空间向量立体几何

空间向量立体几何第1页/共90页

推论:如果为经过已知点A且平行已知非零向量的直线,那么对任一点O,点P在直线上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+t其中向量叫做直线的方向向量.OABPa

若P为A,B中点,则第2页/共90页2.共面向量定理:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在实数对使第3页/共90页

推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使

或对空间任一点O,有

注意：空间四点P、M、A、B共面实数对第4页/共90页例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥。nmggmnll证明：在内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使

g=xm+yn,

l·g=xl·m+yl·n∵l·m=0,l·n=0∴l·g=0∴l⊥g∴l⊥g

这就证明了直线l垂直于平面内的任一条直线，所以l⊥

第5页/共90页巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理aAOP第6页/共90页复习:2.向量的夹角:OAB向量的夹角记作:1.空间向量的数量积:第7页/共90页5.向量的模长:4.有关性质:(1)两非零向量(2)注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。第8页/共90页OABP3.A、B、P三点共线的充要条件A、B、P三点共线第9页/共90页反过来，对空间任意两个不共线的向量，，如果，那么向量与向量,有什么位置关系？C第10页/共90页例5(课本例)已知ABCD，从平面AC外一点O引向量求证：①四点E、F、G、H共面；②平面AC//平面EG.证明：∵四边形ABCD为①∴（﹡）（﹡）代入所以E、F、G、H共面。第11页/共90页证明：由面面平行判定定理的推论得：②由①知第12页/共90页共线向量共面向量定义向量所在直线互相平行或重合平行于同一平面的向量,叫做共面向量.定理推论运用判断三点共线，或两直线平行判断四点共面，或直线平行于平面小结共面第13页/共90页3）射影BAA1B1注意：在轴l上的正射影A1B1是一个可正可负的实数，它的符号代表向量与l的方向的相对关系，大小代表在l上射影的长度。第14页/共90页例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC，

OB⊥AC，求证：OC⊥ABABCO

第15页/共90页3.已知空间四边形，求证：。证明：∵第16页/共90页4.空间向量基本定理若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量

若空间向量的一个基底中的三个基向量互相垂直，则称这个基底为正交基底，若三个基向量是互相垂直的单位向量，则称这个基底为单位正交基底第17页/共90页x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)a//b第18页/共90页(五)、空间位置关系的向量法：第19页/共90页异面直线所成角的范围：

思考：结论：题型一：线线角线线角复习线面角二面角小结引入第20页/共90页题型二：线面角直线与平面所成角的范围：

思考：结论：题型二：线面角线线角复习线面角二面角小结引入第21页/共90页题型三：二面角二面角的范围：关键：观察二面角的范围线线角复习线面角二面角小结引入第22页/共90页2、E为平面α外一点,F为α内任意一点,为平面α的法向量,则点E到平面的距离为:3、a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b上的点,是a,b公垂线的方向向量,则a,b间距离为第23页/共90页第24页/共90页几何法坐标法第25页/共90页第26页/共90页第27页/共90页一.引入两个重要的空间向量

1.直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是zxyAB第28页/共90页求平面的法向量的坐标的一般步骤:第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据n·a=0且n·b=0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标.第29页/共90页例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy第30页/共90页解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz,设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).取z=1解得:得:由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）第31页/共90页例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求证:CC1⊥BDA1B1C1D1CBAD第32页/共90页证明：设a,b,c,依题意有|a|=|b|，于是a–b∵=c(a–b)=c·a–c·b=|c|·|a|cosθ–|c|·|b|cosθ=0∴CC1⊥BD

第33页/共90页例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点,求证:(1)A1E⊥平面DBC1;(2)AB1∥平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy第34页/共90页解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则A(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,,2),C1(1,0,2).设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(1)=-n,从而A1E⊥平面DBC1(2),而

n=-2+0+2=0∴AB1

∥平面DBC1第35页/共90页例4正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证:平面AED⊥平面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D1第36页/共90页证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A-xyz,∴平面AED⊥平面A1FD∵n1·n2=-2+0+2=0同理可得平面A1FD的法向量为n2=(2,0,1)取z=2得n1=(-1,0,2)解得：设平面AED的法向量为n1=(x,y,z)得于是，设：正方体的棱长为2,那么E(2,0,1),A1(0,0,2),F(1,2,0),D(0,2,0),第37页/共90页例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_____.BC

AMxzyB1C1D1A1CD第38页/共90页解:以A为原点建立如图所示的直角坐标系A-xyz,设正方体的棱长为2,那么M(1,0,0),C(2,2,0),B1(2,0,2),D(0,2,0),∴cosθ=|cosα|设DB1与CM所成角为θ,与所成角为α,于是：第39页/共90页(2)直线与与平面所成的角若n是平面α的法向量,a是直线L的方向向量,设L与α所成的角θ,n与a所成的角α

则θ=α-或θ=-α

于是,因此θθnααnaa第40页/共90页例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为，求AC1与侧面ABB1A1所成的角。zxyC1A1B1ACBO第41页/共90页解:建立如图示的直角坐标系,则A(,0,0),B(0,,0)A1(,0,).C(-,0,)设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)得由，解得，取y=,得n=(3,,0)，设与n夹角为α而∴故：AC1与侧面ABB1A1所成的角大小为30°.第42页/共90页（3）二面角设n1

、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量，由几何知识可知，二面角α-L-β的大小与法向量n1、n2夹角相等（选取法向量竖坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.n1n2αβn1n2第43页/共90页例7在四棱锥S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，侧棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.zxyABCDS第44页/共90页解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由

得

n1=(1,1,2).而面SAD的法向量n2

=(1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小θ满足

∴二面角A-SD-C的大小为.第45页/共90页例8在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.zxyABCDD1C1B1A1第46页/共90页解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),设异面直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z),则由,得

n=(-1,-1,2).∵,∴异面直线AC1与BD间的距离第47页/共90页例9在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,AC=BC=1,∠ACB=90°,求B1到面A1BC的距离.zxyCC1A1B1AB第48页/共90页解:以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz,则C(0,0,0),A1(1,0,),B(0,1,0),B1(0,1,).设面A1BC的法向量n=(x,y,z),由得

n=(-,0,1).

∵,∴或∵,∴或∵,∴可见,选择平面内外两点的向量时,与平面内的点选择无关.第49页/共90页会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求.例10四棱锥P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,侧棱PA⊥底面AC且PA=4,E是PA的中点,求PC与平面PED间的距离.xzyPBEADCF第50页/共90页解:以A为原点、AB为x轴、△ACD中CD边上的高AF为y轴、AP为z轴建立空间直角坐标系,则F为CD的中点,于是A(0,0,0),B(4,0,0),F(0,2,0),C(2,2,0),D(-2,2,0),P(0,0,4),E(0,0,2).设面BED的法向量n=(x,y,z),由得

n=(1,,2).∵∴n·2+6-8=0，故PC∥面BED,∴PC到面BED的距离就是P到面B