初三数学难题精选答案及讲解

P11X-101AOQOP2()、如将P绕点M转180°后点重合那称与Q关于点对称定P11X-101AOQOP2()

y叫对中。时M是段PQ的中。图在面角标系ABO的点，BB的标别（，0，（0，1，（0，0）点P，P，P…的邻两都123的个点称：P与点于点A对，P点关点B对，P点P12234于O对，P与点P关于A对，与点P关于B对，P点P关于点O对45567称对中分是A，B，O，B，O，，这对中依循。知P的标（1），点P12017的坐标为。解P的坐标是1），P的坐是1，-1）。22017理：P关于A点对点，可到P（1），P（-1，3），P，-3，P（1，3），P（-1，-1）13456又到来的标P（-1，-1）由可，6个为个期作次环，＝336…1，环17336次后又到原P的坐标故P的标P坐一为1，1。120171点：题要查平直坐系中对的质以找规问，据知出的坐标6个循环解关．、如①已△是边角形点E线AB上，点D在直BC上，DE=EC，eq\o\ac(△,将)绕点顺时旋转60°至ACF连接EF。试证：。【比究（1）图，果E在段AB的延长上其条不，段AB、DB之间有样数关？说明由（2）果E在段BA的延线，他件变，在③基上图补完，写AB，DB，AF之间量系不说理。证：DE=CE=CF△BCE∴∠D=∠AEF∴∠FCG=，由转60°△ACF∴eq\o\ac(△,，)EDB≌FEA

又∴，BE=AF，∴BD=AF，AB=AE+BF，∠D=∠EAD∴△CEF是等三形∴AB=BD+AF。∴，∴EF=CE，

类探

由转∠CBE=∠CAF=120°，∴DE=EF，，（1）DE=CE=CFeq\o\ac(△,，)BCE由旋60°∴∠DBE=∠FAE=60°∴，△ACF

∴△EFA，∵∠DBE=120°∴∠ECF=60°，BE=AF，∴BD=AE，?EB=AF，∴∠EAF=∠DBE，∴△CEF是等边角，∴BD=FA+AB。又A，E，C，F四共，∴EF=CE

即AB=BD-AF∴∠AEF=∠ACF，∴DE=EF∠EFC=∠BAC=60°，）AF=BD+AB或AB=AF-BD）又∵ED=DC，∠EFC=∠FGC+∠FCG∠BAC=∠FGC+∴∠D=∠BCE∠BCE=∠ACF，∠FEA考点：）此主考了何换合：转化等三角，角全考了析理力考查空想能，查数结方的用要练握（2）题考了等角的判和质应，熟掌．、在O中直AB=6，BC是弦∠ABC=30°，P在BC上，Q在O上，且OP⊥PQ。（1）图1当PQ∥AB时求PQ的长；（2）图2当P在BC移时求PQ长的大。解（1）结OQ，图1∵PQ∥AB，OP，∴OP⊥AB，求OP的法1OP＋32＝(2×OP)求OP=3求OP的法2在Rt△OBP中∵tan∠B=∴OP=3tan30°=3，在Rt△OPQ中，∵OP=，

OPOB

，

∴PQ=；（2）结OQ，图2在eq\o\ac(△,Rt)OPQ中PQ=OQ=当OP的最时PQ的长大1此OP⊥BC，OP=OB=，22∴PQ长的大值=。

，【评本考了周定：同或圆，弧等所对圆角等都于条所的心的一。考了股理解角角。

、如，条路转处一圆。（1）直和规出在的圆O（求留图迹不作）（2）的点C到AB距为，AB=80m求在的径解（1）图1，点O为求（2）接OA，OC，OC交AB于D，如图2，

1AB=40，2设O的半为r则OA=r，OD=OD-CD=r-20，在eq\o\ac(△,Rt)OAD中∵OA

222，∴r=（r-20）+402，得r=50，即在的径50m。∵C为中，∴OC⊥AB，考1：圆圆圆有性与的关算近年地考题重内容题以空，择和答为，有以读解条开，论放索作新题，值般是6-12分，易为，考内：圆有关质应。径理重。直和，和的置系的定应。弧，形积圆，锥的面和面的算圆相三形三函的合用以有的放，索。破法①练掌圆有行，握线，的法理概之的互联和识间相转。理直和的三位关，握线性和定歌会据件决中的态题③握两半的或与心距大关来底那两圆位关，中试中出现阅理题探题要活用的关性，行理理计。掌弧，形积算式⑤理圆，锥侧展图对合形计算灵运计方解。、如所，地一弧的桥桥的面度7.2米，顶出面2.4米现一宽3，舱顶为方并出面2米货要过里此货能利过座桥？说理由解方一

设O的半径R，设O的半径R，，CD=2.4，?，CD=2.4，?

在Rt△AOD中，，AD=3.6，在Rt△AOD中，，AD=3.6，2=（R-2.42+3.622（R-2.4）∴R=3.9∴R=3.9

在Rt△ONH中,在Rt△OHN中，HN=1.5ON222=(EF/2)+(OC-DC+DH)2=1.52+3.52＝2＝2∵2.1>2∴货能利过

1.5

2＝3.6

R22＜R即ON<R即船外F在形此船顺通拱。解方二解方三判船与高水2米弦，若宽于长则通，则能过解略考点：题查是径理应；股理根题画出形利数结求是答题关．、已：图∠AOB＝90°、D是的等点AB别OC、OD于E、F．证AE＝BF＝CD

3证方一3、D弧的等点则。

所AE＝CD证方二∵O为的点，点O为在的心在同中等弧对弦相）连接AC，则AC=CD=BD，上：则OAB=∠OBA=45°。则

∵∠COD，OA=OC=OD，∴≌eq\o\ac(△,．)DCO∴∠ACO=∠OCD．∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°∠OAB=45°。

∠OCD=

=75°，∠ACO=则∠AEC=75°则△ACE是等三形则AE=CD同可

∴∠OEF=∠OCD，∴CD∥AB，∴∠AEC=∠OCD，∴∠AEC故AC=AE同，BF=BD．又AC=CD=BD，．考点：题要查全三形判和质等三形的质圆角理圆角弧弦关等知的合用力、如图⊙O的内四形ABCD两组边延线别于、F．（1）∠E=时求：∠ADC=∠ABC（2）∠E=∠F=42°时求A的数；（3）∠E=α∠F=β且≠．你含αβ的数表∠A的大小解（1）∠E=∠F，（3连EF，如，∵∠DCE=∠BCF，∵四形为的接边，∴∠ADC=∠E+∠ABC=∠F+∠BCF，∴∠ECD=∠A，∴∠ADC=∠ABC；∵∠ECD=∠1+∠2，（2）（）知ADC=∠ABC∠A=∠2，∵∠EDC=∠ABC，∵∠A+∠1+∠2+∠E+，∴∠EDC=∠ADC，∴2∠A+α+β=180°∴∠ADC=90°，∴∠A=90°﹣42°=48°；

+β∴∠A=90°．2考1：圆圆圆有性与的关算近年地考题重内容题以空，择和答为，有以读解条开，论放索作新题，值般是6-12分，易为，考内：圆有关质应。径理重。直和，和的置系的定应。弧，形积圆，锥的面和面的算圆相三形三函的合用以有的放，索。破法①练掌圆有行，握线，的法理概之的互联和识间相转。理直和的三位关，握线性和定歌会据件决中的态题③握两半的或与心距大关来底那两圆位关，中试中出现阅理题探题要活用的关性，行理理计。掌弧，形积算式⑤理圆，锥侧展图对合形计算灵运计方解。、在面角标xOy中⊙C的半径r，P是圆不合点点P关⊙C的反称的义下若在线上在点P′，足CP+CP′=2r则点P为P关⊙的反称点如为P及关⊙C的反称P′的意．别，当P与心C重时规CP′=0（1）⊙的半为1时，①别断M（2），N，0，T，32

）于O的称是存？存，求坐；②P在线y=-x+2上，点P关⊙的反称点P存，点P不x轴，求P的坐的值围（2）⊙C的圆心x轴上，径1，线y=-

33

与轴、轴别于A，若段AB上存点P使点P关⊙的称点P′在C的内部求心的横标取范．解（1）⊙的半为1时①M，1）于O的称不在（，0关于⊙的反点在反点′）；

（1，3关⊙的反点在反点T′（0）②∵OP≤2r=2，OP≤4设P（x，-x+2），∴OP2=x+（-x+22=2x≤4，∴2x2-4x≤0（x-2≤0，

∴0≤x≤2当x=2时，P，0，P′（0，0）符题；

当x=0时，（0，2，P′，0不合意；∴0＜x＜2（2）直

33

与轴、y轴别于A，B，∴A（6，0，B（03），∴=

，∴，∠OAB=30°．设（x，0．①C在OA上，CH⊥AB于H则CH≤CP，所AC≤2，点横标x（当x=2时C点标2，0），H点的称H（2，0）在的部；②C在点右时C到段AB的距为AC长，最大值2所C点坐x≤8．综所，心C的坐的值围2≤8．考1：三形（1）角的念由在一条线的条段尾次接组的形做角形组三形线叫三形边相两的共点做角的点相两组的叫三形内，称角的．（2）边相关分：等边角和腰角（和不的腰角、和腰等等三形等三形．（3）角的要段角分线中、．（4）角具稳性考2：圆圆圆有性与的关算近年地考题重内容题以空，择和答为，有以读解条开，论放索作新题，值般是6-12分，易为，考内：圆有关质应。径理重。直和，和的置系的定应。弧，形积圆，锥的面和面的算圆相三形三函的合用以有的放，索。破法①练掌圆有行，握线，的法理概之的互联和识间相转。理直和的三位关，握线性和定歌会据件决中的态题③握两半的或与心距大关来底那两圆位关，中试中出现阅理题探题要活用的关性，行理理计。掌弧，形积算式⑤理圆，锥侧展图对合形计算灵运计方解。考3：图的似形相，小同两图相9、如图，有两条公OM相交30°角，公路OM方向离O点80米处一所学校A．重型运输卡沿道路ON向行驶，在以圆心50米长半径的圆区域内都会受到卡噪声的影响，且车与学校A距离越近声影响越大若一直重型输卡车沿道路ON方向驶的速度米/．（1求对学校的噪声影最大时卡P与学校的距离；（2求卡车沿道方向驶一次给校A带来声影响的间．解：）过A作AD⊥ON于点D∵，AO=80m，∴AD=40m，即对学校A噪声影最大时卡车P与校A的离为米；（2由图可知以50m为径画圆，分别于C点，AD⊥BC

BC，OA=800m，∵在△AOD中，∠AOB=30°，

∠CAE=∠B，么∴AD=OA=，∠CAE=∠B，么2在eq\o\ac(△,2)ABD中，AD=40由勾股定得：BD===30mABAD故米，即重型运输卡在经过BD对学校产生响．∵重型运输车的速度为18

千米/时，即18000=30

米/分钟，60∴重型运输车经过需要分钟）答：卡车沿道路ON方向驶一次给校A带来噪声影的时间为2分．点：题查是与的置系根拖机驶方，速，及在A为心，50米半的内行的的求对学生音时．10已知eq\o\ac(△,长)ABC内于⊙O过点A作直线．（1如图若⊙的直径，使EF成⊙O切线，还添加的一条件是（要求写出种情况）；

①∠CAE=∠B、②AB⊥EF、③∠BAE=∠C并意明中种况（2如图如果是过圆心的弦且

EF⊙的切吗？试证明你的判。（1证明：

（2EF还是的切线．∴∠（1）∵AB为⊙直径∴∠证明：接AO延长交．．于点，接CD如∴，∴．图，

即⊥EF若∠∠ABC∴．所为O的切∴，∵AD为O直径，线．即∠，OA⊥AE∴．∴EF为⊙O的切．∵∠ABC=，11如图示，P为⊙O外一，、PB为⊙的切，切点，为O的直径，PO交⊙O于点E．（1试判断∠APB∠BAC的数量关系，说明理由（2若⊙O的半径为⊙外一动点，是否在点，四边形为方形？若存，请求出PO的长，并判点个数及满足的条；若不存在请说明理由解连接BA如1∵PAPB为的线∴OA⊥PA⊥PB∴∠OAP=∠OBP=90°∴∠APB+∠AOB=180°，而AOB+∠BOC=180°，∴∠BOC=∠APB∵∠BOC=∠OAB+∠OBA，OA=OB，∠OBA∴∠BOC=2∠BAC∠。（2）、PB为O的线∠∠OBP=90°所当OA⊥OB时，四形PAOB为矩形加OA=OB，是判四形为正方，据方的质OP=OA=4；此到样点P有数，点P在O点圆，

2

为径圆时四形PAOB为正形考点：题查切的质勾定；的线直经过点半．考了方的定、如1、3、…，M、N分别⊙O的接三形ABC正形ABCD正边、…正n边A…的AB、BC上点且BM=CN，接OM、ON．（1）图1中MON的数（2）2中MON的数______图3中∠的度是_____；

32（3）探∠的度数与n边边n的系直写答）32•解分连OB，（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵OC=OB，O是接的心∴CO平分ACB∴∠OBC=∠OCB=30°∴∠OBM=∠OCN=30°∵BM=CN，OC=OB，∴△OMB≌ONC∴∠BOM=∠NOC，∵，∴∠BOC=120°；∴∠MON=∠BOC=120°（2）（1可∠MON的数90°图3中∠MON

的数72°；360（3）（）可，∠MON==120°；（），=90°在3中MON==72°，45故n时∠MON=n13如图示，已知为⊙O的径，是，⊥CD于⊥ACF，BE=OF（1求证：；（2求证：△AFO≌△CEB；?（3若EB=5cm，CD=10cm设OE=Xcm，的值及阴影部分的面。解：（1∵AB为O的直径（3）∵AB⊥CD∴AC⊥BC，CD=5，又∵⊥AC，在Rteq\o\ac(△,2)OCE中，OC=OB=X+5∴OF∥BC根据勾股定可得：(X＋5)=(5)2＋X2（2∵AB⊥CD，解得：x=5∴=∴tan∠COE=＝，∴∠BCD又∵∠CEB=90°，∴，OF=BE

∴，∴；∴扇形COD的面积：＝100，主要考查扇面积的计算平行线的判定角形全等的定圆心角，圆角，和弦等考点的理。

360△COD的面积是：11×1032225，∴阴影部分面积是：π-)（cm2）3、如所示一个圆锥的高为3

3

，展开是半圆．

（）；＝，＝，ππππ求：（）锥的母线长与底（）；＝，＝，ππππ∠BAC的度数（）圆的侧面积（结果保留π）．分（1）用面长展图半圆长算（2）用殊的角数锥高母的角30°，锥为60度；（3）用殊的角数出半，求面．解（1）此锥底半为r

（2）=2，∵2πr=

π2

π?AC

r∴锥与线夹为30°则角度；∴=2，

（3）∵h=3

，r∴锥母长底半之为2；

∴r=3cm，AC=6cm．圆的面=2=18πcm．点：题关是用面长展开的圆长求2、3题主是用殊

角三函求．、如，知O的径AB=12cm，AC是的弦过C作O的线BA的延线点P连BC．（1）求：∠B（2）已∠P=40°，点Q在优弧，点A开始时运到停（Q与点不重）ABQ与ABC的面相时求点Q所过弧。试解:连接OC，（2∵∠P=40°，

∴Q所过弧=

130π∵PC是⊙的切，∴，∴，∵AB=12，，∴∠1+，当∠∠AOC=50°时

180当时，即AOQ=230°，与△的面相，∵AB是⊙的直，与ABC的积等∴Q所过弧=

π∴，∴∠2+，∵OC=OA，

∴Q所过弧=＝，1803当∠AOC=50°,∠时

180∴eq\o\ac(△,当)与ABC的积等，动Q所过弧为或或．∴∠1=∠2,∠PCA=∠B与△的积等

3考：．线性；2弧的算、世杯赛成8个组每组4个，组行循（每队与小的他比一）赛胜场得分，一得1分，负场0分积最的2个进强，问（1）每组比多场（2）小比中现一得到6，队线一确事还不定件解：）=6场）（2因为总共6场比赛每场比赛多可得3，则场比最多共有分，现有一得6分，还剩，则还可能有个队同时6分，不能确保该队出线，此该队出线一个不确定件．考名：机件随事：件分确事和确事，确事又为随事。在定件，能生可不生事。事和率表方：般，件英大字A，B，C，…表事的率p可为P（A）=P事的率随事A的率0<P（A）<1随事特：可以相的件重复行每个验可结不止个并能先测验所可结；进行次验前能确哪个果出。注：①机件生否事是能定；②然件生机是1不能件生机是0随机件生机在0-1之。③判一事是然件随事、是可事，从定出。、Windows电脑有个趣的戏扫”下是雷戏一分BC

112321123说：中数2表在该字中的8个格有2个雷小旗示方已探有雷现在剩A、、三个格被明其地为全（括数的方）现还下个雷、B三个格有雷概分是大解（1）于A下标2说它为心8个格有2个雷而方格已有个∴A如是个雷，一不地雷一定是雷B如是个雷则A、C一定是雷（2）据1得P（A有地）

11，P有雷=，P有地）22、如1，枚地匀正面子子，有个并别有字、2、4如2正方ABCD顶处有个跳圈戏规为游者掷次子骰着一上数字几就正形边顺针向续跳个长如若图A起跳第次得，顺针续跳个长落圈D若二掷２就从开始时连跳２边，到B…设戏者圈A跳（1）嘉机一骰，落回圈A的率P1；（2）淇机两骰，列表求后回圈A的率，指她嘉落到A的能是一。1（1）P=；（2）详解.4【析试分：）根题及率式可解；（2）表出有可的果再得淇机掷次子回圈的概，较可试解：）∵一骰有4种可结，有得4时才落A圈∴P1（2）表下234（1,1（2,1）（4,1（1,2（2,2）（4,2（1,3（2,3）（4,3（1,4（2.4）（4，4）

14

。所等能结共16种，两次得数和4的数即1,3，（2,2）（3,1，（4,4），可回圈，4种4∴P==。∴样16考：率用表或形法答概问。、经某字口汽车它能续行也能左或右，果三种况等能，三汽经这十路时、（1）三车部向行的率、（2）至有辆向转的率、（3）于字口拐处是往建济发的因交部在车驶峰时对流作统，现车此字口右的率向转直的率为．前此口汽左转右、行绿亮510的间别秒，绿亮总间变条下为缓解通挤请用计知对路三方的绿灯的间出理调。解：）分用，B表示左转、直行向右转，根据题意，出树形图：

m3624024m3624024∵首先根据意画出树状如上图，树状图即可得共有27等可能的果，三辆车全部同而行的有3情况，∴P三车全部向而行）==279（2∵由（中的树状图得至少有两车向左转有7种情况，∴P至少两辆向左转）=；27（3∵汽车向转、向左转直行的概分别为

2、、3，510∴在不改变方向绿灯亮总时间的条下，可调绿灯亮的时如下：左转绿灯亮间为3=27（），直行绿亮时间为=27秒），右转10灯亮的时间2=36（）。5考名：率意，般，大重试中如事件发生频会稳在个数p附，么个数就叫事A的率记P（A）=p，率某种量刻一不定件生可性大。事和率表方：般，件英大字A，B，C，…表事的率p可为P（A）=P事的率必事的率1，可事的率0，机件A的率0<P（A）<1注（1）n试中事A发的率m满0≤m≤n，所0≤1故0≤P