码元是“1”。现在误码率计算结果：衰落对2FSK信号误码率的影响： 由右图可见， 当误码率等于10-2时， 衰落使性能下降约10dB； 当误码率等于10-3时，下降约20dB。 即，在有衰落时， 性能随误码率下降而迅速变坏。18.实际接收机的Pe最佳接收机的Pe相干2PSK信号－式(6-4-13)－式(8.4-21)相干2FSK信号－式(6-3-36)－式(8.4-22)非相干2FSK信号－式(6-3-28)－式(8.5-27)相干2ASK信号－式(6-2-47)－式(8.4-24)8.7实际接收机和最佳接收机的性能比较

19.8.8数字信号的匹配滤波接收原理8.8.1数字信号的匹配滤波接收法匹配滤波－用线性滤波器对接收信号滤波，使抽样时刻的输 出信噪比最大。设：H(f)－接收滤波器的传输函数；

h(t)－接收滤波器的冲激响应；

s(t)－接收信号；S(f)－接收信号的频谱密度；

n(t)－高斯白噪声；Pn(f)=n0/2－噪声双边功率谱密度;若滤波器输入码元为 则线性滤波器的输出为 式中，输出噪声功率：20.在抽样时刻t0上，输出信号瞬时功率与噪声平均功率之比为求r0的最大值－利用施瓦茲(Schwarz)不等式： 若 成立（其中k为整数），则上式的等号成立。 令 则有 当 时，上式的等号成立，r0最大。21.给出最大信噪比r0，它与信号频谱共轭匹配（除了常数因子外），故称之为匹配滤波器。匹配滤波器的特性还可以用其冲激响应函数h(t)来描述： 由上式可见，匹配滤波器的冲激响应h(t)就是信号s(t)的镜像s(-t)，但在时间轴上（向右）平移了t0。22.匹配滤波器应该是物理可实现的，即其h(t)应该满足条件： 即要求满足条件 或满足条件上式的条件说明：滤波器输入信号码元s(t)在抽样时刻t0之后必须为零。 一般不希望在码元结束之后很久才抽样，故通常选择在码元末尾抽样，即选t0=T。故匹配滤波器的冲激响应可以写为这时，匹配滤波器输出信号码元的波形，可以写为 上式表明，匹配滤波器输波形是输入码元波形的自相关函数的k倍。23.【例8.1】设接收信号码元s(t)的表示式为 试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。 【解】s(t)的频谱为 由式 令k=1，可得其匹配滤波器传输函数为 由式 令k=1，得到此匹配滤波器冲激响应为 ，由 画出曲线如右。tTs(t)1(a)接收信号波形tTh(t)1(b)冲激响应tTso(t)(c)输出信号波形24. 此匹配滤波器的方框图：由

∵(1/j2f)－是理想积分器的传输函数 exp(-j2fT)－是延迟时间为T的延迟电路的传输函数

∴方框图如下：理想积分器延迟T相减25.【例8.2】设接收信号s(t)的表示式为试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。【解】∵s(t)的频谱密度为故其匹配滤波器的传输函数为上式中，已令t0=T。(a)信号波形(c)输出波形26.此匹配滤波器的冲激响应: 为了便于画出波形图，令 式中，n=正整数。这样，上式可以化简为

h(t)的曲线示于右图。匹配滤波器输出波形可以由如下卷积公式求出 由于s(t)和h(t)在区间(0,T)外都等于零，故上式中的积分可以分为如下几段进行计算： 计算结果如下：(c)输出波形(b)冲激响应27.用匹配滤波器构成的接收电路方框图：匹配滤波器1匹配滤波器2抽样判决抽样t=Tt=T输入输出28.8.8.2数字信号的相关接收法设：匹配滤波器的冲激响应函数 匹配滤波器是物理可实现的： 输入信号码元x(t)限定在(0,T) 则输出信号波形y(t)按照式 可以写成： 在抽样时刻T，输出电压等于： 可以看出，上式中的积分是一种相关运算，即将输入x(t)与和s(t)作相关运算。只有输入信号x(t)=s(t)时，在时刻t=T才有最大的输出信噪比。按照上述原理，可以得出相关接收法。29.相关接收法方框图相关接收法判决准则：相乘相乘积分积分抽样判决抽样判决比较s0(t)s1(t)x(t)t=Tt=T30.【例8.3】设有一个信号码元如例8.2中所给出的s(t)。试比较它分别通过匹配滤波器和相关接收器时的输出波形。 【解】根据 此信号码元通过相关接收器后，输出信号波形等于 上式中，假定f0很大，故结果近似等于t/2，即与t成正比。 输出波形： 只有当t=T时， 两者的抽样值才相等。匹配滤波器输出相关器输出图8.8.6匹配滤波和相关接收比较31.8.9最佳基带传输系统基带传输系统基带总传输函数：H(f)=GT(f)C(f)GR(f) 式中，GT(f)－发送滤波器的传输函数； GR(f)－接收滤