微积分入门精华

微积分入门精华第1页，共98页，2023年，2月20日，星期六abxyo实例1（求曲边梯形的面积）一、问题的提出第2页，共98页，2023年，2月20日，星期六abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）第3页，共98页，2023年，2月20日，星期六曲边梯形如图所示，第4页，共98页，2023年，2月20日，星期六曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为第5页，共98页，2023年，2月20日，星期六实例2（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．第6页，共98页，2023年，2月20日，星期六（1）分割部分路程值某时刻的速度（2）求和（3）取极限路程的精确值第7页，共98页，2023年，2月20日，星期六二、定积分的定义定义第8页，共98页，2023年，2月20日，星期六被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和第9页，共98页，2023年，2月20日，星期六注意：第10页，共98页，2023年，2月20日，星期六定理1定理2三、存在定理第11页，共98页，2023年，2月20日，星期六曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值四、定积分的几何意义第12页，共98页，2023年，2月20日，星期六几何意义：第13页，共98页，2023年，2月20日，星期六例1利用定义计算定积分解第14页，共98页，2023年，2月20日，星期六第15页，共98页，2023年，2月20日，星期六五、定积分的性质第16页，共98页，2023年，2月20日，星期六证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1第17页，共98页，2023年，2月20日，星期六证性质2第18页，共98页，2023年，2月20日，星期六补充：不论的相对位置如何,上式总成立.例若（定积分对于积分区间具有可加性）则性质3第19页，共98页，2023年，2月20日，星期六证性质4性质5第20页，共98页，2023年，2月20日，星期六解令于是可以直接作出答案第21页，共98页，2023年，2月20日，星期六性质5的推论：证（1）第22页，共98页，2023年，2月20日，星期六证说明：

可积性是显然的.性质5的推论：（2）第23页，共98页，2023年，2月20日，星期六证（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质6曲边梯形的面积夹在两个矩形之间第24页，共98页，2023年，2月20日，星期六解例2不计算定积分估计的大小第25页，共98页，2023年，2月20日，星期六证由闭区间上连续函数的介值定理知性质7（Th5.1定积分第一中值定理）积分中值公式第26页，共98页，2023年，2月20日，星期六使即积分中值公式的几何解释：第27页，共98页，2023年，2月20日，星期六Th5.2(推广的积分第一中值定理）第28页，共98页，2023年，2月20日，星期六考察定积分记积分上限函数六、积分上限函数及其导数第29页，共98页，2023年，2月20日，星期六证第30页，共98页，2023年，2月20日，星期六由积分中值定理得第31页，共98页，2023年，2月20日，星期六计算下列导数第32页，共98页，2023年，2月20日，星期六补充证第33页，共98页，2023年，2月20日，星期六例1求解分析：这是型不定式，应用洛必达法则.第34页，共98页，2023年，2月20日，星期六定理2（原函数存在定理）定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.第35页，共98页，2023年，2月20日，星期六定理3（微积分基本公式）证七牛顿—莱布尼茨公式第36页，共98页，2023年，2月20日，星期六令令牛顿—莱布尼茨公式第37页，共98页，2023年，2月20日，星期六微积分基本公式表明：注意求定积分问题转化为求原函数的问题.第38页，共98页，2023年，2月20日，星期六例4求

原式例5设,求.解解第39页，共98页，2023年，2月20日，星期六例6求

解由图形可知第40页，共98页，2023年，2月20日，星期六则有1.微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿–莱布尼茨公式第41页，共98页，2023年，2月20日，星期六定理八、换元公式第42页，共98页，2023年，2月20日，星期六证第43页，共98页，2023年，2月20日，星期六第44页，共98页，2023年，2月20日，星期六应用换元公式时应注意:（1）（2）第45页，共98页，2023年，2月20日，星期六例1计算例2计算第46页，共98页，2023年，2月20日，星期六例1计算解凑微分是第一类换元积分法，特点是不要明显地换元，也就不要更换积分的上下限。第47页，共98页，2023年，2月20日，星期六例2计算解原式第48页，共98页，2023年，2月20日，星期六例3计算解第49页，共98页，2023年，2月20日，星期六三角代换和根式代换第50页，共98页，2023年，2月20日，星期六例4计算解令原式明显换元第51页，共98页，2023年，2月20日，星期六证第52页，共98页，2023年，2月20日，星期六第53页，共98页，2023年，2月20日，星期六奇函数例6计算解原式偶函数单位圆的面积第54页，共98页，2023年，2月20日，星期六总结：1、定积分公式—2、定积分计算方法（直接代入，凑微分，根式代换，三角代换）3、根式和三角代换为明显的代换，所以换元要换上下限4、介绍了积分上限函数5、积分上限函数是原函数6、计算上限函数的导数第55页，共98页，2023年，2月20日，星期六证（1）设第56页，共98页，2023年，2月20日，星期六第57页，共98页，2023年，2月20日，星期六（2）由此计算设第58页，共98页，2023年，2月20日，星期六第59页，共98页，2023年，2月20日，星期六定积分的分部积分公式推导九、分部积分公式第60页，共98页，2023年，2月20日，星期六例计算解第61页，共98页，2023年，2月20日，星期六例2计算解令则第62页，共98页，2023年，2月20日，星期六例3计算解例4计算第63页，共98页，2023年，2月20日，星期六例5计算解第64页，共98页，2023年，2月20日，星期六第四节广义积分

一、无穷限的广义积分第65页，共98页，2023年，2月20日，星期六第66页，共98页，2023年，2月20日，星期六第67页，共98页，2023年，2月20日，星期六例1计算广义积分解简记为第68页，共98页，2023年，2月20日，星期六例1计算广义积分解第69页，共98页，2023年，2月20日，星期六证第70页，共98页，2023年，2月20日，星期六第71页，共98页，2023年，2月20日，星期六第72页，共98页，2023年，2月20日，星期六第73页，共98页，2023年，2月20日，星期六第74页，共98页，2023年，2月20日，星期六第75页，共98页，2023年，2月20日，星期六第76页，共98页，2023年，2月20日，星期六回顾曲边梯形求面积的问题第五节、定积分应用abxyo第77页，共98页，2023年，2月20日，星期六1、几何上的应用第78页，共98页，2023年，2月20日，星期六面积第79页，共98页，2023年，2月20日，星期六abxyo面积元素第80页，共98页，2023年，2月20日，星期六一、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线与直线及x轴所围曲则边梯形面积为A,右图所示图形，面积元素为第81页，共98页，2023年，2月20日，星期六曲边梯形的面积曲边梯形的面积第82页，共98页，2023年，2月20日，星期六c有时也会选y为积分变量第83页，共98页，2023年，2月20日，星期六解（1）作图（2）求出两曲线的交点（3）选为积分变量（4）代公式第84页，共98页，2023年，2月20日，星期六解两曲线的交点选为积分变量第85页，共98页，2023年，2月20日，星期六解题步骤：(2)求出交点；(3)选择合适的积分变量，确定积分区间，计算。(1)画出草图；第86页，共98页，2023年，2月20日，星期六例3.求椭圆解:

利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b时得圆面积公式第87页，共98页，2023年，2月20日，星期六二、立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,1.已知平行截面面积函数的立体体积第88页，共98页，2023年，2月20日，星期六例1.

一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.第89页，共98页，2023年，2月20日，星期六思考:可否选择y作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?提示:第90页，共98页，2023年，2月20日，星期六

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台旋转体的体积第91页，共98页，2023年，2月20日，星期六当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有2.旋转体的体积第92页，共98页，2023年，2月20日，星期六xyo旋转体的体积为第93页，共98页，2023年，2月20日，星期六第94页，共98页，2023年，2月20日，星期六