小学数学概率教学的思索与实践

小学数学概率教学的思索与实践

“随机”“可能”“不一定”等词汇，正随着新课程悄然进入小学校园，这标志着我们的学生从小学就将进入“随机”世界。在原有的学校数学体系中，概率要到高二年级才进行教学。在中学，概率是作为排列组合的实际应用来进行编排的，重点是学习概率的基本定义与计算公式，灵活地判定随机事件的关系（互斥事件、相互独立事件），并利用相应的公式计算概率。由于其应用性强，密切联系生活，因此在高考中所占比重正逐步增加，概率在高考中的分数比是概率在教学中的课时比的2.4倍。当然，小学阶段的概率与中学的概率相比，无论是内容体系、学习方式，还是教学目标等均有着质的区别。因此，必须重新审视概率在学校教学中的地位与作用，并提出切合小学实际的教学策略。笔者选择了三个角度进行思索：一是小学数学中的“概率”与概率论中的“概率”之间的关系，以期找到小学概率知识的生长点，促进学生的可持续发展；二是澄清概率知识与概率误解的关系，以期探索小学概率教学的课堂教学结构；三是概率教材与学生回答的关系，以期批判地利用课本，更好地促进学生的主动学习。在对概率教材进行理性思索的基础上，提出三个方面的策略：一是巧设情境，巧妙引导，在丰富的体验中形成概率概念；二是精心设问，适时质疑，让动手实验成为学生的真需要；三是结合经验，重视过程，构建以“问题解决”为核心的概率教学流程。一、思索凡是值得思考的事情，没有不是被人思考过的，我们必须做的只是试图重新加以思考而已。——歌德小学的“概率教学”有其独特的教育价值，对于学生全面合理地认识生活中的随机性事件有着重要的作用。“概率”进入小学课堂的时间虽然不长，但人们已从课堂教学实践、学生的现实基础等方面进行了研究。笔者尝试从它的“母体”——“概率论”入手展开思索，试图构筑小学“概率”教学目标与“概率论知识体系”之间的桥梁。（一）概率论与小学数学中的概率概率论是数学体系中研究随机事件数量关系的一个分支，在其发展的过程中，形成了四个基本的概率概型，产生了四种研究问题的思维方法（表一）。其中前两种概型可以统称为等可能性概型。以上四种概率各有优缺点，但不论哪一种概率，一般经历以下流程（下页图1）：与概率论的基本内容及思维流程相比较，小学的概率可从“概率论”的基本思想中找到其数学化的概率含义与形成轨迹，两者的关系可从下表中得到反映（下页表二）。从表二与图1中可以发现，中小学的概率体系是根据概率的古典概型、几何概型与统计概型的学习历程来构建的。第一学段是对图1虚框中内容的学习，重点是感受生活中的随机现象并进行分析；第二学段是对等可能事件的定量分析；第三学段结合具体情境了解古典概型、几何概型与统计概型的意义。通过以上三个学段，用具体情境和更适合于中小学生理解的词汇，建立起初步的概率观念与思维方法，在解决实际问题的过程中体会到概率知识的内在魅力与实际价值。而大数定律作为解决复杂的随机事件的一种方法，在小学中只是结合具体实例进行直观感受。综上分析，我们认为，中小学的“概率”是“概率论”基本思想的“生活化”体现。从上述分析比较中，对我们理解小学的概率教学有以下几点启示：1.小学的概率教学要以学生的生活经验为基础，但又不能只停留于表层的活动与感受，要通过课堂教学活动使学生体验到概率的实质：从复杂的变化中预测结果。2.小学的概率教学重在观念的形成，而不是对概率下具体的定义与计算，从而为后续的学校数学概率学习打下坚实的感性基础。3.在（中）小学的概率教学进程中，要化零为整，构筑起为小学生能理解的概率概念体系与思维方法，能解释和解决生活中的随机现象。（二）概率概念与错误直觉在学习有关文章时，我们经常能看到对错误的概率直觉问题的论述，并提出要对此尽早“干预”，这是完全正确并有必要的。对照《数学课程标准》，小学生在学习相关内容时，会有哪些错误直觉呢？我们通过查阅文献与调查，找到一些小学生在学习中或在生活经验中业已存在的错误直觉，现列举其中几则（表三）。以上错误直觉，不可能随着概率概念的形成而消除，必须用实验和数据分析来纠正。（三）概率教材和学生回答在具体的情境中学习概率，这符合学生的认知特点。因此，关于概率知识的教材，配了许多插图。但由于插图只是对现实情境某一个镜头的摄写，学生在回答时有时并不能理解编者的意图。这是我在2003年12月进行“自然状态下的学生”调查时的一个意外发现。调查的题目共有8题，其中6题均用了书本中的图文。调查的对象是本校各年级一班的全体学生。调查题3（北师大版三年级概率教材中的情境图）：对学生的回答进行整理统计（表四）表四从表格中发现学生随着年龄的增长，对可能性的表述日趋合理。同时发现六(1)班填白球的学生远远超过填黄球。为什么会这样？我访谈了其中的10位学生，有6位的回答是：我从图中看出来的，白球在下面，手伸下去拿到的也应该是下面的球。这则事例给我们启示，从学生的视角看问题，有时错的不在学生。对于学生的回答，要多问问为什么。同时也提醒我们，书本中的情境图不能完全代表生活情境，实际教学时，教师要对图意进行必要的说明。有时教材中的文字表述也可能使学生产生疑义。如下图（调查题5）：一般均如上图所示，但也有部分学生填成：“摸到的球可能是白球、白球，摸到白球的可能性大”。访谈后发现，读题后，他（她）们误以为是连续摸两次，因为白球多，两次摸出的球可能都是白球。因此，对可能性的叙述要语义明确，上题加一个“或”字——“摸到的球可能是______球或______球，摸到______球的可能性大”更有利于学生理解。学贵在疑而精于思。在思索中，我们从宏观的角度对小学的概率有了更深刻的认识，并通过调查反思，从细微处发现了概率教材中的一些问题。这些，为我们的小学概率教学提供了有力的理论支持与实践思路。二、实践我不能，别的任何人也不能替代你走过的路，你必须自己去走。——【美】惠特曼《自己之歌》“思索”加深了对小学概率的理性认识，在此基础上笔者先后在各年级进行了概率教学实践，积累了几则比较满意的课例，并以建构主义为理论依据，总结出小学概率教学的基本思路。（一）巧设情境，巧妙引导，在丰富的体验中形成概率概念“小学概率教学重在观念教育”。观念的形成必须建立在丰富的经验感受的基础之上。教师要对概率概念有全面的认识，了解学生的现实起点，针对学生可能出现的经验错误，为学生提供充分的感受空间，让学生充分调动多种感官，用眼观察、动手实验、对话交流，充分体现出学生的主体地位，尊重学生的原始直觉，用事实说话，建构正确的概率概念。如在建立1/6概率的意义时，让每一位学生说说投掷过程中的心情，并进行合理反思，体验不确定事件发生的不确定性与可能性。（二）精心设问，适时质疑，让动手实验成为学生的真正需要“在教学之前和教学期间，学生在概率问题上应如何思考才能易于师生间的交流？”我们的结论是用事实说话，让学生动手实验，以检查他们的猜测与判断是否得到实际证据的支持。“（小学的）概率是建立在经验基础上的弱科学”。动手实验是学生建立正确概率意义的保证。当学生出现观点不能统一时，引导学生自己想办法，体会到动手实验的必要性，然后再进行掷一掷、摸一摸等实践活动，并用所得到的现象与数据来验证猜测，形成概念。如，为让学生正确建立概率中的比率概念，我们在教学时让学生经历“操作——思辨——验证”的学习历程，在矛盾冲突与思维碰撞中揭示比率概念的本质：放：往袋子里放入一些球，要求任意摸出一个球，摸到黄球的可能性为1/3。想：有多种放法，你认为从哪个袋子里摸一个球，摸到黄球的可能性会大些？摸：四人小组摸球，每一组又分成两小组，两个小组分别从（1黄2白）和（4黄8白）的袋子里摸球，每人摸10次，并做好记录。统计：组内统计——全班统计——其他班级累计。分析：两种情况下摸到黄球的次数越来越接近。结论：从黄球多或黄球少的袋子里摸球，摸到黄球的可能性是一样的。（三）结合经验，重视过程，构建以“问题解决”为核心的概率教学流程概率教学有两个重要的切入口，一是激活正确的生活经验，建立起正确的概率概念，二是剖析错误经验，形成正确的概率概念。对于后者更能激发起学生对概率概念的探究。我们总结了概率教学的基本样式，即：建构主义认为，学生的学习是一个积极主动的建构过程。在建构知识的过程中必须与他人磋商并达成一致。因此在概率概念的学习过程中，教师可以让学生充分发表自己的想法、猜测，如产生异议，引导学生进行实验（个体的、小组的、班级的等多种形式），并