关于高考数学概率与统计知识点-2023修改整理

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学问点

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高中数学之概率与统计

求等可能性大事、互斥大事和互相自立大事的概率解此类题目常应用以下学问:

(1)等可能性大事(古典概型)的概率：P(A)＝)()(IcardAcard＝nm

;

等可能大事概率的计算步骤：计算一次实验的基本领件总数n;

设所求大事A，并计算大事A包含的基本领件的个数m;依公式

()m

PAn=

求值;

答，即给问题一个明确的答复.

(2)互斥大事有一个发生的概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B);特例：对立大事的概率：P(A)＋P(A)＝P(A＋A)＝1.(3)互相自立大事同时发生的概率：P(A·B)＝P(A)·P(B);特例：自立重复实验的概率：Pn(k)＝

k

nkknppC--)1(.其中P为大事A在一次实验中发生

的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n绽开的第k+1项.(4)解决概率问题要注重“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：

第一步，确定大事性质??

??

???等可能大事互斥大事自立大事n次自立重复实验

即所给的问题归结为四类大事中的某一种.其次步，推断大事的运算

??

?和大事积大事

即是至少有一个发生，还是同时发生，分离运用相加或相乘大事.

第三步，运用公式()()()()()()()()(1)

kknknnmPAn

PABPAPBPABPAPBPkCpp-?

=???+=+?

??=??=-??等可能大事:互斥大事：自立大事：n次自立重复实验:求解

第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.

例1．在五个数字12345，，

，，中，。例2．若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是

（结果用数值表示）．

[解答过程]提醒:13

35C33.

54C10

2P===?

例2．一个总体含有100个个体，以容易随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的

样本，则指定的某个个体被抽到的概率为．

[解答过程]1

.

20提醒:

51.10020P==例3.接种某疫苗后，浮现发热反应的概率为.现有5人接种该疫苗，至少有3人浮现发

热反应的概率为__________.（精确到）

[考查目的]本题主要考查运用组合、概率的基本学问和分类计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.

[解答提醒]至少有3人浮现发热反应的概率为

33244555550.800.200.800.200.800.94

CCC??+??+?=.

故填.

离散型随机变量的分布列1.随机变量及相关概念

①随机实验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示.

②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.

③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做延续型随机变量.2.离散型随机变量的分布列

①离散型随机变量的分布列的概念和性质

普通地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x，2x，……，i

x，……，ξ取每一个值

i

x（=i1，2，……）的概率P（ix=ξ）=iP，则称下表.机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.为随

由概

率的性质可知，任一离散型随机变量的

分布列都具有下述两共性质：

（1）0≥iP，=i1，2，…;（2）++21PP…=1.②常见的离散型随机变量的分布列：（1）二项分布

n次自立重复实验中，大事A发生的次数ξ是一个随机变量，其全部可能的取值为0，

1，2，…n，并且k

nkk

nkqpCkPP-===)(ξ，其中nk≤≤0，pq-=1，随机变量ξ的分布列如下：

称这样随机变量ξ听从二项分布，记作),(~pnBξ

，其中n、p为参数，并记：

)

,;(pnkbqpCknkkn=-

.

（2）几何分布

在自立重复实验中，某大事第一次发生时所作的实验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量，“kξ=”表示在第k次自立重复实验时大事第一次发生.随机变量ξ的概率分布为：

例1．

厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以打算是否接收这批产品.

（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为,从中随意取出4件举行检验,求至少有1件是合格的概率；

（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都举行检验,惟独2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE,并求出该商家拒收这批产品的概率.

[解答过程]（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为大事A用对立大事A来算，有

()()

4110.20.9984

PAPA=-=-=

（Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2．

()217220226

0190CPCξ===

，()1131722051

1190CCPCξ===

，

136513301219019019010Eξ=?

+?+

?=．

记“商家任取2件产品检验，都合格”为大事B，则商家拒收这批产品的概率

()13627

1119095PPB=-=-

=

．

所以商家拒收这批产品的概率为27

95．

例12．

某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则

即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分离为5

4

、53

、5

2,且各

轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率;

（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望.（注：本小题结果可用分数表示）

[解答过程]解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的大事为(123)

iAi=，，，

则

14()5PA=

，23()5PA=，32

()5PA=，

∴该选手被淘汰的概率

142433101

555555125=+?+??=

．

（Ⅱ）ξ的可能值为123，

，，11

(1)()5PPAξ===

，

1212428

(2)()()()5525PPAAPAPAξ====?=

，12124312

(3)()()()5525PPAAPAPAξ====?=

．

ξ∴的分布列为

181235252525Eξ∴=?+?+?=

．

解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的大事为(123)

iAi=，，，则

14

()5PA=

，

23()5PA=

，32

()5PA=．

∴该选手被淘汰的概率1231231()1()()()

PPAAAPAPAPA=-=-432101

1555125=-??=

．（Ⅱ）同解法一．

（3）离散型随机变量的期望与方差随机变量的数学期望和方差

(1)离散型随机变量的数学期望：++=2211pxpxEξ…；期望反映随机变量取值的平

均水平.

⑵离散型随机变量的方差：+-+-=222121)()(pExpExDξξξ

…+-+nnpEx2

)(ξ…；

方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.

⑶基本性质：baEbaE+=+ξξ)(；

ξξDabaD2

)(=+.

(4)若ξ～B(n，p)，则npE=ξ;Dξ=npq（这里

q=1-p）;

假如随机变量ξ听从几何分布，),()(pkgkP==ξ，则p

E1=

ξ，Dξ=2

pq其中q=1-p.

例1．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人天天加工的零件数相等，所得次品数分离

思路：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动状况，即方差值的大小.

解答过程：工人甲生产出次品数ε的期望和方差分离为：

7.0103

210111060=?+?+?

=εE，

891.0103

)7.02(101)7.01(106)7.00(222=?-+?-+?

-=εD；

工人乙生产出次品数η的期望和方差分离为：

7

.0102

210311050=?+?+?

=ηE，664.0102)7.02(103)7.01(105)7.00(222=?-+?-+?-=ηD

由Eε=Eη知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但Dε>Dη，可见乙的技术

比较稳定.

小结：期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.例2.

某商场经销某商品，按照以往资料统计，顾客采纳的付款期数ξ的分布列为

250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求大事A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采纳1期付款”的概率

()PA；

（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．

[解答过程]（Ⅰ）由A表示大事“购买该商品的3位顾客中至少有1位采纳1期付款”．

知A表示大事“购买该商品的3位顾客中无人采纳1期付款”

2()(10.4)0.216PA=-=，()1()10.2160.784PAPA=-=-=．

（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．

(200)(1)0.4PPηξ====，

(250)(2)(3)0.20.20.4PPPηξξ===+==+=，

(300)1(200)(250)10.40.40.2PPPηηη==-=-==--=．

η的分布列为

2000.42500.43000.2Eη=?+?+?240=（元）．

抽样办法与总体分布的估量抽样办法

1．容易随机抽样：设一个总体的个数为N，假如通过逐个抽取的办法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为容易随机抽样.常用抽签法和随机数表法.

2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后根据预先定出的规章，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.

3．分层抽样：当已知总体由差异显然的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后根据各部分所占的比举行抽样，这种抽样叫做分层抽样.总体分布的估量

因为总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估量总体的分布，普通地，样本容量越大，这种估量就越精确.

总体分布：总体取值的概率分布逻辑通常称为总体分布.

当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示，几何表示就是相应的条形图.

当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限临近于一条光洁曲线，即总体密度曲线.典型例题

例1.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5.现用分层抽样办法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量n=.

解答过程：A种型号的总体是2

10，则样本容量

n=

10

16802?

=.

例2．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依编号挨次平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样办法抽取一个容量为10的样本，规定假如在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与mk+的个位数字相同，若6m=，则在第7组中抽取的号码是．

解答过程：第K组的号码为(1)10