数系的扩充与复数的引入-综合检测

数系的扩充与复数的引入综合检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数z是实数的充分而不必要条件为()A．|z|＝zB．z＝zC．z2是实数D．z＋z是实数[答案]A[解析]由|z|＝z可知z必为实数，但由z为实数不一定得出|z|＝z，如z＝－2，此时|z|≠z，故|z|＝z是z为实数的充分不必要条件，故选A.2．(2022•湖北理，1)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数z1＋i的点是()A．EB．FC．GD．H[答案]D[解析]由图可知z＝3＋i，∴z1＋i＝3＋i1＋i＝(1－i)(3＋i)(1－i)(1＋i)＝4－2i2＝2－i，对应复平面内的点H，故选D.3．(2022•荷泽高二期中)化简2＋4i(1＋i)2的结果是()A．2＋iB．－2＋iC．2－iD．－2－i[答案]C[解析]2＋4i(1＋i)2＝2＋4i2i＝2－i.4．在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i、－2＋i、0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为()A．3＋iB．3－iC．1－3iD．－1＋3i[答案]D[解析]在复平面内通过这四个点易知第四个顶点对应的复数为－1＋3i.5．(2022•新课标全国文，3)已知复数z＝3＋i(1－3i)2，则|z|＝()C．1D．2[答案]B[解析]由题知：z＝3＋i(1－3i)2＝3＋i－2－23i＝(3＋i)(－2＋23)(－2－23i)(－2＋23i)＝－34＋14i，可得|z|＝(－34)2＋(14)2＝12，故选B.6．当z＝－1－i2时，z100＋z50＋1的值是()A．1B．－1C．iD．－i[答案]D[解析]原式＝－1－i2100＋－1－i250＋1＝1－i2250＋1－i2225＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝－i.故应选D.7．复数(1＋bi)(2＋i)是纯虚数，则实数b＝()A．2C．－12D．－2[答案]A[解析](1＋bi)(2＋i)＝(2－b)＋(2b＋1)i是纯虚数，∴2－b＝02b＋1≠0，∴b＝2.8．复数z＝－1＋i1＋i－1，在复平面内z所对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]B[解析]z＝(－1＋i)i(1＋i)i－1＝(－1＋i)i－1＋i－1＝－1＋i.9．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1•z2是实数，则实数t等于()C．－43D．－34[答案]A[解析]z1•z－2＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i.因为z1•z2是实数，所以4t－3＝0，所以t＝34.因此选A.10．已知复数z＝1－i，则z2－2zz－1＝()A．2iB．－2iC．2D．－2[答案]B[解析]∵z＝1－i，∴z2－2zz－1＝－2i－2＋2i1－i－1＝－2－i＝－2i，故选B.11．若z＝cosθ＋isinθ(i为虚数单位)，则使z2＝－1的θ值可能是()A.π6B.π4C.π3D.π2[答案]D[解析]解法1：将选项代入验证即可．验证时，从最特殊的角开始．解法2：z2＝(cosθ＋isinθ)2＝(cos2θ－sin2θ)＋2isinθcosθ＝cos2θ＋isin2θ＝－1，∴sin2θ＝0cos2θ＝－1，∴2θ＝2kπ＋π(k∈Z)，∴θ＝kπ＋π2(k∈Z)，令k＝0知选D.12．设复数z＝lg(m2－1)＋1－mi，z在复平面内的对应点()A．一定不在一、二象限B．一定不在二、三象限C．一定不在三、四象限D．一定不在二、三、四象限[答案]C[解析]∵m2－1>01－m≥0，∴m＜－1，此时lg(m2－1)可正、可负，1－m＞2，故选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．已知x＋1x＝－1，则x2022＋1x2022的值为________．[答案]－1[解析]∵x＋1x＝－1，∴x2＋x＋1＝0.∴x＝－12±32i，∴x3＝1.2022＝3×668＋2，x2022＝x3×668＋2＝x2，∴x2022＋1x2022＝x2＋1x2＝x＋1x2－2＝(－1)2－2＝－1.14．若x、y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，则|x|＋|y|＝________.[答案]22[解析]∵x、y为共轭复数，∴x＋y、xy∈R由复数相等的条件有：(x＋y)2＝4－3xy＝－6设x＝a＋bi(a、b∈R)，则y＝a－bi，∴(2a)2＝4a2＋b2＝2，∴|x|＋|y|＝2a2＋b2＝22.15．若(3－10i)y＋(－2＋i)x＝1－9i，则实数x、y的值分别为________．[答案]x＝1，y＝1[解析]原式可以化为(3y－2x)＋(x－10y)i＝1－9i，根据复数相等的充要条件，有3y－2x＝1，x－10y＝－9.解得x＝1，y＝1.16．下列命题中，错误命题的序号是____________．①两个复数不能比较大小；②z1，z2，z3∈C，若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z3；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；④z是虚数的一个充要条件是z＋z∈R；⑤若a，b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数；⑥复数z∈R的一个充要条件是z＝z；⑦在复数集内，－1的平方根是±i；⑧z21＋z22＝0⇔z1＝z2＝0.[答案]①②③④⑤⑧[解析]①错误，两个复数如果都是实数，则可比较大小；②错误，当z1，z2，z3不全是实数时不成立，如z1＝i，z2＝1＋i，z3＝1时满足条件，但z1≠z3；③错误，当x＝－1时，虚部也为零，是实数；④错误，此条件是必要非充分条件；⑤错误，当a＝b＝0时，是实数；⑥是正确的；⑦是正确的；⑧错误，如z1＝i，z2＝1满足i2＋12＝0，但z1≠0，z2≠0.三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)复平面内有A、B、C三点，点A对应复数是3＋i，向量AC→对应复数是－2－4i，向量BC→表示的复数是－4－i，求B点对应复数．[解析]∵CA→表示的复数是2＋4i，CB→表示的复数是4＋i，∴AB→表示的复数为(4＋i)－(2＋4i)＝2－3i，故OB→＝OA→＋AB→对应的复数为(3＋i)＋(2－3i)＝5－2i，∴B点对应的复数为zB＝5－2i.18．(本题满分12分)已知(1＋2i)z＝4＋3i，求z及zz.[解析]设z＝a＋bi，则z＝a－bi(a，b∈R)∴(1＋2i)(a－bi)＝4＋3i∴(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i∴a＋2b＝42a－b＝3，∴a＝2，b＝1，∴z＝2＋i，∴z＝2－i，∴zz＝2＋i2－i＝(2＋i)25＝35＋45i.19．(本题满分12分)虚数z满足|z|＝1，z2＋2z＋1z＜0，求z.[解析]设z＝x＋yi(x、y∈R，y≠0)，∴x2＋y2＝1.则z2＋2z＋1z＝(x＋yi)2＋2(x＋yi)＋1x＋yi＝(x2－y2＋3x)＋y(2x＋1)i.∵y≠0，z2＋2z＋1z<0，∴2x＋1＝0，①x2－y2＋3x＜0，②又x2＋y2＝1.③由①②③得x＝－12，y＝±32.∴z＝－12±32i.20．(本题满分12分)已知复数z满足|z|＝2，z2的虚部为2.(1)求复数z；(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．[解析](1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，由已知条件得：a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，所以2ab＝2.所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i.(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i.所以点A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝12|AC|×1＝12×2×1＝1.当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i.所以点A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝12|AC|×1＝12×2×1＝1.即△ABC的面积为1.21．(本题满分12分)已知复数z1，z2满足条件|z1|＝2，|z2|＝3，且3z1＋2z2＝6，求复数z1和z2.[解析]设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则a2＋b2＝4，c2＋d2＝9，由3z1＋2z2＝6，得(3a＋2c)＋(3b＋2d)i＝6，由复数相等得3a＋2c＝6，3b＋2d＝0.解方程组a2＋b2＝4，c2＋d2＝9，3a＋2c＝6，3b＋2d＝0，得a＝1，b＝3，c＝32，d＝－332，或a＝1，b＝－3，c＝32，d＝332.所以z1＝1＋3i，z2＝32－323i，或z1＝1－3i，z2＝32＋323i.22．(本题满分14分)已知复数z＝(2x＋a)＋(2－x＋a)i，x，a∈R，且a为常数，试求|z|的最小值g(a)的表达式．[