2022河南省名校联盟顶尖计划高中毕业班第三次考试数学（文）试题（解析版）

2022届河南省名校联盟”顶尖计划“高中毕业班第三次考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化简集合B，再去求.【详解】则故选：D2．若复数z满足，则z的虚部为（

）A． B． C． D．3【答案】B【解析】结合复数的四则运算，可得，进而可求出z的虚部.【详解】由，得，则z的虚部为.故选：B.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查复数的概念，考查学生对基础知识的掌握.3．已知椭圆C：的离心率为，以C的上､下顶点和一个焦点为顶点的三角形的面积为48，则椭圆的长轴长为（

）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】D【分析】根据题意，列出的方程组，解得，则问题得解.【详解】根据题意，由椭圆的离心率为可得，又，即，又，故可得，则椭圆的长轴长.故选：.4．某市为了解市民对机动车单双号限行的看法，随机调查了一部分市民，其年龄（岁）统计结果如下，则这组数据的中位数为（

）A．30 B．32.8 C．35.6 D．40【答案】B【分析】根据频率分布直方图的中位数的计算方法，准确计算，即可求解.【详解】由频率分布直方图，可得区间的频率为，又由区间，，设这组数据的中位数为，则.故选：B.5．盈亏平衡点又称零利润点，通常是指全部销售收入等于全部成本时（销售收入线与总成本线的交点）的销售量，其计算公式为（其中为盈亏平衡点，为单位产品变动成本，为单位产品税金及附加，P为产品单价，为总固定成本）.某企业某种产品的年固定成本为1800万元，单位产品变动成本为600元，单位产品税金及附加为200元，若该企业这种产品每年的盈亏平衡点为75000台，则该产品的单价为（

）A．1000元 B．1020元 C．1040元 D．1060元【答案】C【分析】根据题中公式代入相应数据即可求解产品的单价．【详解】由公式得，解得元故选：C6．已知正项数列满足，则数列的前10项和（

）A．1022 B．1023 C．2046 D．2047【答案】C【分析】由，变形为，根据，得到求解.【详解】因为满足，所以，因为，所以，因为，所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以故选：C7．若a，b为实数，圆：和：有三条公切线，则的最大值为（

）A． B．3 C． D．6【答案】A【分析】根据圆的切线确定两圆位置关系得出，再根据不等式求最值即可.【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，因为两圆恰有三条公切线，则两圆外切,所以,即，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立.故选：A8．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，以向量法去求解异面直线与所成角的余弦值.【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接以为原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则则又异面直线所成角的范围为故异面直线与所成角的余弦值为故选：A9．已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根据题意，求得的周期，结合已知函数解析式，即可代值求得结果.【详解】因为是定义在上的奇函数，故可得，又为偶函数，故可得，则，故以为周期；故.故选：.10．已知直三棱柱的外接球表面积为，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设外接球半径为，底面外接圆半径为，由表面积计算，由正弦定理计算，根据直三棱柱外接球半径的计算公式列式求解.【详解】设外接球半径为，底面外接圆半径为，因为外接球表面积为，所以，又因为，，由正弦定理得，所以，所以.故选：D11．已知，分别为双曲线C：的左､右焦点，直线l：与C的左右两支分别相交于A，B两点，且，四边形的面积为，则双曲线的离心率为（

）A．3 B． C． D．2【答案】C【分析】根据四边形面积及AB的长，求出，进而得到关于的齐次式，整理为关于离心率的方程，求出答案，舍去不合要求的解.【详解】令中，，则，解得：，则，又四边形为梯形，面积为，解得：，将其代入中，化简得：，方程两边同时除以得：，其中，解得：或（舍去），故，故双曲线的离心率为.故选：C12．已知函数，则使得不等式成立的t的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判断函数的图象的对称轴以及函数的单调性，由此列出相应的不等式，解得答案.【详解】函数的图象关于直线对称，函数的图象也关于直线对称，故函数的图象关于直线对称，当时，函数函数单调递增，函数单调递增，故单调递减，当时，单调递增，故由不等式成立可得：，整理得：且，故且，故选：D【点睛】本题综合考查了函数的对称性以及单调性的应用，解答时不能直接代入求解不等式，而是要判断函数的对称性和单调性，由此将转化为关于t的不等式求解.二、填空题13．已知向量，，若，则实数___________.【答案】0【分析】先求出的坐标，再利用向量共线的坐标形式可求的值.【详解】,因为，故，解得，故答案为：0.14．已知变量x，y满足约束条件则的最小值为___________.【答案】【分析】由约束条件作出可行域，将转化为：，由直线在y轴上的截距最小时求解.，【详解】由变量x，y满足约束条件作出可行域如图所示：将转化为：，平移直线，当直线经过点A（0，-1）时，在y轴上的截距最小，此时，目标函数取得最小值，最小值为-4，故答案为：-415．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则___________.【答案】【分析】根据三角函数图象的对称性，得到，求得，进而求得，得到，结合，即可求得的值.【详解】如图所示，根据三角函数图象的对称性，可得阴影部分的面积等于矩形和的面积之和，即，因为函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图象，所以，又因为图中阴影部分的面积为，所以，解得，又由图象可得，可得，所以，所以，所以，因为，可得，即，因为，所以.故答案为：16．已知数列满足，，，则___________.【答案】【分析】根据数列的递推关系，求出数列的通项公式，再结合数列求和中的裂项相消法即可求解.【详解】由，，得即，由，得.所以数列是以首项为，公差为1的等差数列.所以即所以所以.故答案为：.三、解答题17．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.(1)求角C；(2)若，的面积，求S.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理及三角变换公式可得，从而可求角C；（2）利用面积公式可得，再结合余弦定理可求，从而可求.(1)因为，所以，所以，由正弦定理得.因为，所以.因为，所以，所以，则.(2)由，根据面积公式，得，所以.由余弦定理得，整理得，即，所以，.所以的面积18．无土栽培由于具有许多优点，在果蔬种植行业得到大力推广，无土栽培的类型主要有水培､岩棉培和基质培三大类.某农科院为了研究某种草苺最适合的无土栽培方式，种植了株这种草苺进行试验，其中水培、岩棉培、基质培的株数分别为、、.草苺成熟后，按照栽培方式用分层抽样的方法抽取了株作为样本，统计其单株产量，数据如下：(1)求、、的值；(2)从样本中单株产量在内的草莓中随机抽取株，求这株草莓中恰有株草莓采用了岩棉培的概率.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根据分层抽样可知，水培、岩棉培、基质培分别抽取的株数为、、，结合表格中的数据可求得、、的值；（2）记水培的株分别为、、、，岩棉培的株分别为、，基质培株的为，列举出所有的基本事件，确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.(1)解：根据分层抽样可知，水培、岩棉培、基质培分别抽取的株数为、、，由，解得，由，解得，由，解得，(2)解：记水培的株分别为、、、，岩棉培的株分别为、，基质培株的为，则随机抽取株的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共个，其中恰有株草莓采用了岩棉培的有：、、、、、、、、、，共个，故所求概率为.19．如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，且，E为AB的中点，F为与的交点.(1)求证：平面平面；(2)若，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)如图，连接BD，根据题意可得DE⊥CD，利用线面垂直的性质和判定定理可得DE⊥平面，进而即可证明面面垂直；(2)结合(1)和线面垂直的性质和判定定理可得平面，取的中点G，连接GF，进而可得平面，求出、、，利用三棱锥的体积公式计算即可.(1)如图，连接BD.在菱形ABCD中，∠BAD=60°，所以为正三角形，因为E为AB的中点，所以DE⊥AB.因为AB//CD，所以DE⊥CD.因为平面ABCD，平面ABCD，所以，而，且，平面，所以DE⊥平面.又因为平面DEF，所以平面DEF⊥平面.(2)由（1）知.因为平面ABCD，平面ABCD，所以.而，且，平面，所以平面.如图，取的中点G，连接GF.因为F为的中点，所以，所以平面.由条件知，，，，所以三棱锥的体积.20．在平面直角坐标系xOy中，已知F为抛物线C：的焦点，点为抛物线C上一点，P关于x轴对称的点为Q，且和的面积分别为16和2.(1)求C的方程；(2)设点，A，B为抛物线C上不同的三点，直线DA，DB的倾斜角分别为，，且满足，证明：直线AB经过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)根据题意和三角形的面积公式可得，，代入抛物线方程计算即可；(2)设、、直线AB的方程，联立抛物线方程并消去x，利用韦达定理表示出，结合题意和两点坐标求斜率公式列出方程，化简计算即可.(1)由题意知，所以的面积为，则①.又因为焦点，所以，则的面积为，则②.由①②，联立解得，，则，将P点坐标代入抛物线方程得，解得，故C的方程为.(2)由，代入抛物线C的方程得，解得，所以.设，，则直线AB的方程为，联立消去x，得，所以，.因为，即，所以，所以，整理得，所以，则，所以直线AB的方程为，即，所以直线AB经过定点.21．已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)若的极大值为，求证：.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论，确定导数的正负，判断函数的单调性；（2）利用（1）的结论，求出，然后将不等式变为，构造函数，从而将证明不等式问题转化为用导数解决函数的单调性或者最值问题,则原不等式得以证明.(1)由，得.当时，恒成立，所以函数在上单调递增；当时，由，得，由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，综上可知，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，上单调递减.(2)由（1）知，且当时，取得极大值，所以，解得，则.要证，即证.令，则，.令，而在上单调递增，因为，，所以，使得，即，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又因为，即，所以，所以，即，亦即.【点睛】本题考查了用导数判断函数的单调性以及用导数证明不等式的问题，解答时要明确导数与函数的单调性之间的关系，解答的关键是证明不等式时，要合理的变形，进而构造新函数，然后将证明不等式问题转化为函数的单调性的判断或者是最值问题加以解决.22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C的两个交点分别为A，B，点，记与的面积分别为，，求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）消去参数后可得直线的普通方程，利用可得曲线C的直角坐标方程.（2）利用直线方程中参数的几何意义可求的值.(1)直线l的普通方程为.曲线C的极坐标方程可变形为，所以C的