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文档简介
一元二次方程有关的竞赛题求解的若干方法一元二次方程是初中教材的重点内容,也是竞赛题的特点,在掌握常规解法的基础上,注意一些特殊的、灵活的解法,往往能收到事半功倍的效果。
一、换元
例1方程x2-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是()
A、-2B、0C、2D、4(93年“希望杯”竞赛题)解:原方程为(x-1)2-5|x-1|+6=0
即|x-1|2-5|x-1|+6=0
令|x-1|=A,则方程变为
A2-5A+6=0
∴A1=2,A2=3
由|x-1|=2,得x1=3,x2=-1;
由|x-1|=3,得x3=4,x4=-2。
x1+x2+x3+x4=4
故选D。
二、降次
例2已知α、β是方程x2-x-1=0的两个实数根,不解方程,求a4+3β的值。(96年江苏省竞赛题)解:∵α是方程x2-x-1=0的根,
∴α2-α-1=0,α2=α+1(二次转化为1次)
α4=(α+1)2=α2+2α+1=α+1+2α+1=3α+2(四次转化为一次)
∴α4+3β=3α+2+3β=3(α+β)+2=3×1+2=5
三、整体代入
例3设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2,记S1=x1+1993x2,S2=x+1993x,…,Sn=x+1993x,则aS1993+bS1992+cS1991=。(93年希望杯竞赛试题)
解:∵x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根,
∴ax+bx1+c=0,ax+bx2+c=0。
aS1993+bS1992+cS1991=a(x+1993x)+b(x+1993x)+c(x+1993x)=(ax+bx+cx)+(a·1993x+b·1993x+c·1993x)=x(ax+bx1+c)+1993x(ax+bx2+c)=0。
四、配偶
例4已知α、β是方程x2-7x+8=0的两根且α>β,不解方程,利用韦达定理求+3β2的值。(第八届“祖冲之”杯竞赛试题)解:由韦达定理,得
α+β=7,αβ=8
∴α2+β2=(α+β)2-2αβ=49-16=33,
(α-β)2=(α+β)2-4αβ=49-32=17
∵α>β,∴α-β=
设A=+3β2,
B=+3α2(A的配偶)
则A+B=+3(α2+β2)=+3×33=
A-B=-+3β2-3α2
=-3(α+β)(α-β)
=
∴2A=
A=
五、反客为主
例5求所有正实数a,使得方程x2-ax+4a=0仅有整数根。(98年香港初中数学竞赛试题)解:设方程两整数根为α、β,则α+β=a。
由此可知a必为整数
将方程x2-ax+4a=0中的x视为常数,a视为未知数,方程可变为
(x-4)a=x2
∴a==x+4+
∵a为正整数
∴x=5,6,8,12,20。
此时对应的a值为a=25,18,16,18,25。
∴所有正实数a的值为25,18,16。
六、构造新方程
例6已知两数a、b,ab≠1,且
2a2+1234567890a+3=0(1)
3b2+1234567890b+2=0(2)
则=。(91年“希望杯”竞赛试题)(97年山东省数学竞赛试题)证明:若三个方程都有两个相等的实数根,
则
三式相加,得
4(a2+b2+c2)-4(ab+bc+ca)=0,
a2+b2+c2-ab-bc-ca=0,
2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0,
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
∴a=b=c
这与已知a、b、c为互不相等的实数相矛盾。
故题中三个方程不可能都有两个相等的实数根。
八、巧用αβ+α+β+1,αβ-α-β+1因式分解
例8求满足如下条件的所有k值:使关于x的方程kx2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数。(98年江苏省竞赛试题)解:当k=0时,原方程化为x-1=0,x=1,符合题意。
当k≠0时,设原方程的两个整数根为α、β,不妨设α≥β。由韦达定理,得
α+β=-=-1-,(1)
αβ==1-。(2)
(2)-(1),得αβ-α-β=2
∴αβ-α-β+1=3,(α-1)(β-1)=3
∵α、β是整数,∴α-1、β-1也是整数,又α≥β,
∴
∴
于是α+β=6或α+β=-2
分别代入(1),得k=-或k=1
∴当k=0,-,1时,原方程的根都是整数。
九、整体变形
例9设a、b、c、d>0,证明在方程
x2+
x2+
x2+
x2+
中,至少有两个方程有不相等的实数根。(92年“希望杯”竞赛试题)证明:设这四个方程的判别式分别为△1、△2、△3、△4,则
△1=2a+b-2(1)
△2=2b+c-2(2)
△3=2c+d-2(3)
△4=2d+a-2(4)
∴△1+△3=(a+b-2)+(c+d-2)+a+b=()2+()2+a+b>0(5)
△2+△4=(b+c-2)+(d+a-2)+b+d=()2+()2+b+d>0(6)
若△1≤0,△3≤0,则△1+△3≤0,与(5)矛盾。故△1、△3中至少有一个大于0。
同理,△2、△4中也至少有一个大于0。
∴所给的四个方程中,至少有两个方程有不相等的实数根
十、分类讨论
例10已知三个关于x的方程:
x2-x+m=0(1)
(m-1)x2+2x+1=0(2)
(m-2)x2+2x-1=0(3)
其中至少有两个方程有实根,则实数m的取值范围是()
A、m≤2B、m≤或1≤m≤2
C、m≥1D、≤m≤1(98年山东省竞赛试题)解:(1)有实根的条件是1-4m≥0,m≤,无实根的条件是m>。
(2)有实根的条件是m-1=0或,即m=1或m≤2且m≠1,无实根的条件是m>2。
(3)有实根的条件是m-2=0或,即m=2或m≥1且m≠2,无实根的条件是m<1。
①若(1)(2)有实根,(3)无实根,则
,解得m≤。
②若(1)(3)有实根,(2)无实根,则
,不等式组无解。
③若(2)(3)有实根,(1)无实根,则
,解得1≤m≤2。
④若(1)(2)(3)均有实根,则
,不等式组无解。
∴当m≤或1≤m≤2时,至少有两个方程有实根。
故应选B。
十一、数形结合
一元二次方程问题常与对应的二次函数的图象联系起来考虑,由图象“形”的特征转化为数的问题来解决。
例11是否存在这样的实数k,使得二次方程x2+(2k+1)x-(3k+2)=0有两个实数根,且两根都在2与4之间?若有,试确定k的取值范围;若没有,简述理由。(2000年数学奥林匹克训练题)解:设f(x)=x2+(2k-1)x-(3k+2),则其图象为开口向上的抛物线。根据题意若方程有两个实数根,且两根都在2与4之间,则抛物线与x轴应有两个交点或一个交点,且交点都在2与4之间(如图)。符合条件的k值应满足下列条件:
(1)即4(k+1)2+5≥0,k可取任何实数。
(2)的解是k>0。
(3)的解是k>-2。
(4)的解是-<k<-。
∴这个不等式组无解。
故符合条件的k值不存在。设x2-px+q=0的两根为a,b,1、求以a3,b3为二根的一元二次方程2、若a3,b3为根的一元二次方程仍是x2-px+q=0,求所有这样的一元二次方程解:(如果是初中竞赛题)首先必须要说明两个都是实数根这个要交代下(1)x^2-px+q=0a+b=pa*b=q令a^3=A,b^3=BA+B=a^3+b^3==(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)[(a+b)^2-3ab]=p*(p^2-3q)A*B=a^3*b^3=(ab)^3=q^3则以a3,b3为二根的一元二次方程:Y^2-[p*(p^2-3q)]Y+q^3=0化简Y^2-[p^3-3pq]Y+q^3=0(2)由a3,b3为根的一元二次方程仍是x2-px+q=0则p^3-3pq=pp^3-(3q+1)p=0p[p^2-(3q+1)]=0q^3=q即当q=0时p=0或1或-1当q=1时p=0或2或-2当q=-1时p=0则所有条件的方程:当q=0时(1)x^2=0(2)x^2+1=0(3)x^2-1=0当q=1时(4)x^2+1=0(5)x^2+2x+1=0(6)x^2-2x+1=0当q=-
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