2017届辽宁省庄河市高级高三9月月考（开学考试）理数试题（解析版）

辽宁省庄河市高级2017届高三9月月考（开学考试）理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集，，，则集合（）A．B．C．D．【答案】C考点：集合的运算.2.设复数满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：由题意得，，，故选项为A.考点：复数的运算.3.已知双曲线（，）经过点，且离心率为，则它的焦距为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：由离心率为，得，即，，又过点，得，解得，，故选项为B.考点：双曲线的性质.4.已知，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由于，，，则，故选项为C.考点：不等关系与不等式.【方法点睛】本题考查的是比较实数的大小关系，属于基础题，注意：此类题除利用函数的单调性来处理外，还常借助于中间值（如：，，）来处理，在此题中既有幂的运算又有对数的运算且此三个数既不同底，真数也不同，故需借助于中间值，来做，由，且为增函数，得与的关系，由，，结合对数的单调性得与的关系.5.已知单位向量与的夹角为，且，若，，则（）A．B．C．D．【答案】A考点：向量数量积的运算.6.已知命题：若，则函数的最小值为；命题：若，则．则下列命题是真命题的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：时，，故命题是假命题，∵，对称轴，函数在递增，∴，∴命题是真命题，∴是真命题，故选：A．考点：复合命题的真假.7.6人站成一排，其中甲不在两端，甲、乙不相邻的站法种数为（）A．72B．120C．144D．288【答案】D考点：排列与组合.8.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（俯视图中弧线是圆弧）（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体为一个正方体挖去一个圆柱的而剩下的几何体．∴该几何体的体积．故选：D．考点：由三视图求体积.9.设各项都是正数的等差数列的公差为，前项和为，若，，成等比数列，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：∵，，成等比数列，∴，∴，化为：，，．∴，∴，则，故选：B．考点：等差数列的项和.10.将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增【答案】C考点：函数的图象变换.【方法点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解.11.当，满足不等式组时，恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D考点：简单的线性规划.12.已知函数的图象上存在两点关于轴对称，则实数的取值范围是（）A．[-3,1]B．(-3,1)C．D．【答案】D【解析】试题分析：设是上一点，则点关于原点的对称点为，于是，∴，令，则，∴在上是增函数，在与上是减函数，又时，，，，∴，故选D.考点：函数图象的对称性.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.的展开式中，的系数为______.【答案】【解析】试题分析：的通项为：，令，得，故展开式中，的系数为，故答案为.考点：二项式定理.14.执行如图所示的程序框图，输出的值为___________．【答案】考点：程序框图.【方法点晴】根据流程图写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于一道基础题．对于循环结构的流程框图主要可根据循环次数而定，当循环次数较少时，逐一写出其循环过程；当次数较多时，寻找其规律，在该程序中分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出不满足条件时，的值．15.已知偶函数在上是增函数，则满足的实数的取值范围是______________．【答案】【解析】试题分析：偶函数在是增函数，所以：满足的条件为：，解得：或，所以的取值范围为：，故答案为：考点：函数单调性的性质.16.已知是直线与圆的公共点，则的取值范围是__________.【答案】考点：直线与圆的位置关系.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，内角，，的对边分别为，，，且，已知，，．求：（Ⅰ）和的值；（Ⅱ）的值．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由平面向量的数量积和余弦定理，列出方程组解方程组即可；（Ⅱ）根据三角恒等变换和由正弦定理，计算的值即可．试题解析：（Ⅰ）由得，．又，所以．由余弦定理，得，又，所以，解因为，所以，．…………6分考点：（1）三角函数中的恒等变换应用；（2）平面向量数量积的运算.【方法点睛】本题考查了三角恒等变换和正弦、余弦定理的应用问题，也考查了平面向量的数量积问题，属常见题型，难度一般，是综合性题目.根据向量数量积的定义将其转化为三角函数表达式，结合余弦定理得到关于的方程组，由方程组得解；由正弦定理求出以及，最后由两角差的正弦公式得（Ⅱ）的解.18.为了解今年某校高三毕业班想参军的学生体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）.已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2：3，其中第2小组的频数为24.（Ⅰ）求该校高三毕业班想参军的学生人数；（Ⅱ）以这所的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省高三毕业班想参军的同学中（人数很多）任选三人，设表示体重超过60公斤的学生人数，求的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，.试题解析：（Ⅰ）设想参军的人数为，前组的频率分别为，，，则由条件可得：解得，，.又因为，故.……6分（Ⅱ）由（1）可得，一个想参军的学生体重超过60公斤的概率为.…………8分所以服从二项分布，，∴随机变量的分布列为（或）.……12分考点：（1）频率分布直方图；（2）离散型随机变量及其分布列；（3）离散型随机变量的期望与方差.【方法点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．对于频率分布直方图中，应考虑没个条形的面积代表该组的频率，并且所有条形面积之和为；熟练掌握二项分布是解决该题的关键所在，故应理解透彻二项分布的意义.19.已知三棱柱中，平面平面，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（2）.试题解析：（Ⅰ）由于平面平面，，所以平面，所以.而，所以四边形是菱形，因此，所以平面.………………4分（Ⅱ）设，作于，连接，由（Ⅰ）知平面，即平面，所以，又于，因此，所以为两平面所成锐二面角的平面角.在中，，，故直角边，又因为中，因此中斜边，所以，所以所求两平面所成锐二面角的余弦值为.……12分考点：（1）线面垂直的判定；（2）二面角的求法.【一题多解】如图，取的中点，的中点，则，因为，所以，又平面，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，.（Ⅰ），，，，由，知，又，从而平面.……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面的一个法向量为，再设平面的法向量为，，，所以令，则，故.因此所求两平面所成锐二面角的余弦值为.……12分20.已知抛物线：（）与椭圆：相交所得的弦长为．（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）设，是上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当，变化且为定值（）时，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直线恒过定点．试题解析：（Ⅰ）设抛物线与椭圆交于，两点．由椭圆的对称性可知，，，………2分将点代入抛物线中，得，………3分再将点代入椭圆中，得，解得．故抛物线的标准方程为．……………5分（Ⅱ）设点，，由题意得（否则，不满足），且，，设直线，的方程分别为，，………6分联立，解得，，联立，解得，；………………7分则由两点式得，直线的方程为．化简得．①因为，由，得，得，②………9分将②代入①，化简得，得．得，得，得，即．令，不管取何值，都有．所以直线恒过定点．…………12分考点：（1）轨迹方程；（2）直线过定点；（3）直线与圆的位置关系.21.（本小题满分12分）为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数在区间上的最值；（Ⅱ）当时，设函数（其中为常数）的3个极值点为，且，将这5个数按照从小到大的顺序排列，并证明你的结论.【答案】（Ⅰ）最大值为，最小值为；（Ⅱ）.试题解析：（Ⅰ）.令，可得.列表如下：故函数的单调减区间为，；单调增区间为.即函数在上单调递减，在上单调递增.又因为，，，，所以函数在区间上的最大值为，最小值为.……5分（Ⅱ）由题意，，令函数，有，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增.因为函数有3个极值点，从而，所以.当时，，，从而3个极值点中，有一个为，有一个小于，有一个大于1.又，所以，，.即，，故.即这5个数按照从小到大的顺序为0，，，1，.……12分考点：（1）利用导数求闭区间上的最值；（2）利用导数研究函数的极值.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是的直径，为的切线，点为上不同于、的一点，为的平分线，且分别与交于，与交于，与交于，连接、．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知．所以，因为，，所以，所以，即，所以．………………10分考点：与圆有关的比例线段.【易错点晴】本题主要考查的是圆的内接四边形的判定定理、圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等和割线定理，属于中档题．解题时一定要注意灵活运用圆的性质，否则很容易出现错误．凡是题目中涉及长度的，通常会使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基础知识．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，动点的坐标为，其中．在极坐标系（以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线的方程为．（Ⅰ）判断动点的轨迹的形状；（Ⅱ）若直线与动点的轨迹有且仅有一个公共点，求实数的值．【答案】（Ⅰ）半径为的圆；(Ⅱ)或．试题解析：（Ⅰ）设动点的直角坐标为，则，所以动点的轨迹方程为,其轨迹是半径为3的圆．………………5分(Ⅱ)直线的极坐标方程化为直角坐标方程是,由,得或．…………10分考点：（1）圆的参数方