常见不等式的解法归纳总结

x常不式x知点讲一一一不式）（1若a，集为

.(2)若

a

，解集为|x

（3若a，b时解集为；当时解集为二一一不式（

）（1），集为|.（2）

xx

，解集为

x

（3）

xx

，解集为

（4）

xx

，解集为

记忆口诀：大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大解不了。三一二不式一元二次不等式

2

a，中

，x,x是方程ax1

2

bxa

的两个根，且

x1（1当

时，二次函数图象开口向.（2①若解集为

x或x2②若

，解集为

xRx

.③若

，解集为

.(2)当

时，二次函数图象开口向.①若，集为

12

②若解集为四简的元次等的法简单的一元高次不等式常用“穿根法”求解，其具体步骤如例如，解一元高次不等式f()（1将f()（2将f()

最高次项系数化为正数分解为若干个一次因式或二次不可分因式（

）（3）每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶方根切而不过，奇次方根既穿又过，简称“奇穿偶切

（4根据曲线显现出的f(x)

的值的符号变化规律写出不等式的解.如：求不等式

x2)((1)

x

的解集解化原不等式

x2)((3(2)0

如图7-2所在数轴上标出各根后据理画出曲线（

x，x13

为奇次根，需穿；

x2

为偶次根，需切）由图可，所求不等式的解集为

图7-2五分不式（1

f(x)g)

f()x)

（2），

f(g)

f()gx)（3

fx)(x)

fx)g()(x)

（4），

fx)(x)

fx)()(x)六绝值等（1（2

fx)()[x2)]f(x()(g()f()g或f(x)f(xg(g(xfgx)；

；（3含有两个或两个以上绝对符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解题归及路醒题1不式的法思提解有理不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在x轴，结合图象，写出其解集、含参数的根需对参数分类讨论后再写解集例7.14（1解关于

x

的不等式

x2a23aR)（2知集合ax求实数的取值范围.分

由于含参不等式中，其原方程的两根大小不确定，故要进行分类讨.解

由已知得

)(

2

①当

，得

a

时，解集为或

x|x|

，得

a，时解集为

x时解集为

③当aa

，得

0

时，解集为或x（2axaB)(a①若

，即

，则a

（等号不能同时取得图7-3所示a

，此时无解.

3

0

1②若

3a

，即

，由

B

图，则（号不能同时取得7-4示a

综上所述，实数的值范围是

a

.a

0

1评

图7-4本题考查一元二次不等式（含参）的解法，需要讨论两根的大小，进而确定不等式的变1）

则关于x的等式a(xx

的解集为（）

1|x|aa

xx

（2若不等式组

的解集不是空集，则实数a取值范围（）

(

[

[4,20]

D.

[例7.15

已知关于

的等式

bx

的解集为

xxx

，求关于

的不等式

bx

的解集分析

解法一：关于

的不等式

的解集为

xxx

，得

a

，

1111

bx0

5c25xxba2a

c（a0)

，关于x的等式ax

2

a

x

可变形为2x

x

，故解集为

.解二因为方程2bx

与方程2

的根互为相反数，若不等式ax

的解集为

xxx以，方程2bx

的两根为xx12

，因此方程ax

bx两x1

x2

，不等式

的解集为

x|

变1已

，则关于

x

的不等式cx

bx0

的解集为例7.16已知

a013

，则使得)2i

（i1,2,3

）都成立的x的值范围是（）

(0,

1

)

(0,1

(0,)3

(0,)3解

由x)i

，得

i

，即

axi

得

0a2i

，又

a0(i1,2,3)i

，则ii

，不等式均成立，且

aa13

，故

x

1

，故选B变1若于x的等式

2

2

的解集中整数恰好有3个，则实的取值范围是变2设

，若关于

x

的不等式

())

的解集中整数恰好有3个，则（）.B.0C.1D例7.17解列不等式（1(x1)(1)(x（2（3分

x(x(2x2)利“根”基步求.解（1化不式

(x0

，图7-5所示在轴标各根，后据理画出曲线.

xx212

为奇次根，需穿，可知所求不等式的解集为.

1

2图x3)(x2（2化原不等式为如图所在轴上标出各根然后画出曲线x213需切，可知所求不等式的解集为：

为奇次根需，

x2

为偶次根，

2图2)(x(x2（3化原不等式为如图所，在数轴上标出各个根，然后画出曲线13

为奇次根，需穿，

x4

为偶次根，需切，可知所求不等式的解集为x

1图

变1不式

x

x

的解集为（）x

B.x

x

D.变2不式

xx2

的解集为（）

(2,1)

(2,

(2,1)(2,

D.

(例7.18

不等式

xx

的解集为（）

.

11.[,1]([1,.(][1,22分

将式等转为式等解由

x1)(2x得x2x

解得x

.故选A变1不等式

xx

的解集是变2不式

x(

的解集是（）.

11[].[C.[,1)(1,3]D[22变3若

f()xxx，则(x)

的解集为（）

(0,

(1,0)

(2,

D.

(题2绝值不式解思提求解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，而去掉绝对值符号的方法有等价转换法、零点分法和数形结合法等.例7.19

若不等式的解集为

，则实数k=分

利用绝对值不等式的解法求解解

因为

，所以

得

2kx

，又不等式的解集为

，得

k

.变1若等式

3

的解集中的整数有且仅有1，2，则b的值范围例7.20（1若不等式

对一切实数

恒成立，求实数

的取值范围（2若不等式

x

的解集在

上不是空集，求实数

的取值范围分

若f()

对于一切实数恒成立，只需满足

f

min

即可；若f()a的集在上非空，只要

f

min

a

即可.解（1等式

对一切实数

恒成立由对值的几何意义可知，

x

表示数轴上点

到3和4距离之和，那么对任意

恒成立，利用三角不等式可得x(x，故(x所以实数的取值范围是(

min

，(xx

min

，故a，（2）由题意可知只需

axx

min

即可，而

(

min

，所以

a

，所以实数

的取值范围是(1,

评绝值的几何意义对于求解含参数的绝对值不等式参数的范围有着化繁为简的作用现数形结合的思想在求解含参不等式方面的应.变1）不等式

对一切实数

恒成立，求实数

的取值范围（2若不等式

x

对一切实数

恒成立，求实数

的取值范围最效练1．不等式组

的解集为（）

0

2．设函数

x

,x1x2

，则满足f()2的的值范围是（）

[

[0,2]

D.

[0,3．不等式

(x)

的解集是（）0

且

D.4．若集合

0

的值的集合是（）x

05．在上定义运算：xx(1)..0C

，若不等式(x(x)D2

对任意实数成立，则（

）6．已知不等式

成立的充分不必要条件是

，则

的取值范围是（）.

[,]

.

[

4]3

.

.

[,7．不等式

xx

的解集为8．不等式

x