初中数学 有理数的运算-2023修改整理

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐初中数学有理数的运算记

笔

区

有理数的运算

一、有理数的加法运算

1．有理数的加法运算法则

（1）同号两数相加：取相同的符号，并把肯定值相加；

（2）异号两数相加：肯定值相等时和为0；肯定值不等时，取肯定值较大的数的符

号，并用较大的肯定值减去较小的肯定值；

（3）一个数同0相加，仍得这个数．【例】(3)(5)(35)8

(3)(5)(35)8

2(2)0

3(2)(32)1

2(5)(52)3

303

符号

数值

正数+正数

正

肯定值相加

负数+负数

负

肯定值相加

正数+负数

取绝大

绝大减绝小

【注】多个数相加时，加法交换律和加法结合律仍然成立．

2．加法运算技巧

（1）化小数为分数：分数与小数均有时，应先化为统一形式；

（2）符号相同的数可以先结合在一起；

（3）若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加；特殊是有互为相反数的两

个数时，可先结合相加得零；

（4）若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起．

【例】

14

(0.75)

14

34

1

18

12

38

18

38

12

12

12

0

3.7(7)6.33.76.3(7)10(7)3

2.452.4(2.42.4)5055

二、有理数的减法运算

1．有理数的减法运算法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数，即：aba(b)．

【例】3(2)325

8(7)871

2．有理数的减法运算步骤

（1）把减号变为加号，把减数变为它的相反数；

（2）根据加法运算举行计算．

【例】计算：86解：原式8(6)

Step1：减号变加号，减数变相反

(86)

Step2：根据加法的运算步骤计算

14

13

笔记区

3．有理数加减法混合运算技巧（1）把算式中的减法转化为加法；

（2）去括号时注重符号，能省掉的“”号要省掉；

（3）多观看，巧妙利用运算律简便计算．

三、有理数的乘法运算

1．有理数的乘法运算法则

两数相乘，同号得正，异号得负，肯定值相乘．

任何数与0相乘，积仍为0．【例】3(5)(35)15

28(28)16

1211132

202200

2．有理数的乘法运算律

（1）乘法交换律：abba；（2）乘法结合律：(ab)ca(bc)；

（3）乘法分配律：a(bc)abac．

【例】()

[()

]

()

3．有理数乘法运算技巧：

（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数打算：奇负偶正；

（2）几个数相乘，假如有一个因数为0，则积为0；

（3）在举行乘法运算时，若有小数及分数，普通先将小数化为分数，若有带分数，应

先化为假分数，便于约分．简记为：化小为分，化带为假．

【例】()(.)的结果为负数

()的结果为0

.

四、有理数的除法运算

1．有理数除法运算法则

一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．aba，(b)．b

2．有理数除法的运算步骤：

（1）把除号变为乘号；

（2）把除数变为它的倒数；

（3）把除法转化为乘法，根据乘法运算的步骤举行运算．

【例】

()

(

)

记

笔

区

五、乘方

乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在an中，an读作“a的n次幂”或者“a的n次方”，a叫做底数，n叫做指数．

【例】an表示有n个a延续相乘：表示，表示()，()表示()()()()()．

【注】当n为奇数时，(a)nan；当n为偶数时，(a)nan．

六、混合运算技巧

1．有理数运算规章加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方称为三级运算．

（1）先乘方，再乘除，最后加减；（2）同级运算，从左到右举行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次举行．简记为：从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）．

2．“奇负偶正”（1）多重负号的化简：这里奇、偶指的是“”号的个数，正、负指的是化简结果的符号；

（2）有理数乘法：当多个非零因数相乘时，这里奇、偶指的是负因数的个数，正、负指的是结果中积的符号；

（3）有理数乘方：这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；

指数为偶数，则幂为正．

【例】()

()

()()()；

()()()

()

()．

七、肯定值初步

（1）若|a|a，则a；若|a|a，则a．

（2）|a||a|．

（3）

|

aa

|

，，

aa

．

模块一

有理数的加减法

例题1

（1）()()

（4）

4

23

3

13

（2）

(.)

（5）()

（3）()()

（6）

15

笔记区

（7）

（8）

【解析】（1）()()

（2）

(.)

（3）()()

（4）

4

23

3

13

()

(..).

()

（5）()

（6）

（7）

（8）

()

()

例题2

（1）()()

（2）

()

【解析】（1）解：原式()()=(23+7)[()()]=30+()

（2）解：原式

()

()

=+()

例题3

（1）

(.75)

.

（3）

.

(.)

（2）

（4）

.

【解析】（1）原式

+

+

（2）原式

+

+

()

（3）原式

（4）原式

记

笔

区

()

()()

模块二

有理数的乘除法

例题4

（1）

()

（3）

()

（2）

(.)

.

（4）

|

|

【解析】（1）原式

()

3

95

109

112

311

9

；

（2）原式

；

（3）原式

()

；

（4）原式

．

例题5

（1）

()

（2）

(.)

.

.

【解析】（1）原式

()

()

()

()().

（2）原式

[(.)

.

.]

．

模块三

乘方

例题6（1）()

（2）

（3）

17

笔记区

（4）

（5）

|

|

【解析】（1）81；（2）；（3）；（4）；

（5）原式

．

例题7

（1）()（3）[()]

（2）()()

（4）

()

【解析】（1）原式

（2）原式

（3）原式

（4）原式

【提醒】有理数乘方常考同学的易错点，即“奇负偶正”在乘方运算中的应用．

模块四

肯定值初步

例题8

（1）若1a，则化简|a||a|的结果为________．

（2）若x，化简||x|x|．|x||x|

（3）已知数a、b、c在数轴上的位置如图，化简|a||b||ab||bc|的结果是（）．

A．abc

B．bc

C．bc

D．cb

（4）数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a||c|；化简|ac||b||ba||cb|

|ab|________．

cb

a

O

【解析】（1）2；

记

笔

区

（2）||x|x||xx|xx；（3）B；（4）bc．|x||x|xx

例题9（1）若ab，求ab的全部可能值．

|a||b|

（2）若abc，求abc的全部可能值．|a||b||c|

（3）摸索究，若aa

an

，求

|

aa

|

|

aa

|

an的全部可能值．|an|

【解析】（1）①两数均正，原式；②一正一负，原式；③两数均负，原式；

（2）①三数均正，原式；②二正一负，原式；③一正二负，原式；④三数均负，原式；

（3）①当n为奇数时，全部可能的值为：1，3，5，，n；②当n为偶数时，全部可能的值为：0，2，4，6，，n．

例题10

（1）已知a、b是不为0的有理数，求|a||b|的值．ab

（2）已知mn，求|m|nmn的值．m|n||mn|

（3）已知abc，求abacbc的值．|ab||ac||bc|

【解析】（1）当a，b时，|a||b|；ab

当a，b时，|a||b|()；ab

当a，b时，|a||b|；ab

当a，b时，|a||b|()；ab

综上所述，|a||b|的值为，0，2．ab

19

笔记区

（2）∵mn，∴m、n两个数都不为零，若m、n两个数都是正数，则mn也是正数，故原式值为3；若m、n两个数一正一负，则mn是负数，故原式值为；若m、n两个数都是负数，则mn是正数，故原式值为；综上所述，|m|nmn，．m|n||mn|

（3）∵abc，∴a、b、c三个数都不为零，若a、b、c三个数都是正数，则ab、ac、bc也都是正数，故原式值为3；若a、b、c中两正、一负，则ab、ac、bc中一正、两负，故原式值为；若a、b、c中一正、两负，则ab、ac、bc中一正、两负，故原式值为；若a、b、c中三负，则ab、ac、bc中三正，故原式值为3．综上所述，abacbc，．|ab||ac||bc|

例题11

（1）a，b，c为非零有理数，且abc，则a|b|b|c|c|a|的值等于多少？|a|b|b|c|c|a

（2）已知a，b，c都不等于0，且abc，abc，求|bc|b|ac|c|ab|a．a|b|b|c|c|a|

【解析】（1）由abc可知a，b，c里存在两正一负或者一正两负；a|b|b|c|c|a|a|b|b|c|c|a||a|b|b|c|c|a|a|b|b|c|c|a

若两正一负，那么a|b|b|c|c|a|；|a|b|b|c|c|a

若一正两负，那么a|b|b|c|c|a|；|a|b|b|c|c|a

综上所得a|b|b|c|c|a|；|a|b|b|c|c|a

（2）考虑abc，bca，acb，代入原式可得．

【提醒】例9、10、11均是关于|a|的问题，例9是最基本的|a|的考查形式，需要带着学

a

a

生分类研究找到逻辑；例10是例9的变形，考查形式多样化，但基本思路依旧

是分类研究正负数的个数即可；例11则加入了一些限制性的条件，限制了正负

数的个数．

记

笔

区

十分挑战

（1）

(.)

()

（2）

()

()

()

【解析】（1）6035；（2）25.6．

复习巩固

演练1

计算：（1）

(.)

.

（2）.(.)(.)(.)

（3）|||()|

【解析】（1）7.5；（2）.；（3）．

演练2

（1）

|

|

（3）(.)[()]

（2）

()

（4）

.

()

【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．

演练3

（1）已知≤x≤，则xx___________．

21

笔记区

（2）若