2021-2022学年北京市西城区高一上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年北京市西城区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，，那么（）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式，直接求并集.【详解】由已知得，所以，故选：C.2．方程组的解集是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】解出方程组，写成集合形式.【详解】由可得：或.所以方程组的解集是.故选：A3．函数的定义域是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】解不等式组即可得定义域.【详解】由得：所以函数的定义域是.故选：B4．为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取100件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到如下的样本频率分布直方图．若质量指标值在内的产品为一等品，则该企业生产的产品为一等品的概率约为（）A．0.38 B．0.61C．0.122 D．0.75【答案】B【分析】利用频率组距，即可得解.【详解】根据频率分布直方图可知，质量指标值在内的概率故选：B5．若，，则一定有（）A． B． C． D．以上答案都不对【答案】D【分析】对于ABC，举例判断，【详解】对于AB，若，则，所以AB错误，对于C，若，则，所以C错误，故选：D6．已知向量，，那么（）A．5 B． C．8 D．【答案】B【分析】根据平面向量模的坐标运算公式，即可求出结果.【详解】因为向量，，所以.故选：B.7．若，则（）A． B．a C．2a D．4a【答案】A【分析】利用对数的运算可求解.【详解】，故选：A8．设，为平面向量，则“存在实数，使得”是“向量，共线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】结合充分条件和必要条件的概念以及向量共线即可判断.【详解】充分性：由共线定理即可判断充分性成立；必要性：若，，则向量，共线，但不存在实数，使得，即必要性不成立.故选：A.9．设为上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数单调性结合零点即可得解.【详解】为上的奇函数，且在上单调递增，，得：或解得.故选：D10．如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意可得出，然后根据向量的运算得出，从而可求出答案.【详解】因为点C为的中点，，所以，所以，因为点M为线段AB上的一点，所以，所以，所以的取值范围是,故选：D.二、填空题11．命题“，”的否定是______．【答案】【分析】直接根据全称命题的否定为特称命题解答即可；【详解】命题“，”为全称命题，又全称命题的否定为特称命题，故其否定为“”故答案为：12．茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，记甲，乙的平均成绩分别为a，b，则a，b的大小关系是______．【答案】【分析】分别计算出甲，乙的平均分，从而可比较a，b的大小关系.【详解】易知甲的平均分为，乙的平均分为，所以.故答案为：.13．如图，在正六边形ABCDEF中，记向量，，则向量______．（用，表示）【答案】【分析】由正六边形的性质：三条不相邻的三边经过平移可成等边三角形，即可得，进而得到结果.【详解】由正六边形的性质知：，∴.故答案为：.14．设函数的定义域为D，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“T—单调增函数”．对于“T—单调增函数”，有以下四个结论：①“T—单调增函数”一定在D上单调递增；②“T—单调增函数”一定是“—单调增函数”（其中，且）：③函数是“T—单调增函数”（其中表示不大于x的最大整数）；④函数不是“T—单调增函数”．其中，所有正确的结论序号是______．【答案】②③④【分析】①③④选项可以举出反例；②可以进行证明.【详解】①例如，定义域为，存在，对于任意，都有，但在上不单调递增，①错误；②因为是单调增函数，所以存在，使得对于任意，都有，因为，，所以，故，即存在实数，使得对于任意，都有，故是单调增函数，②正确；③，定义域为，当时，对任意的，都有，即成立，所以是单调增函数，③正确；④当时，，若，则，显然不满足，故不是单调增函数，④正确.故答案为：②③④三、双空题15．若不等式的解集为，则______，______．【答案】【分析】由题设知：是的根，应用根与系数关系即可求参数值.【详解】由题设，是的根，∴，即，.故答案为：，.四、解答题16．在体育知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关篮球知识的问题，已知甲答题正确的概率是，乙答题错误的概率是，乙、丙两人都答题正确的概率是，假设每人答题正确与否是相互独立的．(1)求丙答题正确的概率；(2)求甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）设丙答对这道题的概率为，利用对立事件和相互独立事件概率公式，即可求解；（2）由相互独立事件概率乘法公式，即可求解.(1)记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件，设丙答对题的概率，乙答对题的概率，由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此是相互独立事件.根据相互独立事件同时发生的概率公式，得，解得，所以丙对这道题的概率为(2)甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率为甲、乙、丙三人都回答错误的概率为17．设，其中．(1)当时，求函数的图像与直线交点的坐标；(2)若函数有两个不相等的正数零点，求a的取值范围；(3)若函数在上不具有单调性，求a的取值范围．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）联立方程直接计算；（2）根据二次方程零点个数的判别式及函数值正负情况直接求解；（3）根据二次函数单调性可得参数范围.(1)当时，，联立方程，解得：或，即交点坐标为和.(2)由有两个不相等的正数零点，得方程有两个不等的正实根，，即，解得；(3)函数在上单调递增，在上单调递减；又函数在上不具有单调性，所以，即.18．甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：甲6699乙79xy(1)若乙的平均得分高于甲的平均得分，求x的最小值；(2)设，，现从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为a，b，求的概率；(3)在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值．（结论不要求证明）【答案】(1)5(2)(3)6，7，8【分析】（1）由题意得，又，即可求得x的最小值；（2）利用列举法能求出古典概型的概率；（3）由题设条件能求出的可能的取值为.(1)由题意得，即.又根据题意知，，所以x的最小值此为5.(2)设“从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足”为事件，记甲的4局比赛为，各局的得分分别是；乙的4局比赛为，各局的得分分别是.则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种，它们是：，，，，，，，，，，，，，，，.而事件的结果有8种，它们是：，，，，，，，，∴事件的概率.(3)的所有可能取值为6，7，8.19．已知函数．(1)若，求a的值；(2)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；(3)若对于恒成立，求实数m的范围．【答案】(1)(2)奇函数，证明见解析(3)【分析】（1）代入，得到，利用对数的运算即可求解；（2）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算的数量关系，由此完成证明；（3）将已知转化为，求出在的最小值，即可得解.(1)，，即，解得，所以a的值为(2)为奇函数，证明如下：由，解得：或，所以定义域为关于原点对称，又，所以为奇函数；(3)因为，又外部函数为增函数，内部函数在上为增函数，由复合函数的单调性知函数在上为增函数，所以，又对于恒成立，所以，所以，所以实数的范围是20．某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞．已知该船使用中所需的各种费用e（单位：万元）与使用时间n（，单位：年）之间的函数关系式为，该船每年捕捞的总收入为50万元．(1)该渔船捕捞几年开始盈利（即总收入减去成本及所有使用费用为正值）？(2)若当年平均盈利额达到最大值时，渔船以30万元卖出，则该船为渔业公司带来的收益是多少万元？【答案】(1)该渔船捕捞3年开始盈利；(2)万元.【分析】（1）由题设可得，解一元二次不等式即可确定第几年开始盈利.（2）由平均盈利额，应用基本不等式求最值注意等号成立条件，进而计算总收益.(1)由题意，渔船捕捞的利润，解得，又，，故，∴该渔船捕捞3年开始盈利.(2)由题意，平均盈利额，当且仅当时等号成立，∴在第7年平均盈利额达到最大，总收益为万元.21．设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集．(1)当时，写出集合A的生成集B；(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由．【答案】(1)(2)7(3)不存在，理由见解析【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设，且，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.(1)，(2)设，不妨设，因为，所以中元素个数大于等于7个