数学物理方法第一章复变函数

数学物理方法第一章复变函数wuxia@第1页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@课程内容复变函数论复变函数复变函数的积分幂级数展开留数定理傅立叶变换拉普拉斯变换数学物理方程数学物理定解问题分离变数法二阶常微分方法解法本征值问题球函数(柱函数)积分变换法第2页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@课程考核作业，出勤20%期中20%期末60%第3页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@学习要求保证出勤课后复习按时按量完成作业有问题及时问共同探讨，共同提高第4页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@第一篇复变函数论第一章复变函数第5页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@1、1复数与复数运算（一）复数的基本概念α=a+ib实部Reα虚部Imα复数平面内用矢量表示复数的极坐标表示：(r,θ)模辐角第6页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@复数的三角式：α=r(cosθ+sinθ)复数的指数式：α=re

iθ注意：1、辐角值不能唯一确定，可以取无穷多值，彼此相差2π的整数倍。以argα表示其主值，也称为主辐角。θ=Argα=argα+2kπ第7页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@2、复数零，即实部、虚部都等于零的复数，其辐角无意义。共轭复数α*=a-ib=r(cosθ-isinθ)=re–iθ互为共轭的复数关于实轴对称第8页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@(二)无限远点在复变函数论中，将模为无限大的复数对应到复平面上的一点，称为无限远点。∞对应N极点模无限大辐角无明确意义第9页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@（三）复数的运算交换律、结合律与分配律都成立第10页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@采用三角式或指数式更有利于乘、除、乘方和开方第11页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@注意：1、|z|2与z2的区别。前者是模r的平方。zz*=|z|2后者是z的自乘。2、关于复数的研究可以转化为一对实数（实部、虚部）的研究。例如：z=x+iy逼近常数z0=x0+iy0,即z逼近z0。可归结为x逼近x0，y逼近y0。第12页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@1、2复变函数（一）复变函数的定义在复平面上存在一个点集E，对于E中每一点，按照一定规律，有一个或多个复数值ω与之对应，则称ω为z的函数----复变函数。z为ω的宗量，定义域为E。记作：ω=f(z),z∈E第13页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@（二）区域的概念满足一定条件的点集，称为区域，记作B。邻域：以复数z0为圆点，以任意小正实数ε作半径划一个圆，则圆内所有点的集合称为z0的邻域。内点：若z0及其邻域均属于点集E，则称z0为该点集的内点。外点：若z0及其邻域均不属于点集E，则称z0为该点集的外点。第14页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@境界点（边界点）：若z0的每个邻域内，既有属于E的点，也有不属于E的点，则z0称为E的境界点。既不是内点，也不是外点。境界点的全体成为境界线。直观地说，区域就是宗量z在复数平面的取值范围。严格地说，区域是指满足下列两个条件的点集：（1）全由内点组成；（2）具有连通点，即点集中任意两点都可用一条折线连接起来，且折线上的点都属于该点集。第15页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@闭区域：区域B及其境界线所组成的点集称为闭区域。注意：区域可以是各种各样的。比如，圆形域|z-z0|<r,z0为圆心，r为半径。环形域a<|z-z0|<b,a为内半径，z0为环心，b为外半径。≤表示闭圆域，闭环域圆形域|z|<rr闭圆域|z|≤r环形域a<|z|<bab闭环域a≤|z|≤b第16页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@（三）复变函数举例第17页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@初等函数定义式：第18页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@注意：1、sinz和cosz具有实周期2π，即：sin(z+2π)=sinz,cos(z+2π)=cosz在实数域内，|sinx|≤1，|cosx|≤1。第19页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@但在复数域内，第20页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@第21页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@2、ez,shz和chz具有纯虚数周期2πi，即3、由于Argz不能唯一确定，可以加减2kπ,则对于给定z，对数lnz=ln|z|+iArgz有无限多个值。实数域中，负数的对数无意义，但在复数域中，当z为负实数时，复变函数lnz仍有意义，即lnz=ln(|z|eiπ+i2πn)=ln|z|+i(2n+1)π第22页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@把复变函数f(z)的实部和虚部分别记为u(x,y)和v(x,y),即f(z)=u(x,y)+iv(x,y),则复变函数可归结为一对二元实变函数。因此，实变函数中的许多公式、定理都可以移植到复变函数中。例如，f(z)在z0=x0+iy0的连续定义为：当z-〉z0时，f(z)->f(z0)可归结为一对二元实变函数u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)连续，即当x->x0,y->y0时，u(x,y)->u(x0,y0),v(x,y)->v(x0,y0)第23页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@1、3导数设函数ω=f(z)是在区域B上定义的单值函数，即对于B上每一个z值，有且只有一个ω与之对应。若在B上的某点z，极限则称函数ω=f(z)在z点可导，此极限称为f(z)在z点的导数，以f’(z)或df/dz表示。复变函数的导数定义，在形式上与实变函数的导数定义一样，因此，实变函数论中关于导数的规则和公式可以用于复变函数中。第24页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@第25页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@必须指出的是，复变函数和实变函数的导数定义，虽然形式上一样，但是实质上却有很大不同。因为实变数Δx只能沿实轴逼近零，复变数Δz却可以沿复数平面上任一曲线逼近零。因此，复变函数的可导是更严格的要求。第26页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@Δz沿平行于实轴方向逼近零，则Δy=0,Δz=Δx->0，于是：Δz沿平行于虚轴方向逼近零，则Δx=0,Δz=Δy->0，于是：第27页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@如果f(z)在点z可导，则以上两个极限必须存在且彼此相等，即称为柯西-黎曼方程（条件），C-R条件，是复变函数可导的必要条件。注意：C-R条件只能保证Δz沿实轴逼近零或沿虚轴逼近零时，Δf

/Δz逼近同一极限，并不能保证Δz沿任意曲线逼近零时，Δf

/Δz逼近同一极限，因此，C-R条件不是复变函数可导的充分条件。第28页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@函数f(z)可导的充分必要条件：f(z)的偏导数存在且连续，并满足C-R条件。第29页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@这一极限与Δz-〉0的方式无关，且为有限值。第30页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@复变函数的可导比实变函数的可导更严格，具体表现之一就是，函数的实部和虚部通过柯西-黎曼条件约束。极坐标中的柯西-黎曼方程：作业：从直角坐标系中的C-R方程，推导极坐标中的C-R方程。第31页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@1、4解析函数若函数f(z)在z0点及其邻域上处处可导，则f(z)在z0点解析。若f(z)在区域B上每点都解析，则f(z)是区域B上的解析函数。可见，函数在某一点解析，则必该点可导。反之不成立！例如，f(z)=|z|2仅在z=0点可导，而在其他各点均不可导。第32页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@表明函数在某一点可导与解析是不等价的。但是，函数若在某一区域B上解析，则在B上处处可导。即，函数在某一区域上可导与解析是等价的。第33页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@解析函数的主要性质：1、若f(z)=u+iv在B上解析，则u(x,y)=C1,v(x,y)=C2(C1,C2为常数)是B上两组正交曲线族。第34页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@例如：第35页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@第36页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@2、若f(z)=u+iv在B上解析，则u，v均为B上的调和函数。调和函数是指，如果某函数H(x,y)在B上有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程，则称H(x,y)为B上的调和函数。后面将证明，某区域上的解析函数在该区域上必有任意阶的导数，那么u，v的二阶导数均存在且连续。第37页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@第38页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@假设给定的二元调和函数的实部为u(x,y)，试求相应的虚部v(x,y)。可分别利用三种方法计算：（1）曲线积分法；（2）凑全微分显式法；（3）不定积分法第39页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@yx0(x,0)(x,y)第40页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@第41页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@第42页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@第43页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@第44页，共51页，2023年，2月20日，星期六wuxia@1、5平面标量场物理或工程技术上经常要研究各种场，如电磁场、温度场。通常，这些场可能会随时间、空间发生变化。若与时间无关，则称为恒定场，如静电场。若研究的场在空间某方向上是均匀的，则只需要在垂直该方向的平面上进行研究，这样的场成为平面场。平面是指，