考研数学一真题解析

2017年考研数学一真题及答案剖析一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项吻合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定地址上.．．．1cosx0在x（1）若函数f(x)ax,x0处连续，则（）b,x0【答案】A【剖析】lim1cosx1x1,Qf(x)在x11.选A.lim20处连续babx0axx0ax2a2a2（2）设函数f(x)可导，且f(x)f'(x)0，则（）【答案】C【剖析】Qf(x)f'(x)0,f(x)0(1)或f(x)0(2)，只有C选项满足(1)且满足(2)，因此选C。f'(x)0f'(x)0（3）函数f(x,y,z)x2yz2在点(1,2,0)处沿向量u1,2,2的方导游数为（）【答案】D【剖析】gradf{2xy,x2,2z},gradf(1,2,0){4,1,0}fgradfu{4,1,0}{1,2,2}2.u|u|333选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前面10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线vv1(t)（单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线vv2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时辰记为t0（单位：s），则（）【答案】B0到t0这段时间内甲乙的位移分别为t0t0【剖析】从v1(t)dt,v2(t)dt,则乙要追上甲，则00t0v1(t)dt10，当t025时满足，应选v2(t)C.0（5）设是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（）【答案】A【剖析】选项A,由(ET)0得(ET)x0有非零解，故E

T0。即ET不可逆。选项B,由r(T)1得T的特色值为n-1个0，1.故ET的特色值为n-1个1，2.故可逆。其它选项近似理解。200210100（6）设矩阵A021,B020,C020,则（）001001002【答案】B【剖析】由(EA)0可知A的特色值为2,2,1100由于3r(2EA)1，∴A可相似对角化，且A~020002由由于

B0可知B特色值为2,2,1.3r(2EB)2，∴B不可以相似对角化，显然C可相似对角化，∴A~C，且B不相似于C（7）设A,B为随机概率，若0P(A)1,0P(B)1，则P(AB)P(AB)的充分必要条件是（）【答案】A【剖析】依照条件概率定义张开，则Ａ选项吻合题意。（8）设X1,X2Xn(n2)为来自整体N(,1)1的简单随机样本，记Xn

nXi，则以下结论中不正确的i1是（）【答案】B【剖析】由于找不正确的结论，故B吻合题意。二、填空题：914小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定地址上.．．．(9)已知函数f(x)1，则f(3)(0)=__________1x2【答案】f(0)6【剖析】(10)微分方程y''2y'3y0的通解为y_________【答案】yex(c1cos2xc2sin2x)，（c1,c2为任意常数）【剖析】齐次特色方程为223012i1,2故通解为ex(c1cos2xc2sin2x)(11)若曲线积分xdxaydy在地域D(x,y)|x2y21内与路径没关，则Lx2y21__________【答案】a1P2xyQ2axy2,由积分与路径没关知PQ1【剖析】(x2y22,(x2y21)yay1)xx(12)幂级数(1)n1nxn1在区间(1,1)内的和函数S(x)________n11【答案】s(x)21x'x'1【剖析】(1)n1nxn1(1)n1xnx(1n1n11x)2101（13）设矩阵A112，1,2,3为线性没关的3维列向量组，则向量组A1,A2,A3的秩为011_________【答案】2【剖析】由1,2,3线性没关，可知矩阵1,2,3可逆，故rA1,A2,A3rA1,2,3rA再由rA2得rA1,A2,A32（14）设随机变量X的分布函数为F(x)0.5(x)0.5(x4(x)为标准正态分布函数，则)，其中EX_________2【答案】2【剖析】F(x)0.5(x)0.5(x4)，故EX0.5x(x)dx0.5x(x4)dx2222x(x)dxEX0。令x4t，则x(x4)dx=242t(t)dt814t(t)dt822因此E(X)2.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定地址上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步．．．骤.（15）（本题满分10分）设函数f(u,v)拥有2阶连续偏导数，yf(ex,cosx)，求dyd2ydxx0，dx2x0dy'd2y''(1,1),【答案】f1(1,1),f11dxx0dx2x0【剖析】结论：（16）（本题满分nk1k10分）求limn2lnnnk1【答案】14【剖析】（17）（本题满分10分）已知函数y(x)由方程x3y33x3y20确定，求y(x)的极值【答案】极大值为y(1)1，极小值为y(1)0【剖析】两边求导得：3x23y2y'33y'0（1）令y'0得x1对（1）式两边关于x求导得6x6yy'23y2y''3y''0（2）将x1代入原题给的等式中，得x1orx1yy0，1将x1,y1代入（2）得y''(1)10将x1,y0代入（2）得y''(1)20故x1为极大值点，y(1)1；x1为极小值点，y(1)0（18）（本题满分10分）设函数f(x)在区间[0,1]上拥有2阶导数，且f(1)0,limf(x)0，证明：x0x( )方程f(x)0在区间(0,1)内最少存在一个实根；( )方程f(x)f'(x)(f'(x))20在区间(0,1)内最少存在两个不同样实根。【答案】【剖析】（I）f(x)二阶导数，f(1)0,limf(x)0f(x)x0x解：1）由于lim0，依照极限的保号性得x0x0,x(0,)f(x)0，即f(x)0有x进而x0(0,)有f0又由于f(x)二阶可导，因此f(x)在[0,1]上必连续那么f(x)在[,1]上连续，由f()0,f(1)0依照零点定理得：最少存在一点(,1)，使f( )0，即得证（II）由（1）可知f(0)0，(0,1),使f()0，令F(x)f(x)f'(x)，则f(0)f( )0由罗尔定理(0,),使f'()0，则F(0)F()F( )0，对F(x)在(0,),(,)分别使用罗尔定理：1(0,),2(,)且1,2(0,1),12，使得F'(1)F'(2)0，即F'(x)f(x)f''(x)20在(0,1)最少有两个不同样实根。f'(x)得证。（19）（本题满分10分）设薄片型物体S是圆锥面zx2y2被柱面z22x割下的有限部分，其上任一点的密度为9x2y2z2。记圆锥面与柱面的交线为C( )求C在xOy平面上的投影曲线的方程；( )求S的M质量。【答案】64【剖析】（1）由题设条件知，C的方程为zx2y2x2y22xz22x则C在xoy平面的方程为

x2y22xz02）（20）（本题满分11分）设3阶矩阵A1,2,3有3个不同样的特色值，且3122。( )证明r(A)2；( )若123，求方程组Ax的通解。11【答案】（I）略；（II）通解为k21,kR11【剖析】（I）证明：由3122可得12230，即1,2,3线性相关，因此，A1230，即A的特色值必有0。又由于A有三个不同样的特色值，则三个特色值中只有1个0，别的两个非0.且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为

12

,1200∴r(A)r( )2（II）由（1）r(A)2，知3r(A)1，即Ax0的基础解系只有1个解向量，111由12230可得1,2,32A20，则Ax0的基础解系为2，111111又123，即1,2,31A1，则Ax的一个特解为1，11111综上，Ax的通解为k21,kR11（21）（本题满分11分）设二次型f(x1,x2,x3)2x12x22ax322x1x28x1x32x2x3在正交变换XQY下的标准型1y122y22，求a的值及一个正交矩阵Q111326【答案】a2;Q102,fxQy3y126y2236111326【剖析】214f(x1,x2,x3)XTAX，其中A11141af(x1,x2,x3)XTAX经正交变换后，获取的标准形为22由于1y12y2，214故r(A)2|A|01110a2，41a214将a2代入，满足r(A)2，因此a2吻合题意，此时A111，则412214|EA|111013,20,36，4121由(3EA)x0，可得A的属于特色值-3的特色向量为由(6EA)x0，可得A的属于特色值6的特色向量为由(0EA)x0，可得A的属于特色值0的特色向量为

1；11011213令P1,2,3，则P1AP6，由于1,2,3相互正交，故只需单位化即可：011,1,1T1T,T,，1,21,0,1311,2,1326111326312则Q1230，QTAQ6360111326（22）（本题满分11分）设随机变量X,Y相互独立，且X的概率分布为P(X0)P(X2)1，Y的22y，0y1概率密度为f(y)0,其他( )求P(YEY)( )求ZXY的概率密度。【答案】(I)P{YEY}4z,0z1;(II)fZ(z)2,2z39z【剖析】（1）当z0,z20，而z0，则Fz(Z)0（2）当z21,z1,即z3时，Fz(Z)13）当4）当5）当

0z1时，Fz(Z)1z221z2时，Fz(Z)122z3时，F(Z)11(z2)2z220z01z2,0z12因此综上Fz(Z)1,1z2211(z2)2,2z3221,z3因此fz(Z)'z0z1Fz(Z)z22z3（23）（本题满分11分）某工程师为认识一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量是已知的，设n次测量结果X1,X2Xn相互独立且均遵从正态分布N(,2)。该工程师记录的是n次测量的绝对误差ZiXi(i1,2,n)，利用Z1,Z2Zn估计。( )求Zi的概率密度；( )利用一阶矩求的矩估计量【答案】【剖析】( )Fzi(z)P(Ziz)P(Xiz)当z0,Fzi(z)0当z0,Fz(z)P(zXiz)P(zXiz)FX(z)F(z)i当z0时，2z2e220综上fz(z)2,zi0,z0令E(