2017届江西省赣州市高三第二次模拟考试数学（文）试题（解析版）

2017届江西省赣州市高三第二次模拟考试数学（文）试题一、选择题1．已知复数满足，则在复平面内复数对应的点为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意得，则，所以复数对应的点坐标为，故选A.2．已知集合，，，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意得或，要使得，则，故选C.3．的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由，故选B.4．设曲线在处的切线与直线垂直，则的值为（）A.2B.-2C.D.【答案】A【解析】由，则，所以，又切线与直线垂直，即，所以，故选A.5．如图，是以为圆心、半径为2的圆的内接正方形，是正方形的内接正方形，且分别为的中点．将一枚针随机掷到圆内，用表示事件“针落在正方形内”，表示事件“针落在正方形内”，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意得，圆的半径为，所以内接正方形的边长为，则正方形的面积为，由分别为的中点，所以，所以正方形的面积为，所以，故选C.6．函数（其中是自然对数的底数）的大致图像为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意得，函数点定义域为且，所以定义域关于原点对称，且，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故选D.7．已知双曲线的离心率为，则抛物线的焦点到双曲线的距离是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意得，抛物线的焦点坐标为，又双曲线的离心率为，即，又由，则，即双曲线的方程为，在双曲线的一条渐近线的方程为，则其焦点到双曲线的渐近线的距离为，故选C.8．如图，已知，，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由平面向量的三角形法则可知：，故选D.9．正方体的棱长为1，点分别是棱的中点，过作一平面，使得平面平面，则平面截正方体的表面所得平面图形为（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【答案】D【解析】由题意，在正方体中，分别为棱的中点，取的中点，可得正六边形，此时平面平面，故选D.10．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】执行该程序框图，可知第1次循环：；第2次循环：；第3次循环：；第4次循环：；第5次循环：，此时成立，输出结果，故选B.11．已知动点在直线上，动点在圆上，若，则的最大值为（）A.2B.4C.5D.6【答案】C【解析】如图所示，设点，圆心到直线的距离为，则，因为直线与圆有交点，所以，所以，解得，所以的最大值为，故选C.12．已知函数向左平移半个周期得的图像，若在上的值域为，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意得由，在上的值域为．即最小值为，最大值为，则，得．综上的取值范围是．二、填空题13．已知函数（且），若，则__________．【答案】【解析】由，则.14．连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则为锐角的概率是__________．【答案】【解析】由题意得，连抛掷两次骰子分别得到点数所组成的相邻个个数共有种，由于相临与向量的夹角锐角，所以，即，满足题意的情况如下：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，共有种，故所求事件的概率为.15．某多面体的三视图如图所示，则该多面体外接球的表面积为__________．【答案】【解析】根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥，正方体的棱长为为棱的中点，根据几何体可以判断，球心在过点的平行于底面的中截面上，设球心到截面的距离为，则到的距离为，所以，解得，所以多面体外接球的表面积为.16．如图所示，为了测量处岛屿的距离，小明在处观测，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶40海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则两处岛屿的距离为__________海里．【答案】【解析】由题意，可得，在等腰直角中，，则，在中，由正弦定理，在中，由余弦定理可得，所以，即两点之间的距离为.三、解答题17．已知等差数列的公差不为0，前项和为成等比数列．（1）求与；（2）设，求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）设等差数列的公差为，由题意，化简得，求得，即可得到数列的通项公式和前项和；（2）由（1）得，即可利用裂项求解数列的和，证明不等关系式.试题解析：（1）设等差数列的公差为，则由可得，得……①又成等比数列，且所以，整理得，因为，所以……②联立①②，解得所以（2）由（1）得所以18．某经销商从外地一水殖厂购进一批小龙虾，并随机抽取40只进行统计，按重量分类统计结果如下图：（1）记事件为：“从这批小龙虾中任取一只，重量不超过35的小龙虾”，求的估计值；（2）试估计这批小龙虾的平均重量；（3）为适应市场需求，制定促销策略．该经销商又将这批小龙虾分成三个等级，并制定出销售单价，如下表：等级一等品二等品三等品重量（）单价（元/只）1.21.51.8试估算该经销商以每千克至多花多少元（取整数）收购这批小龙虾，才能获得利润？【答案】（1）（2）（3）这批小龙虾每千克至多元【解析】试题分析：（1）根据统计图得到重量不超过的小龙虾有，即可求解相应的概率；（2）从统计图中的数据，利用平均数的计算公式，即可求解这批小龙虾的平均重量；（3）根据样本，由（2）知，小龙虾中一等品、二等品、三等品的数量，列出关系式，即可得出结论.试题解析：（1）由于只小龙虾中重量不超过的小龙虾有（只）所以（2）从统计图中可以估计这批小龙虾的平均重量为（克）（3）设该经销商收购这批小龙虾每千克至多元.根据样本，由（2）知，这只小龙虾中一等品、二等品、三等品各有只、只、只，约有所以，而故可以估计该经销商收购这批小龙虾每千克至多元19．如图，五面体中，四边形是菱形，是边长为2的正三角形，，．（1）证明：；（2）若在平面内的正投影为，求点到平面的距离．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）取的中点，连，得到，进而得出，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即得到；（2）取的中点，连结，由（1）证得平面，所以点是在平面内的正投影，设点到平面的距离为，在中，求解面积，在中，得，利用，即可得到结论.试题解析：（1）证明：如图，取的中点，连因为是边长为的正三角形，所以又四边形是菱形，，所以是正三角形所以而，所以平面所以（2）取的中点，连结由（1）知，所以平面，所以平面⊥平面而平面⊥平面，平面与平面的交线为，所以平面，即点是在平面内的正投影设点到平面的距离为，则点到平面距离为因为在中，，得在中，，得所以由得即解得，所以到平面的距离20．如图，椭圆的离心率为，顶点为，且．（1）求椭圆的方程；（2）是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点．设的斜率为，的斜率为，试问是否为定值？并说明理由．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）因为，所以，又，所以，即可求解的值，得出椭圆的方程；（2）由题意可知直线的方程为与椭圆的方程联立方程组，求得点的坐标，进而得到点的坐标，在根据直线的方程与联立，得到点的坐标，即可表示的斜率，得出结论.试题解析：（1）因为，所以，由题意及图可得，所以又，所以，所以所以所以椭圆的方程为：（2）证明：由题意可知，，，因为的斜率为，所以直线的方程为由得其中，所以，所以则直线的方程为（）令，则，即直线的方程为，由解得，所以所以的斜率所以（定值）21．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）设当时，，求实数的取值范围．【答案】（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增（2）【解析】试题分析：（1）由，分类讨论即可求解函数的单调区间；（2）设，求得，设，则则分和两种情况讨论，得到函数的单调性，进而求解实数的取值范围.试题解析：（1）当时，，，所以当时，，，所以所以在区间上单调递减，在区间上单调递增（2）设则设，则①当时，即时，对一切，所以在区间上单调递增，所以，即，所以在区间上单调递增，所以，符合题意②当时，即时，存在，使得，当时，所以在区间上单调递减，所以当时，，即，所以在区间上单调递减故当时，有，与题意矛盾，舍去综上可知，实数的取值范围为22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线（为参数，）与圆相交于点，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线与圆的极坐标方程；（2）求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】试题分析（1）根据参数方程与普通方程的互化以及直角坐标与极坐标的互化公式，即可求解直线的极坐标方程和圆的极坐标方程；（2）把，代入圆的极坐标方程中，得，进而得到，即可利用三角函数的性质求解其最大值.试题解析：（1）直线的极坐标方程为圆的极坐标方程为（2），代入，得显然