时间序列分析与应用

时间序列分析与应用1第1页，共50页，2023年，2月20日，星期六

在时间序列模型的发展过程中，一个重要的特征是对统计均衡关系做某种形式的假设，其中一种非常特殊的假设就是平稳性的假设。而大多数经济时间序列都是非平稳的，因此，由20世纪80年代初Granger提出的协整概念，引发了非平稳时间序列建模从理论到实践的飞速发展。2第2页，共50页，2023年，2月20日，星期六非稳定序列转化为稳定序列数据变量的平稳性是传统的计量经济分析的基本要求之一。只有模型中的变量满足平稳性要求时，传统的计量经济分析方法才是有效的.而在模型中含有非平稳时间序列时，基于传统的计量经济分析方法的估计和检验统计量将失去通常的性质，从而推断得出的结论可能是错误的。因此，在建立模型之前有必要检验数据的平稳性。在很长时间里，学者们在分析经济变量时都假定所分析的数据已满足平稳性的要求。3第3页，共50页，2023年，2月20日，星期六然而，近年来，尤其是纳尔逊和普洛瑟(NelsonPlosser，1982)的开创性论文发表后，随着计量经济学的发展，学者们对经济时间序列数据，尤其是宏观经济时间序列数据的看法发生了根本的变化。许多经验分析表明，多数宏观经济变量都是非平稳的，由此引发了宏观经济分析方法尤其是周期分析方法的一场革命，即“单位根革命”。

4第4页，共50页，2023年，2月20日，星期六解决的问题1、如何判别虚假回归（伪回归）问题？2、怎样检验一组变量存在协整关系？3、一组变量若存在协整关系，怎样建立误差修正模型？

如何更好的通过已有数据反映变量之间的长、短期关系。5第5页，共50页，2023年，2月20日，星期六一、序列相关三、协整和误差修正模型

二、非平稳时间序列四、Eviews案例应用

6第6页，共50页，2023年，2月20日，星期六一、序列相关7第7页，共50页，2023年，2月20日，星期六§1.1

序列相关及其产生的后果

对于线性回归模型(1.1)随机扰动项之间不相关，即无序列相关的基本假设为(1.2)如果扰动项序列ut表现为：(1.3)即对于不同的样本点，随机扰动项之间不再是完全相互独立的，而是存在某种相关性，则认为出现了序列相关性(serialcorrelation)。8第8页，共50页，2023年，2月20日，星期六由于通常假设随机扰动项都服从均值为0，同方差的正态分布，则序列相关性也可以表示为：(1.4)特别的，如果仅存在

(1.5)称为一阶序列相关，这是一种最为常见的序列相关问题。9第9页，共50页，2023年，2月20日，星期六

如果回归方程的扰动项存在序列相关，那么应用最小二乘法得到的参数估计量的方差将被高估或者低估。因此，检验参数显著性水平的t统计量将不再可信。可以将序列相关可能引起的后果归纳为：②使用OLS公式计算出的标准差不正确，相应的显著性水平的检验不再可信；

③如果在方程右边有滞后因变量，OLS估计是有偏的且不一致。④回归得到的参数估计量的显著性水平的检验不再可信。

①在线性估计中OLS估计量不再是有效的；10第10页，共50页，2023年，2月20日，星期六

EViews提供了检测序列相关和估计方法的工具。但首先必须排除虚假序列相关。虚假序列相关是指模型的序列相关是由于省略了显著的解释变量而引起的。例如，在生产函数模型中，如果省略了资本这个重要的解释变量，资本对产出的影响就被归入随机误差项。由于资本在时间上的连续性，以及对产出影响的连续性，必然导致随机误差项的序列相关。所以在这种情况下，要把显著的变量引入到解释变量中。§1.2

序列相关的检验方法

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EViews提供了以下3种检测序列相关的方法。

1．D_W统计量检验

Durbin-Watson统计量（简称D_W统计量）用于检验一阶序列相关，还可估算回归模型邻近残差的线性联系。对于扰动项ut建立一阶自回归方程：

(1.6)D_W统计量检验的原假设：=0，备选假设是

0。

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如果序列不相关，D.W.值在2附近。如果存在正序列相关，D.W.值将小于2。如果存在负序列相关，D.W.值将在2～4之间。正序列相关最为普遍，根据经验，对于有大于50个观测值和较少解释变量的方程，D.W.值小于1.5的情况，说明残差序列存在强的正一阶序列相关。13第13页，共50页，2023年，2月20日，星期六

Dubin-Waston统计量检验序列相关有三个主要不足：1．D-W统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵X。2．回归方程右边如果存在滞后因变量，D-W检验不再有效。3．仅仅检验是否存在一阶序列相关。其他两种检验序列相关方法：Q-统计量和Breush-GodfreyLM检验克服了上述不足，应用于大多数场合。

14第14页，共50页，2023年，2月20日，星期六2.序列相关的LM检验

与D.W.统计量仅检验扰动项是否存在一阶自相关不同，Breush-GodfreyLM检验（Lagrangemultiplier，即拉格朗日乘数检验）也可应用于检验回归方程的残差序列是否存在高阶自相关，而且在方程中存在滞后因变量的情况下，LM检验仍然有效。

LM检验原假设为：直到p阶滞后不存在序列相关，p为预先定义好的整数；备选假设是：存在p阶自相关。检验统计量由如下辅助回归计算。15第15页，共50页，2023年，2月20日，星期六

（1）估计回归方程，并求出残差et(1.7)

（2）检验统计量可以基于如下回归得到(1.8)

这是对原始回归因子Xt和直到p阶的滞后残差的回归。LM检验通常给出两个统计量：F统计量和T×R2统计量。F统计量是对式（5.1.9）所有滞后残差联合显著性的一种检验。T×R2统计量是LM检验统计量，是观测值个数T乘以回归方程（5.1.9）的R2。一般情况下，T×R2统计量服从渐进的2(p)分布。16第16页，共50页，2023年，2月20日，星期六

在给定的显著性水平下，如果这两个统计量小于设定显著性水平下的临界值，说明序列在设定的显著性水平下不存在序列相关；反之，如果这两个统计量大于设定显著性水平下的临界值，则说明序列存在序列相关性。

在EView软件中的操作方法：

选择View/ResidualTests/SerialcorrelationLMTest，一般地对高阶的，含有ARMA误差项的情况执行Breush-GodfreyLM。在滞后定义对话框，输入要检验序列的最高阶数。17第17页，共50页，2023年，2月20日，星期六例1:含滞后因变量的回归方程扰动项序列相关的检验考虑美国消费CS

和GDP及前期消费之间的关系，数据期间：1947年第1季度～1995年第1季度，数据中已消除了季节要素，建立如下线性回归方程：

t

=

1,2,,T

应用最小二乘法得到的估计方程如下：

t=(1.93)(3.23)(41.24)R2=0.999

D.W.=1.605

18第18页，共50页，2023年，2月20日，星期六如果单纯从显著性水平、拟合优度及D.W.值来看，这个模型是一个很理想的模型。但是，由于方程的解释变量存在被解释变量的一阶滞后项，那么D.W.值就不能作为判断回归方程的残差是否存在序列相关的标准，如果残差序列存在序列相关，那么，显著性水平、拟合优度和F统计量将不再可信。所以，必须采取本节中介绍的其他检验序列相关的方法检验残差序列的自相关性。这里采用LM统计量进行检验(p=2)，得到结果如下：LM统计量显示，回归方程的残差序列存在明显的序列相关性。19第19页，共50页，2023年，2月20日，星期六

下面给出残差序列的自相关系数和偏自相关系数，相关图如下：

本例1～3阶的自相关系数都超出了虚线，说明存在3阶序列相关。各阶滞后的Q-统计量的P值都小于5%，说明在5%的显著性水平下，拒绝原假设，残差序列存在序列相关。20第20页，共50页，2023年，2月20日，星期六二、非平稳时间序列21第21页，共50页，2023年，2月20日，星期六

如果随机过程的均值和方差、自协方差都不取决于t，则称ut是协方差平稳的或弱平稳的：注意，如果一个随机过程是弱平稳的，则ut与ut-s之间的协方差仅取决于s，即仅与观测值之间的间隔长度s有关。一般所说的“平稳性”含义就是上述的弱平稳定义。

对所有的

t

对所有的

t

对所有的

t和

s

(2.1)(2.2)(2.3)§2.1平稳时间序列的概念22第22页，共50页，2023年，2月20日，星期六AR(p)、MA(q)和ARMA(p,q)三个模型只适用于刻画一个平稳序列的自相关性。一个平稳序列的数字特征，如均值、方差和协方差等是不随时间的变化而变化的，时间序列在各个时间点上的随机性服从一定的概率分布。也就是说，对于一个平稳的时间序列可以通过过去时间点上的信息，建立模型拟合过去信息，进而预测未来的信息。

§2.2非平稳时间序列建模

23第23页，共50页，2023年，2月20日，星期六

实际上，一般情况下，在我们讨论的实证研究问题中，都暗含了残差序列是一个平稳序列。这是因为，如果残差序列是一个非平稳序列，则说明因变量除了能被解释变量解释的部分以外，其余的部分变化仍然不规则，随着时间的变化有越来越大的偏离因变量均值的趋势，这样的模型是不能够用来预测未来信息的。24第24页，共50页，2023年，2月20日，星期六

对于一个非平稳时间序列而言，时间序列的数字特征是随着时间的变化而变化的。

非平稳时间序列在各个时间点上的随机规律是不同的，难以通过序列已知的信息去掌握时间序列整体上的随机性。因此，对于一个非平稳序列去建模，预测是困难的。但在实践中遇到的经济和金融数据大多是非平稳的时间序列。25第25页，共50页，2023年，2月20日，星期六图2.1中国1978年～2002年的GDP序列26第26页，共50页，2023年，2月20日，星期六

1.确定性时间趋势和单位根过程

描述类似图2.1形式的非平稳经济时间序列有两种方法，一种方法是包含一个确定性时间趋势

(2.4)

其中ut是平稳序列；a+t是线性趋势函数。这种过程也称为趋势平稳的，因为如果从式(2.4)中减去a+t，结果是一个平稳过程。注意到像图2.1一类的经济时间序列常呈指数趋势增长，但是指数趋势取对数就可以转换为线性趋势（弹性概念）。

§2.3非平稳序列和单整27第27页，共50页，2023年，2月20日，星期六

另一种常用的方法是设定为单位根过程，非平稳序列中有一类序列可以通过差分运算（从式2.5至式2.6的过程），得到具有平稳性的序列，考虑下式

(2.5)也可写成(2.6)

其中a是常数，ut是平稳序列，若ut

～i.i.d.N(0,

2)，且ut是一个白噪声序列。若令a=0，y0=0，则由式(2.5)生成的序列yt，有var(yt)=t

2（t

=

1,2,,T），显然违背了时间序列平稳性的假设。而式(2.6)的差分序列是含位移a的随机游走，说明yt的差分序列yt是平稳序列。28第28页，共50页，2023年，2月20日，星期六

2.单整

像前述yt这种非平稳序列，可以通过差分运算，得到平稳性的序列称为单整(integration)序列。定义如下：

定义：如果序列yt，通过d次差分成为一个平稳序列，而这个序列差分d–1次时却不平稳，那么称序列yt为d阶单整序列，记为yt～I(d)。特别地，如果序列yt本身是平稳的，则为零阶单整序列，记为yt～I(0)。29第29页，共50页，2023年，2月20日，星期六

单整阶数是使序列平稳而差分的阶数。对于上面的随机游走过程，有一个单位根，所以是I(1)，同样，平稳序列是I(0)。

一般而言，表示存量的数据，如以不变价格资产总值、储蓄余额等存量数据经常表现为2阶单整I(2)；以不变价格表示的消费额、收入等流量数据经常表现为1阶单整I(1)；而像利率、收益率等变化率的数据则经常表现为0阶单整I(0)。30第30页，共50页，2023年，2月20日，星期六

§2.4

非平稳序列的单位根检验

检查序列平稳性的标准方法是单位根检验。有6种单位根检验方法：ADF检验、DFGLS检验、PP检验、KPSS检验、ERS检验和NP检验，重点将介绍DF检验、ADF检验。

31第31页，共50页，2023年，2月20日，星期六

DF检验的局限性：只有当序列为AR(1)时才有效。如果序列存在高阶滞后相关，这就违背了扰动项是独立同分布的假设。在这种情况下，使用增广的DF检验方法（augmentedDickey-Fullertest），即用ADF来检验含有高阶序列相关的序列的单位根。

32第32页，共50页，2023年，2月20日，星期六

ADF检验

ADF检验方法通过在回归方程右边加入因变量yt的滞后差分项来控制高阶序列相关

(2.7)(2.8)(2.9)33第33页，共50页，2023年，2月20日，星期六例2检验中国GDP序列的平稳性

在图2.1中，我们可以观察到GDP具有明显的上升趋势。在ADF检验时选择含有常数项和时间趋势项。GDP序列的ADF检验如下：检验结果显示，GDP序列以较大的P值，即87.83%的概率接受原假设，即存在单位根的结论。34第34页，共50页，2023年，2月20日，星期六将GDP序列做1阶差分，然后对ΔGDP进行ADF检验，结果如下：检验结果显示，ΔGDP序列在5%的显著性水平下拒绝原假设，接受不存在单位根的结论，即GDP～I(1)。

35第35页，共50页，2023年，2月20日，星期六三、协整和误差修正模型

36第36页，共50页，2023年，2月20日，星期六一般而言，经济变量非平稳，多为I(1)或I(2)。变量非平稳，但某些经济变量的线性组合却有可能是平稳的。比如净收入与消费、政府支出与税收、男、女人口比例等都存在这种均衡关系。虽然经济变量在变化中经常会离开均衡点，但内在的均衡机制将不断地消除偏差维持均衡关系。非平稳经济变量间存在的这种长期稳定的均衡关系称作协整(co-integration)。协整是对非平稳经济变量长期均衡关系的统计描述。37第37页，共50页，2023年，2月20日，星期六

§3.1

协整的定义

k维向量Yt=（y1t，y2t，…，ykt）的分量间被称为d,b阶协整，记为Yt～CI(d，b)，如果满足：

(1)Yt～I(d)，要求Yt的每个分量yit

～I(d)；(2)存在非零向量，使得

Yt～I(d-b)，0<b≤d。简称Yt是协整的，向量

又称为协整向量。

38第38页，共50页，2023年，2月20日，星期六协整检验从检验的对象上可以分为两种：一种是基于回归系数的协整检验，如Johansen协整检验；另一种是基于回归残差的协整检验，如CRDW检验、DF检验和ADF检验。

本节将主要介绍Engle和Granger（1987）提出的协整检验方法。这种协整检验方法是对回归方程的残差进行单位根检验。从协整理论的思想来看，自变量和因变量之间存在协整关系。

§3.2

协整检验39第39页，共50页，2023年，2月20日，星期六

也就是说，因变量能被自变量的线性组合所解释，两者之间存在稳定的均衡关系，因变量不能被自变量所解释的部分构成一个残差序列，这个残差序列应该是平稳的。40第40页，共50页，2023年，2月20日，星期六通常地，可以应用上节中的ADF检验来判断残差序列的平稳性，进而判断因变量和解释变量之间的协整关系是否存在。？变量是否协整？残差序列是否平稳41第41页，共50页，2023年，2月20日，星期六

检验的主要步骤如下：（1）若k个序列y1t和y2t，y3t，…，ykt都是1阶单整序列，建立回归方程模型估计的残差为

42第42页，共50页，2023年，2月20日，星期六

（2）检验残差序列ût是否平稳，也就是判断序列ût是否含有单位根。通常用ADF检验来判断残差序列ût是否是平稳的。

（3）如果残差序列ût是平稳的，则可以确定回归方程中的k个变量（y1t，y2t，y3t，…，ykt）之间存在协整关系，并且协整向量为；否则（y1t，y2t，y3t，…，ykt）之间不存在协整关系。43第43页，共50页，2023年，2月20日，星期六

协整检验的目的：判别一组非稳定序列的线性组合是否具有协整关系，即：通过协整检验来判断线性回归方程设定是否合理、稳定。

利用ADF的协整检验方法来判断残差序列是否平稳，如果残差序列是平稳的，则回归方程的设定是合理的，说明回归方程的因变量和解释变量之间存在稳定的均衡关系。反之，说明回归方程的因变量和解释变量之间不存在稳定均衡的关系，即便参数估计的结果很理想，这样的一个回归也是没有意义的，模型本身的设定出现了问题，这样的回归是一个伪回归。44第44页，共50页，2023年，2月20日，星期六

§3.3误差修正模型

误差修正这个术语最早是由Sargen(1964)提出的，但是误差修正模型基本形式的形成是在1978年由Davidson、Hendry等提出的。传统的经济模型通常表述的是变量之间的一种“长期均衡”关系，而实际经济数据却是由“非均衡过程”生成的。因此，建模时需要用数据的动态非均衡过程来逼近经济理论的长期均衡过程。最一般的模型是自回归分布滞后模型(autoregressivedistributedlag，ADL)。45第45页，共50页，2023年，2月20日，星期六

如果一个内生变量yt

只被表示成同一时点的外生变量

xt的函数，xt对yt

的长期影响很容易求出。然而如果每个变量的滞后也出现在模型之中，其长期影响将通过分布滞后的函数反映，这就是ADL模型。先考虑一阶自回归分布滞后模型，记为ADL(1,1)