上海市莘庄中学2022-2023学年高一上学期10月月考 数学试题（解析版）

莘庄中学2022-2023学年第一学期高一10月考数学试卷（时间：90分钟满分：150分）一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.已知集合，集合，若，则的值为______.【答案】1【解析】【分析】首先根据，求得，然后再代入两个集合验证.【详解】，，解得或当时，，成立；当时，，,这与矛盾.故答案为1【点睛】本题考查根据两个集合的运算结果求集合，属于基础题型.2.已知全集，集合，则___________．【答案】【解析】【分析】解分式不等式化简集合，再利用补集的定义求解作答.【详解】不等式化为：，即，有，解得或，因此或，所以.故答案为：3.满足的集合M有___________个.【答案】4【解析】【分析】由集合，根据集合并集的运算，列举出所有的可能，即可得到答案.【详解】由题意，集合满足，则集合可能为，共有4种可能，故答案为4个.【点睛】本题主要考查了集合的并集运算及其应用，其中解答中熟记集合的并集运算，合理列举是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.若，则的最小值为________________．【答案】【解析】【分析】利用基本不等式求得最小值.【详解】，当且仅当时等号成立.故答案为：5.若、是一元二次函数的两个实数根，则______.【答案】【解析】【分析】利用韦达定理得出、的值，然后将代数式通分代值计算即可.【详解】由韦达定理可得，，因此，.故答案为.【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，考查计算能力，属于基础题.6.已知不等式的解集是，则不等式的解集是_________.【答案】【解析】【分析】根据不等式的解集是，求得的值，从而求解不等式的解集，得到答案.【详解】由题意，因为不等式的解集是，可得，解得，所以不等式为，即，解得，即不等式的解集为.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.设集合，，若，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】解含绝对值的不等式化简集合A，再借助集合的包含关系求解作答.【详解】不等式化为：，即，解得，即，因，，则有，所以实数的取值范围是.故答案为：8.已知集合，，，则图中阴影部分表示的的区间为___________．【答案】##【解析】【分析】解不等式化简集合M，N，再利用韦恩图结合补集、交集的定义求解作答.【详解】解不等式得：，因此，解不等式得：或，因此，由韦恩图知，图中阴影部分对应的集合为，而，则，则有，所以图中阴影部分表示的的区间为.故答案为：9.已知集合，，则___________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，分别求出函数的值域和定义域化简集合M，N，再利用交集的定义求解作答.【详解】，当且仅当时取等号，因此，由得：，解得：，因此，所以.故答案为：10.若关于的不等式组无解，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】先求得不等式的解集，再结合题意，即可得答案.【详解】不等式所以，解得，因为不等式组无解所以.故答案为：11.已知集合各元素之和等于3，则实数___________.【答案】或【解析】【分析】由题意知中各元素为描述中方程的解，由集合的性质讨论是否相等即可求实数.【详解】由题意知：中元素，即为的解，∴或，可知：或∴当时，；当时，，∴或，故答案为：或【点睛】本题考查了集合的性质，根据集合描述及元素之和，结合互异性讨论求参数，属于基础题.12.若，则，则称是“对偶关系”集合，若集合的所有非空子集中是“对偶关系”的集合一共15个，则实数的取值集合为__________【答案】【解析】【分析】根据定义，列举集合，，，0，2，4，6，的所有的“对偶关系”的集合，再去考查实数的取值即可．【详解】解：集合，，，0，2，4，6，的所有的“对偶关系”有与6，与4，2与0，则与7，这些组合的“对偶关系”有4对，集合有个．那么，可得．当时，则，也满足“对偶关系”．可得实数的取值集合为．故答案为：．【点睛】本类问题通常以选择和填空出现，考查集合和元素之间的关系，有时也出现在以其他知识为背景的综合题中，渗透集合的思想，体现基础性与应用性．属于基础题二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是（）A.< B.a2>b2C.> D.a|c|>b|c|【答案】C【解析】【分析】举特例即可判断选项A，B，D，利用不等式的性质判断C即可作答.【详解】当a=1，b=-2时，满足a>b，但，a2<b2，排除A，B；因>0，a>b，由不等式性质得，C正确；当c=0时，a|c|>b|c|不成立，排除D，故选：C14.设，则“且”是“且”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要【答案】B【解析】【分析】根据给定的条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质判断作答.【详解】，若且，则必有且成立，反之，如，满足且，而且不成立，所以“且”是“且”必要不充分条件.故选：B15.已知方程①，方程②，方程③，其中、、是正实数，当时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A.方程①有实根，且②有实根 B.方程①有实根，且②无实根C.方程①无实根，且②有实根 D.方程①无实根，且②无实根【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根情况，结合不等式性质逐项判断作答.【详解】、、是正实数，且，当方程③无实根时，当且仅当，对于A，方程①有实根，则，即，方程②有实根，则，即，取，则有，，A不是；对于B，方程①有实根，有，方程②无实根，有，因此，而，有，方程③无实根，B是；对于C，方程①无实根，有，方程②有实根，有，则，有，C不是；对于D，方程①无实根，有，方程②无实根，则，取，则，，D不是.故选：B16.设集合，，，，其中，下列说法正确的是（）A.对任意，是的子集，对任意的，不是的子集B.对任意，是的子集，存在，使得是的子集C.存在，使得不是的子集，对任意的，不是的子集D.存在，使得不是的子集，存在，使得是的子集【答案】B【解析】【分析】运用集合的子集的概念，令，推得，可得对任意，是的子集；再由，，求得，，即可判断B正确，A，C，D错误．【详解】解：对于集合，，可得当，即，可得，即有，可得对任意，是的子集；故C、D错误当时，，，可得是的子集；当时，，且，可得不是的子集，故A错误．综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集．故选：B.三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.已知集合,分别求适合下列条件的实数的值.（1）；（2）.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）根据元素与集合的关系，结合交集运算即可求解；（2）根据集合间的包含关系，及交集运算即可求解.【小问1详解】解：因为，所以且，所以或，解得或，经检验，或满足题意，不满足题意，舍去，所以或.【小问2详解】解：因为，所以，由（1）知或，当时,，此时，这与矛盾,舍去，当时，，此时，满足题意，所以.18.已知集合，，（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或或.【解析】【分析】（1）解不等式求出集合，再根据列不等式组即可求解；（2）求出方程的两根分别为，讨论，，时集合，结合，即可求解.【详解】（1），，若，则，因为，所以，所以，解得：，所以实数的取值范围为：；（2）由可得：，当时，，此时，而，若，则，当时，，不等式解集为，此时满足，所以符合题意；当时，，此时，而，若，则，综上所述：实数的取值范围为：或或.19.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离，在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离与汽车的车速满足下列关系：（为常数，且），做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中．（1）求值；（2）要使刹车距离不超过，则行驶的最大速度是多少？【答案】（1）6；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，解不等式组求出n值作答.（2）由（1）求出函数解析式，再解一元二次不等式即可作答【小问1详解】观察图象知，，而，即，解得，因，于是得，所以的值为6.【小问2详解】由（1）知，，当时，，整理得：，解得，显然，因此，即，所以行驶的最大速度是.20.对于函数与，记集合;（1）设,，求.（2）设,，若,求实数a的取值范围.（3）设.如果求实数b的取值范围.【答案】（1）或；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由题意，得到不等式，即可求解；（2）由，得出不等式在上恒成立，利用二次函数性质，分类讨论，即可求解；③由，求得，又由，可得，分类讨论，使得，即可求解.【详解】（1）由题意，函数,，令，即或，解得或所以或.（2）由题意，函数,，又由，即不等式的解集为,即上恒成立，①当时，即时，不等式为在上恒成立；②当时，则满足且，解得，综上所述，实数的取值范围是.③由题意，函数，由，可得，解得，又由，可得，①当时，不等式的解集为，要使得，则满足，即，所以此时；②当时，不等式的解集为或，要使得，则满足，即，所以此时；③当时，不等式的解集为或，要使得，则满足恒成立，所以此时，综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了函数的新定义的应用，绝对值不等式、分式不等式的解法，以及利用一元二次函数的性质求解不等式的恒成立问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.21.已知集合集合，集合，且集合D满足.（1）求实数a的值.（2）对集合，其中，定义由中的元素构成两个相应的集合:,,其中是有序实数对，集合S和T中的元素个数分别为和，若对任意的,总有，则称集合具有性质P.①请检验集合是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T.②试判断m和n的大小关系，并证明你的结论.【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析.【解析】【分析】（1）由，，得到，代入方程，求得或，检验即可求解实数的值；（2）①由（1）求得，，检验性质，即可得到结论；②根据不相等，所以与的个数相同，即可得出结论.【详解】（1）