物理第五章电磁波的辐射

物理第五章电磁波的辐射第1页，共64页，2023年，2月20日，星期六第五章

电磁波的辐射第2页，共64页，2023年，2月20日，星期六随时间变化的电荷-电流源：又称为辐射源形成向远处辐射的电磁波1.电磁波的辐射主要研究辐射出去的电磁场和辐射源之间的关系2.为了简单起见，本章仅研究真空中的辐射场，其出发点是真空中的麦克斯韦方程组3.研究方法:不直接求辐射场，而是先求辐射势，再由势来求场第3页，共64页，2023年，2月20日，星期六研究思路以真空中的麦氏方程为依据引入电磁场的矢势和标势导出电磁场的矢势和标势遵循的微分方程达朗贝尔方程求出达朗贝尔方程的解推迟势利用推迟势讨论小区域电荷电流在远处辐射的电磁场将推迟势作多级展开，得到电偶极辐射电磁场以及平均能流密度和辐射功率的公式第4页，共64页，2023年，2月20日，星期六§5.1电磁场的矢势和标势内容概要

1、引入电磁场的矢势和标势2、规范变换和规范不变性3、达朗贝尔方程第5页，共64页，2023年，2月20日，星期六一、用势描述真空中的电磁场1.预备知识（矢量场的两个基本定理）

表明矢量场的旋度是无源场也可以理解为:无源场可以表示为另一矢量场的旋度表明标量场的梯度是无旋场也可以理解为:无旋场可以表示为另一标量场的梯度第6页，共64页，2023年，2月20日，星期六一、用势描述真空中的电磁场2.引入势的依据(真空中的麦克斯韦方程组)第7页，共64页，2023年，2月20日，星期六3.电磁场矢势的引入对于磁场:无论变化还是稳恒均有A的物理意义：在任意时刻，A沿任一闭合回路的线积分等于该时刻通过以闭合回路为边界的任意曲面的磁通量。注：从矢势A的引入可以看出，电磁场的矢势与静磁场的矢势唯一的区别就在于，电磁场的矢势是随时间变化的。:矢(量)势第8页，共64页，2023年，2月20日，星期六4.电磁场标势的引入对于静电场:对于变化电磁场:静电场::标势(电势)不能象静电场那样直接引入标量势函数第9页，共64页，2023年，2月20日，星期六

在变化电磁场情况，，不能象静电场那样直接引入标量势函数。引入标量势函数4.电磁场标势的引入

j是标量，仍称为（标）势函数。一般地，j不仅与E有关，而且与B有关，不再具有电势的物理意义。第10页，共64页，2023年，2月20日，星期六任何电磁场可以用一标量场和一矢量场所描述:说明：在变化情况下电场与磁场发生直接联系，则电场的表示式必然包含矢势A在内。变化的电磁场，E不再是保守力场，不存在势能的概念，标势失去作为电场中的势能的意义。

当A与时间无关，即∂A/∂t=0时，这时就直接归结为电势。第11页，共64页，2023年，2月20日，星期六任何电磁场可以用一标量场和一矢量场所描述:问题：若场确定，则势能唯一确定吗？答案：用矢势A和标势描述电磁场不是唯一的.求解电磁场的问题，变为求解势函数的问题第12页，共64页，2023年，2月20日，星期六二、规范变换和规范不变性规范设为任意时空函数,作变换即(A’,’)与(A,)描述同一电磁场.变换式称为势的规范变换.当势作规范变换时,所有物理量和物理规律都应该保持不变,这种不变性称为规范不变性.规范变换1、规范变换和规范不变性第13页，共64页，2023年，2月20日，星期六2.规范对于同一电磁场，电磁势的选择不是唯一的。要确定电磁势，需要给出一定的附加条件或限制，这些附加条件或限制称为规范（1）引入规范可从研究的散度入手，即限制选择是任意的，但若选择的好，可使电磁场的解简单，基本方程对称或物理意义明显。第14页，共64页，2023年，2月20日，星期六2.规范（2）两种常用规范

库仑规范

洛仑兹规范优点：简化矢势和标势满足的的微分方程，使矢势和标势满足的的微分方程对称第15页，共64页，2023年，2月20日，星期六第五章

电磁波的辐射第16页，共64页，2023年，2月20日，星期六回顾本章的研究思路以真空中的麦氏方程为依据引入电磁场的矢势和标势导出电磁场的矢势和标势遵循的微分方程达朗贝尔方程求出达朗贝尔方程的解推迟势利用推迟势讨论小区域电荷电流在远处辐射的电磁场将推迟势作多级展开，得到电偶极辐射电磁场以及平均能流密度和辐射功率的公式第17页，共64页，2023年，2月20日，星期六三.矢势和标势满足的的微分方程1.推导依据:

真空中麦克斯韦方程组、场与势的关系，所取的规范第18页，共64页，2023年，2月20日，星期六三.矢势和标势满足的的微分方程1.推导推导过程：（1）第19页，共64页，2023年，2月20日，星期六而：则有：（2）（1）一般情况下，真空中电磁场的矢势和标势满足的的微分方程第20页，共64页，2023年，2月20日，星期六2.两种规范下的电磁势方程

库仑规范（1）（2）（1）矢势和标势满足的的微分方程：（2）库仑规范下势的方程第21页，共64页，2023年，2月20日，星期六若采用库仑规范库仑规范的特点是标势所满足的方程与静电场情形相同，其解是库仑势。解出后代入第一式可解出A，因而可以确定辐射电磁场。第22页，共64页，2023年，2月20日，星期六

洛仑兹规范（1）（2）称为达朗贝尔方程（2）（1）矢势和标势满足的的微分方程：洛仑兹规范下势的方程第23页，共64页，2023年，2月20日，星期六称为达朗贝尔方程洛仑兹规范下势的方程洛仑兹规范下的达朗贝尔方程是两个波动方程，因此由它们求出的及均为波动形式，反映了电磁场的波动性。电荷产生标势波动，电流产生矢势波动。达朗贝尔方程实质上是用势表示的电动力学的基本方程。当电场,磁场不随时间变化时，与时间无关，

方程变为静场的泊松方程两个方程具有高度的对称性且相互独立，求出一个解，另一个解就迎刃而解。第24页，共64页，2023年，2月20日，星期六推迟势推迟势达朗贝尔方程称为解称为第25页，共64页，2023年，2月20日，星期六§5.2推迟势

本节主要是求解达朗贝尔方程，并阐明其解推迟势的物理意义。第26页，共64页，2023年，2月20日，星期六得出达朗贝尔方程解(推迟势)的思路

电磁场具有叠加性，故交变电磁场中的矢势和标势均满足叠加原理。因此，对于场源分布在有限体积内的势，可先求出场源中某一体积元所激发的势，然后对场源区域积分，即得出总的势。又因矢势的方程与标势的方程在形式上相同，故只需求出的方程的解即可。第27页，共64页，2023年，2月20日，星期六电荷连续分布的带电体电势的求解dqＰ将带电体分成很多电荷元dq任取dq求出它在空间任意点P的电势对整个带电体积分,可得总电势：第28页，共64页，2023年，2月20日，星期六一、推迟势的推导:思想:标势和矢势数学形式完全相同，可通过先求出标势在通过替代求出矢势位于坐标原点的点电荷激发的标势位于任意位置的点电荷激发的标势任意电荷分布激发的标势微元分析法随时间变化，任意分布的电荷源

的求解分三步走：第29页，共64页，2023年，2月20日，星期六

位于坐标原点的点电荷Q(t)激发的势ＯＯ表示场点在t时刻的势是位于坐标原点的电荷Q在时刻激发的表示场点在t时刻的势是位于的电荷Q在时刻激发的位于任意位置的点电荷Q(t)激发的势第30页，共64页，2023年，2月20日，星期六任意电荷分布激发的标势Ｏ叠加推迟势通过替代求出矢势第31页，共64页，2023年，2月20日，星期六一般变化电流分布J(x’,t)所激发的矢势为一般变化电荷分布(x’,t)所激发的标势为推迟势任意电荷电流系统激发的势令r为源点x’到场点x的距离第32页，共64页，2023年，2月20日，星期六一个电荷电流系统t时刻，在空间x点的势（电磁场）不是决定与同一时刻t的电荷分布，而是决定于较早时刻（t-r/c）的电荷电流分布，即空间势的建立与场源相比推迟了r/c。二、推迟势的物理意义推迟势说明电磁作用具有一定的传播速度C第33页，共64页，2023年，2月20日，星期六某点x在某时刻t的场值，不依赖于同一时刻t的电荷电流分布,而是决定于较早时刻t-r/c的电荷电流分布。而且源的位置不同，所提前的时间也不同。即x点t时刻的势，是由不同地点的源在不同时刻激发的。第34页，共64页，2023年，2月20日，星期六麦克斯韦方程组:

洛仑兹规范推迟势达朗贝尔方程称为解称为反过来，推迟势满足洛伦兹条件第35页，共64页，2023年，2月20日，星期六验证A和满足洛伦兹条件.证明如下:设.对r的函数而言,有,因此第36页，共64页，2023年，2月20日，星期六验证A和满足洛伦兹条件.证明如下:设.对r的函数而言,有,因此第37页，共64页，2023年，2月20日，星期六回顾本章的研究思路以真空中的麦氏方程为依据引入电磁场的矢势和标势导出电磁场的矢势和标势遵循的微分方程达朗贝尔方程求出达朗贝尔方程的解推迟势利用推迟势讨论小区域电荷电流在远处辐射的电磁场将推迟势作多级展开，得到电偶极辐射电磁场以及平均能流密度和辐射功率的公式第38页，共64页，2023年，2月20日，星期六

电磁波是从变化的电荷、电流系统辐射出来的。宏观上，主要是利用载有高频交变电流的天线产生辐射，微观上，一个做变速运动的带电粒子即可产生辐射。下面仅讨论电荷电流分布以一定频率做周期运动，且电荷、电流系统线度远远小于系统到观测点的距离的情况。第39页，共64页，2023年，2月20日，星期六§5.3.1

谐变电流电荷分布的多极辐射场第40页，共64页，2023年，2月20日，星期六一、谐变电流、电荷的表示随时间正弦或余弦变化说明：对谐变源，给定电流分布，电荷分布也即给定二、谐变电流、电荷的辐射场的表示对谐变源的定态电磁场求解归结为：类比时谐波的表示第41页，共64页，2023年，2月20日，星期六对于真空中的辐射场:证明即得:第42页，共64页，2023年，2月20日，星期六谐变电流、电荷的辐射场的表示对谐变源的定态电磁场求解归结为：第43页，共64页，2023年，2月20日，星期六三.小区域电流远区辐射场的矢势1.定态辐射场的矢势表示矢势空间部分Ｏ如果令则有第44页，共64页，2023年，2月20日，星期六三.小区域电流远区辐射场的矢势1.定态辐射场的矢势表示矢势空间部分稳恒磁场的矢势式中因子eikr是推迟作用因子，它表示电磁波传到场点时有相位滞后kr。第45页，共64页，2023年，2月20日，星期六在矢势公式中,存在三个线度:电荷分布区域的线度l空间电磁波波长=2/k电荷到场点的距离r2.小区域电流研究区域的划分PO

小区域电荷电流系统在物理上要求：

且第46页，共64页，2023年，2月20日，星期六考虑小区域内电流辐射：按r和的关系,可分成研究区域划分为三个区域：

(3)远区(辐射区)

r>>(1)近区

r<<

(2)感应区(过渡区)

r~2.小区域电流研究区域的划分小区域电荷电流系统辐射场远区满足：小区域电荷电流系统辐射场近区满足：

第47页，共64页，2023年，2月20日，星期六辐射场三个区的物理特征：辐射场近区（又叫似稳区）

与静电场和静磁场结果类似。在近区的电磁场保持稳恒场的主要特点。辐射场远区（又叫辐射区）

由于推迟效应，远区辐射场具有横向电磁场特征。辐射场感应区（又叫过渡区）

它介于似稳区和辐射区的过渡区域中。第48页，共64页，2023年，2月20日，星期六研究小区域电流远区辐射场小区域电荷电流系统辐射场远区满足：第49页，共64页，2023年，2月20日，星期六研究小区域电流远区辐射场由二项式展开得到（略去等高次项）：由图可知：n为场点矢径的方向上的单位矢量。

第50页，共64页，2023年，2月20日，星期六展开式的各项对应于各级电磁多极辐射3、小区域电流远区辐射场的矢势展开结果:第51页，共64页，2023年，2月20日，星期六§5.3.2电偶极辐射第52页，共64页，2023年，2月20日，星期六小区域电流远区辐射场的矢势展开结果::矢势级数快速收敛（

）近似公式可以仅取积分中的第一项，有：由page46,习题5可知表明体系的总电流等于体系总电偶极矩的变化率A(1)为电偶极辐射第53页，共64页，2023年，2月20日，星期六一.电偶极辐射场的计算1、计算思想2、两个运算公式OP第54页，共64页，2023年，2月20日，星期六考虑远区条件，，即，所以有：对于:第55页，共64页，2023年，2月20日，星期六3、计算结果:第56页，共64页，2023年，2月20日，星期六计算结果:讨论:如果取球坐标，原点在电荷电流分布区域内，并以p方向为极轴，则由上式可知：第57页，共64页，2023年，2月20日，星期六电偶极辐射场（1）电场沿经线振荡，磁场沿纬线振荡，传播方向、电场方向、磁场方向相互正交构成右手螺旋关系；结论:第58页，共64页，2023年，2月20日，星期六（2）电场、磁场正比于，因此它是空间传播的球面波，且为横电磁波（TEM波），在时可以近似为平面波；结论：（3）注意如果（）不能被满足，可以证明电场不再与传播方向垂直，这时传播的是横磁波（TM波）第59页，共64页，2023年，2月20日，星期六二、辐射性能的几个重要参数衡量一个带电系统辐射性能的几个重要参数，是它的辐射功率和辐射角分布，这些问题都可以通过能流密度求得答案。1、辐射场的平均能流密度电偶极辐射的平均能流与方向有关与电