人教版数学八年级下册-勾股定理全章复习与巩固(基础)知识讲解

勾股定理全复习与巩固基础）【习标1.了勾股定理的历史，掌握勾定理的证明方法；2.理并掌握勾股定理及逆定理内容；3.能用勾股定理及逆定理解决关的实际问.【识络【点理【清堂勾定全复知识点要一勾定1.勾定：直角三角形两直角边

、

的平方和等于斜边

的平方（：

2

）2.勾定的用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系直角三角形的重要性质之一主应用是：（1）已知直角三角形的两边，第三边；（2）利用勾股定理可以证明有线段平方关系的问题；（3）求作长度为

的线段要二勾定的定1.原题逆题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命，那么另一个叫做它的逆命.2.勾定的定勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长

a、、

，满足

22

，那么这个三角形是直角三角.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设大边长为

；（2）验证

2与是否具有相等关系，若22

，eq\o\ac(△,则)ABC是以∠为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角3.勾数满足不定方程

x

2y22

的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数

显然，以

、、

为三边长的三角形一定是直角三角.常见的勾股数：、4；②5；③8、15；、25；、41.如果(

a、、

)是勾股数，当t为整数时，以

at、、

为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为

、、

，且

a

，那么存在

2

成立.（例如④中存在2＝24＋25等）要三勾定与股理定的别联区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系勾定理与其逆定理的题和结论正好相反者互为逆定理都与直角三角形有关.【型题类一勾定及定的单用1、已知直角三角形的两边长分为6和，求第三边的长．【案解】解：设第三边为．当

为斜边时，由勾股定理得

222

．所以

62236

．当

为直角边时，由勾股定理，得

2

．所以

82

28

．所以这个三角形的第三边为10或．【结华题中未明第三边是直角边还是斜边应分类讨论本容易误认为所求第三边为斜边．举反：【变式】在中，AB，AC＝13高AD＝12求的周长．【案解：在eq\o\ac(△,Rt)ABD和eq\o\ac(△,Rt)ACD中，由勾股定理，得

BD22AD2

．∴

81

．同理

CD

22AD22

．

∴

CD

．①当∠ACB＞90°时，＝BD－CD＝9－5＝4．∴的长为：AB＋BC＋CA＋4＝32②当∠ACB＜90°时，BC＝BD＝9＋5＝14．∴的长为：AB＋BC＋CA＝15＝42综上所述：△ABC的长为32或．2、如图所示，△ABC中∠ACB＝90°，AC＝CB为AB上一．求证：

AM

22

．【路拨证的等式中出现了、CM，然想到了用勾股定理证明，因此需要作CD⊥AB．【案解】证明：过点C作CD⊥AB于D．∵AC＝BC，CD⊥AB，∴AD＝BD．∵∠ACB，∴CD＝AD＝DB∴

AM2DM

AD

2

2

2

DM

22(AD

2

DM

2

2)在eq\o\ac(△,Rt)CDM中

CD

22

，∴

AM2BMCM

．【结华欲证明段平方关系问题先联想勾股定理从图中寻找或作垂线构造含所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证．举反：【变式】已知，△ABC中，AB＝AC，DBC任一点，求证：

ADBD

.

22222222222222222222222222222【案解：如图，作AM⊥BC于M，∵AB＝AC，∴BM＝CM,则在eq\o\ac(△,Rt)ABM中AB

2

AM

2

2

……①在eq\o\ac(△,Rt)ADM中2AMDM

2

……②由①－②得：

22

＝（MC＋DM•BD＝CD·BD类二勾定及定的合用3秋黎县期中图正形ABCDAB=4DF=1请你判eq\o\ac(△,定)BEF的形状，并说明理由．【路拨根据勾股定理求出BE、BF根据勾股定理的逆定理判断即可．【案解】解：∵是角三角形，理由是：∵在正方形ABCD中AB=4，AE=2，DF=1∴∠D=90°，AB=AD=DC=BC=4﹣2=2﹣1=3，∵由勾股定理得BE=AB+AE=4+2=20，EF+DF=2+1=5=BC+CF=4+3=25，∴BE+EF=BF，∴∠BEF=90°，即△BEF是角三角形．【结华本题考查了方形性质勾股定理勾股定理的逆定理的应用，解此题的关是求出BE+EF=BF.举反：【变式】如图所示，已知ABC中∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，BD＝AE⊥BC于E，求AE的．

6

，

【案解：连接AD．∵DF是线AB的垂直平分线∴AD＝BD＝2，∠BAD＝∠B＝22.5°又∵∠ADE＝∠B＋∠BAD，AE⊥BC∴∠DAE＝45°，AE由勾股定理得：

2DE2AD

2

，∴

2AE2(62)

，∴

AE

．4、如图①所示，分别以直角三形ABC三边直径向外作三个半圆，其面积分别用、、S12

3

表示，则不难证明

1

3

．如②，分别以直角三角形ABC三为边向外作三个正方形，其面积分别用、、S12

3

表示，那么

S、S1

3

之间有什么关系(不必证明)(2)如③，分别以直角三角形ABC三为边向外作三个正三角形，其面积分别用、、S12

3

表示，请你确定

S、S1

3

之间的关系并加以证明．【案解】解：设eq\o\ac(△,Rt)的边、CA、AB长分别为(1)；13(2)．证明如下：13

、、

，则

22

．

2323显然，

1

33，S，b444

2

，所以

23

3(2)44

2

1

．【结华本题可以在直角三角形外的三个图形推及为等腰直角三角形、正五边形等．5、如果Δ的边分别为

a、、

，且满足

222

bc

，判断Δ的状【案解】解：由

222

bc

，得：2b2∴

3)

2bc2

0∵∴

a223,c∵

22

,∴

22

.由勾股定理的逆定理得eq\o\ac(△,：)是直角三角形【结华勾股定理的逆定理是通过量关系来研究图形的位置关系,在证明中经常要用到.类三勾定的际用6如①一蚂蚁在长方体木的一个顶点食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A处爬到B处最短路线长为多?【路拨将长方表面展开由蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行且长方体木块面是正方形，故它爬行的路径有两种情况．【案解】

解：如图②③所示．因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB的度．在图②中，由勾股定理，得

AB

222

130

．在图③中，由勾股定理，得

AB

22

100

．因为130＞100，所以图③中的AB的度最短，为10cm，蚂蚁需要爬行的最短路线长为cm．【结华解本题的关键是正确画出立体图形的展开图立图形上的折转化为平面图形上的直线，再运用勾股定理求解．举反：【变式秋郑期末）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地高丈周三尺，有葛藤自