2019-2020学年江苏无锡新吴区新城中学、梅里中学九年级上期中数学试卷

2019-2020学年江苏省无锡市新吴区新城中学、梅里中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的选项编号填写在答卷纸相应的位置处）（2分）（2006秋•市中区期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）%—2%—2=0%2一4%-1=0 C.%2一2%—3D.%y+1=0TOC\o"1-5"\h\z（2分）（2019秋•新吴区期中）两个相似三角形的周长比为1:4，则它们的对应边上的高比为（ ）A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:16（2分）（2019秋•新吴区期中）已知一元二次方程%2+2%-1=0的两实数根为5、%2,则%1%2的值为（ ）A.2 B.-2 C.1 D.-1*（2分）（2019秋•新吴区期中）已知O的半径是5,直线l是O的切线，则圆心O到直线/的距离是（ ） 小 小（J OA.5 B.2.5 C.3 D.10（2分）（2015•连云港）已知关于%的方程%2-2%+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）,一1 一一1 八一1 1.八A.k< B.k>- C.k<且k丰0D.k>——且k丰03 3 3 3（2分）（2019秋•新吴区期中）下列命题中正确的有（ ）A.长度相等的弧是等弧B.相等的圆心角所对的弦相等C.等边三角形的外心与内心重合D.任意三点可以确定一个圆（2分）（2019•阿城区二模）如图，在O中，弦AB的长为10,圆周角ZACB=45。，则这个圆的直径AD为（ ）八第1页（共31页）A.5<2 B.10<2 C.15<2 D.20<2（2分）（2019秋•德州期末）如图，在AABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①ZAED=ZB；②DE//BC;③AD=AE;④ADBC=DEAC;⑤ACABTOC\o"1-5"\h\zZADE=ZC，能满足NADE^NACB的条件有（ ）/AB CA.1个 B.2 C.3个 D.4个（2分）（2010•陕西）如图，点A、B是在O上的定点、P是在O上的动点，要使AABP为等腰三角形，则所有符合条件的点P有（ ） QA.1个 B.2个 C.3个 D.4个（2分）（2019•宁波）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD=6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（）A.3.5cm B.4cm C.4.5cm D.5cm二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，只需把答案填写第2页（共31页）在答卷纸的相应位置处）（2分）（2020•福田区校级模拟）若a=1,则"b的值为—.b3a（2分）（2020•海安市模拟）在比例尺为1:500000的地图上，量得A、B两地的距离为3cm，则A、B两地的实际距离为—km.（2分）（2019秋•新吴区期中）若矩形的长和宽是一元二次方程%2-4x-3=0的两根，则矩形的周长为—.（2分）（2018•梁溪区二模）若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为cm2.（结果保留兀）（2分）（2019秋•新吴区期中）相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感.现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于10厘米，那么相邻一条边的边长等于 厘米.（保留根号）（2分）（2019•台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE.若ZABC=64。，则/BAE的度数为.（2分）（2019•福建）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与O的交点，则图中阴影部分的面积是—.（结果保留兀） …（2分）（2019秋•新吴区期中）如图，已知直线y=|%-3与％轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0,1）为圆心、半径为1的圆上的一动点，连结PA、PB.则APAB面积的最大值是_.第3页（共31页）三、解答题(本大题共10小题，共64分.请在答卷纸上指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(8分)(2019秋•新吴区期中)解方程：(%-2)2=16%2—2%—6=0(配方法)3%2-2%-1=02%(%-2)=(%-2)(5分)(2019秋•新吴区期中)关于%的一元二次方程%2-(m-3)%-2=0,(1)证明：方程总有两个不相等的实数根；(2)设这个方程有一个实数根为2,求m的值及方程的另一个根.(5分)(2018秋•江阴市期末)如图，AC是O的直径，弦BD1AO于E，连接BC,过点O作OF1BC于F，若BD=8cm,AE=2c&，(1)求O的半径；(2)求O到弦BC的距离.(5分)(2019秋•新吴区期中)如图，CD是直角AABC斜边上的中线，过点D作垂直于AB的直线交BC于点F，交AC的延长线于点E.(1)求证：AADEsAfdb；(2)若DF=2,EF=6，求CD的长.第4页(共31页)

(6分)(2019秋•新吴区期中)如图，在平面直角坐标系中，A(0,4)、B(4,4)、C(6,2).(1)在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置;(2)点M的坐标为；(3)判断点D(5,-2)与M的位置关系.(5分)(2019秋•新吴区期中)如图，在O的内接四边形ABCD中，ZBCD=120°,AC平分ZBCD. c(J(1)求证：AABD是等边三角形；(2)若BD=6cm，求O的半径.D(6分)(2019秋•诸暨市期末)商场销售某种冰箱，该种冰箱每台进价为2500元，已知原销售价为每台2900元时，平均每天能售出8台.若在原销售价的基础上每台降价50元，则平均每天可多售出4台.设每台冰箱的实际售价比原销售价降低了x元.(1)填表(不需化简)：每天的销售量/台每台销售利润/元降价前8400第5页(共31页)

降价后（2）商场为使这种冰箱平均每天的销售利润达到5000元，则每台冰箱的实际售价应定为多少元？（8分）（2012•广元）如图，AB是O的直径，C是AB延长线上一点，CD与O相切于点E,AD1CD于点D.（1）求证：AE平分ZDAC;（2）若AB=3,ZABE=60。.①求AD的长；②求出图中阴影部分的面积.求求P的直径长;（8分）（2018•南京）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE.过点A作AF1DE，垂足为F,O经过点C、D、F，与AD相交于点G.（1）求证：AAFG^ADFC;（2）若正方形ABCD的边长为4,AE=1,求O的半径.3' t（8分）（2019•湖州）已知在平面直角坐标系％Oy中，直线l分别交％轴和y轴于点A(-3,0),B(0,3).（1）如图1,已知P经过点O，且与直线l相切于点B（2）如图2,已知直线12：y=3%-3分别交％轴和y轴于点C和点D，点Q是直线12上的一个动点，以Q为圆心，2<2为半径画圆.第6页（共31页）

①当点Q与点C重合时，求证：直线q与Q相切；②设Q与直线q相交于M,N两点，连结QM,QN.问：是否存在这样的点Q，使得QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.第7页（共31页）2019-2020学年江苏省无锡市新吴区新城中学、梅里中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分,在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的选项编号填写在答卷纸相应的位置处）（2分）（2006秋•市中区期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）A.%—2=0 B.%2—4%-1=0 C.%2—2%—3 D.%y+1=0【考点】A1:一元二次方程的定义【分析】本题根据一元二次方程的定义解答.一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案.【解答】解：A、本方程未知数%的最高次数是1；故本选项错误；B、本方程符合一元二次方程的定义；故本选项正确；C、%2-2%-3是代数式，不是等式；故本选项错误；D、本方程中含有两个未知数%和j；故本选项错误；故选：B.【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.（2分）（2019秋•新吴区期中）两个相似三角形的周长比为1:4，则它们的对应边上的高比为（ ）A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:16【考点】S7：相似三角形的性质【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论.【解答】解：•.•两个相似三角形的周长比为1:4,它们的对应边上的高比为1:4.第8页（共31页）故选：B.【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应高的比等于相似比是解答此题的关键.（2分）（2019秋•新吴区期中）已知一元二次方程12+2%-1=0的两实数根为\、％J则11%2的值为（ ）A.2 B.-2 C.1 D.-1.【考点】AB:根与系数的关系【分析】直接应用根与系数的关系，得结论.【解答】解：7一元二次方程12+2%-1=0的两实数根为\、12,TOC\o"1-5"\h\z一一.. -1所以％%= =-1.2 1故选：D.*【点评】本题考查了根与系数的关系.若一元二次方程a%2+b%+c=0有两个根\、％j则b c%+%=——，%%=—.1 2a12a（2分）（2019秋•新吴区期中）已知O的半径是5,直线l是O的切线，则圆心O到直线/的距离是（ ）（J OA.5 B.2.5 C.3 D.10【考点】MC：切线的性质；MB:直线与圆的位置关系【分析】利用切线的性质求解.【解答】解：•.直线l是O的切线，・•・圆心O到直线l的距离等于圆的半径，即圆心O到直线l的距离为5故选：A.【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.TOC\o"1-5"\h\z（2分）（2015•连云港）已知关于%的方程%2-2%+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）, 1 一1 - 1 1A.k< B.k>- C.k<且k丰0 D.k>——且k丰03 3 3 3【考点】AA:根的判别式第9页（共31页）【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0,即可求出k的范围.【解答】解：••・方程12—2x+3k=0有两个不相等的实数根，△=4-12k>0，解得：k」.3故选：A.【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键.（2分）（2019秋•新吴区期中）下列命题中正确的有（ ）A.长度相等的弧是等弧B.相等的圆心角所对的弦相等C.等边三角形的外心与内心重合D.任意三点可以确定一个圆【考点】01：命题与定理【分析】根据圆，弧，弦等概念眼睛等边三角形的性质判断即可.【解答】解：A、等弧必须同圆中长度相等的弧，是假命题，不符合题意.B、在等圆中相等的圆心角所对的弦相等，是假命题，不符合题意；C、等边三角形的外心与内心重合，是真命题，符合题意；D、不在同一直线上任意三点确定一个圆，是假命题，不符合题意；故选：C.【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式.有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.（2分）（2019•阿城区二模）如图，在0中，弦AB的长为10,圆周角（ACB=45。，则这个圆的直径AD为（ ）八CA.5v2 B.10v2 C.15<2 D.20<2【考点】KQ:勾股定理；M5:圆周角定理第10页（共31页）【分析】连接BD,由ZACB=45。，即可推出ZADB=45。，再由直径AD，推出ZABD=90。后，根据直角三角形的性质即可推出AD的长度.【解答】解：连接BD,ZACB=45。，:.ZADB=45。，••;直径AD，:.ZABD=90。，AB=10，.AD=10v2.••故选B.【点评】本题主要考查直角三角形的性质，圆周角定理等知识点，关键在于正确的做出辅助线，根据图形推出ZADB=45。，ZABD=90。.（2分）（2019秋•德州期末）如图，在AABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①ZAED=ZB；②DE//BC;③AD=AE;④ADBC=DEAC;⑤ACABZADE=ZC，能满足AADE^AACB的条件有（ ）A.1个 B.2 C.3个 D.4个【考点】S8:相似三角形的判定【分析】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可.【解答】解：①ZB=ZAED,ZA^ZA，则可判断AADE^AACB，故①符合题意;②DE//BC，则AADE^AABC，故②不符合题意，第11页（共31页）③AD=AE，且夹角”="，能确定AADE^AACB，故③符合题意；ACAB④由ADBC=DEAC可得—=DE,此时不确定NADE=ZACB,故不能确定ACBCAADE^AACB；••故④不符合题意，⑤ZADE=ZC,ZA=ZA，则可判断AADE^AACB，故⑤符合题意；故选：C.【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键.（2分）（2010•陕西）如图，点A、B是在O上的定点、P是在O上的动点，要使AABP为等腰三角形，则所有符合条件的点P有（ ） QA.1个 B.2个 C.3个 D.4个【考点】M2:垂径定理【分析】根据垂径定理，分两种情况：①以AB为底边，可求出有点「、P2；②以AB为腰，可求出有点p、1.故共4个点.【解答】解：如图：①以AB为底边，过点O作弦AB的垂线分别交O于点p、P2,AP]=BP1,%=BP?, 。故点P1、P2即为所求.②以AB为腰，分别以点A、点B为圆心，以AB长为半径画弧，交O于点P3、P4,故点4、P4即为所求. 。共4个点.故选：D.第12页（共31页）【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分线并且平分弦所在的弧.10.（2分）（2019•宁波）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD=6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（）nA.3.5cm B.4cm C.4.5cm D.5cm【考点】LB:矩形的性质；MP:圆锥的计算【分析】设AB=xcm，则DE=（6-x）cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可.【解答】解：设AB=xcm，则DE=（6-x）cm,根据题意，得%=兀（6-x）,180解得x=4.故选：B.【点评】本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，只需把答案填写在答卷纸的相应位置处）（2分）（2020•福田区校级模拟）若a=1，则"b的值为4.b3a第13页（共31页）【考点】S1：比例的性质【分析】根据a=1，得出b=3a，再代入"b进行计算即可得出答案.b3 a【解答】解：・.a=1，b3故答案为：4.【点评】此题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键，是一道基础题.（2分）（2020•海安市模拟）在比例尺为1:500000的地图上，量得A、B两地的距离为3cm，则A、B两地的实际距离为15km.【考点】S2：比例线段【分析】由在比例尺为1:50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB=3cm，根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离.【解答】解：■.比例尺为1:500000，量得两地的距离是3厘米，・•・A、B两地的实际距离3x500000=1500000cm=15km,故答案为15.【点评】此题考查了比例尺的性质.注意掌握比例尺的定义，注意单位要统一.（2分）（2019秋•新吴区期中）若矩形的长和宽是一元二次方程%2-4%-3=0的两根，则矩形的周长为8.【考点】AB:根与系数的关系【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得出矩形的长与宽的和，从而得出答案.【解答】解：——个矩形的长和宽是一元二次方程％2-4%-3=0的两个根，，矩形的长与宽的和为4,则矩形的周长为8,故答案为：8．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握 %1,%2是一元二次方程b ca%2+b%+c=0（a丰0）的两根时，%+%=—-,%%=-.1 2a12b（2分）（2018•梁溪区二模）若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面第14页（共31页）积为—12冗_cm2.（结果保留冗）【考点】MP:圆锥的计算【分析】圆锥的侧面积=底面周长x母线长+2.【解答】解：底面圆的半径为3,则底面周长=6冗，侧面面积=1x6兀x4=12兀cm2.2故答案为：12冗.【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解.（2分）（2019秋•新吴区期中）相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感.现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于10厘米，那么相邻一条边的边长等于—5V5-5—厘米.（保留根号）【考点】LB:矩形的性质；S3:黄金分割【分析】根据黄金比值为吏二1，计算即可.2【解答】解：设相邻一条边的边长为x厘米，由题意得，—=立二1,10 2解得，—=5<5-5,故答案为：5a—5.【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割.（2分）（2019•台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE.若ZABC=64。，则/BAE的度数为—52。_.【考点】M6:圆内接四边形的性质；M5:圆周角定理；P2:轴对称的性质【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合三角形外角的性质得出答案.【解答】解：•・・圆内接四边形ABCD,...ZD=180。一ZABC=116°,第15页（共31页）

•.点D关于AC的对称点E在边BC上，.../BAE=116°-64°=52°.故答案为：52°.【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质以及三角形的外角，正确得出ZAEC的度数是解题关键.（2分）（2019•福建）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与O的交点，则图中阴影部分的面积是_^-1_.（结果保留冗） …中 B/【考点】MO：扇形面积的计算；LE:正方形的性质【分析】延长DC,CB交O于M,N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论.【解答】解：延长DC,CB交O于M,N,则图中阴影部分的面积=1xGc-S ）=1x（4兀-4”兀-1,4初 正方形ABCD 4故答案为：4初 正方形ABCD 4【点评】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键.（2分）（2019秋•新吴区期中）如图，已知直线y=3%-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0,1）为圆心、半径为1的圆上的一动点，连结PA、PB.则APAB面积的最大值是—21_.第16页（共31页）

【考点】F【考点】F5：一次函数的性质；KQ：勾股定理；F8：一次函数图象上点的坐标特征；M8：点与圆的位置关系；M2:垂径定理【分析】求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB，求出点C到AB的距离，即可求出圆C上点到AB的最大距离，根据面积公式求出即可.【解答】解：•.•直线y=4%-3与x轴、j轴分别交于A、B两点，・•.A点的坐标为(4,0),B点的坐标为(0,-3),3%-4y-12=0,即OA=4,OB=3，由勾股定理得：AB=5,过C作CM1AB于M，连接AC,贝4由三角形面积公式得：1xABxCM=1xOAxOC+1xOAxOB,2 2 2...5xCM=4x1+3x4,・•・圆・•・圆C上点到直线y=-%4-3的最大距离是1+—=—,5 5•APAB面积的最大值是1x5x0=21,2 5 2故答案为：21【点评】本题考查了三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最大距离，属于中档题目.三、解答题(本大题共10小题，共64分.请在答卷纸上指定区域内作答，解答时应写出文第17页(共31页)字说明、证明过程或演算步骤)(8分)(2019秋•新吴区期中)解方程：(%-2)2=16%2—2%-6=0(配方法)3%2-2%-1=02%(%-2)=(%-2)【考点】A8:解一元二次方程-因式分解法；A6:解一元二次方程-配方法；A5:解一元二次方程-直接开平方法【分析(1)利用直接开平方法解方程得出答案；利用配方法解方程得出答案；利用因式分解法解方程得出答案；利用因式分解法解方程得出答案.【解答】解：(1)(%-2)2=16-2=±4％.=6 %=-2；%2-2%+1=7(%-1)2=±x7解得：%=而+1 %=-而+1；(%-1)(3%+1)=0解得：%=1 %=--；2 3(2%-1)(%-2)=0解得：%=2 %=-.22【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确掌握相关解方程方法是解题关键.20.(5分)(2019秋•新吴区期中)关于%的一元二次方程%2-(m-3)%-2=0,第18页(共31页)(1)证明：方程总有两个不相等的实数根；(2)设这个方程有一个实数根为2,求m的值及方程的另一个根.【考点】AA:根的判别式；AB:根与系数的关系【分析(1)计算其判别式即可证得结论；(2)把x=2代入即可求得m的值，再解方程即可求得方程的另一根.【解答(1)证明：・・•△二(m—3)2+8,△〉0,方程总有两个不相等的实数根；(2)解：由题意得，4—2(m—3)—2=0,「.m-4,将m-4代入，得另一个根是-1.【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，将x-2代入原方程求出m的值是解题的关键.(5分)(2018秋•江阴市期末)如图，AC是0的直径，弦BD1A0于E，连接BC,过点0作0F1BC于F，若BD-8cm,AE-2咫,(1)求0的半径；(2)求0到弦BC的距离.C【考点】M2:垂径定理；M5:圆周角定理［分析(1)连结0B，设半径为r，则0E-r-2，构建方程即可解决问题.(2)根据S-1BC0F-10CBE，求解即可.△BC02 2【解答】解：(1)连结0B，设半径为r，则0E-r-2,第19页(共31页)cAC是O的直径，弦BD1AO于E,BD=8cm,:.BE=嘿=4，在RtAOBE中，OE2+BE2=OB2,/.（r一2）2+42=r2••...r=5.(2)r=5,「.AC=10,EC=8,BE=DE=4cm,••...BC=BEE2+EC2=4<5(cm)OF1BC,「.S =1BCOF=1OCBE,,,ABCO2 24v5of=5X4,••OF=<5.■【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.(5分)(2019秋•新吴区期中)如图，CD是直角AABC斜边上的中线，过点D作垂直于AB的直线交BC于点F，交AC的延长线于点E.(1)求证：AADEsAFDB；(2)若DF=2,EF=6，求CD的长.第20页(共31页)【分析（【分析（1）根据题意，得ZA+ZB=90。,ZA+ZE=90。，则/E=ZB，易证AADE^AFDB；（2）由RtAABC中，CD是斜边上的中线，得AD=CD=BD=1AB，由（1）中的结论，2得出ADDEFDDB，进一步整理代入求得答案即可.得出ADDEFDDB，进一步整理代入求得答案即可.【解答】（1）证明：DE±AB，...ZADE=ZFDB=90。，...ZA+ZE=90。，RtAABC中ZA+ZB=90。，・•・AADEsAFDB…（4分）（2）解：CD是直角AABC斜边上的中线，,AD=CD=BD=1AB，... 2AADEsAFDB，ADDE••FDDBDF=2，EF=6，...DE=8...CD=4.【点评】本题主要考查了直角三角形和相似三角形的判定与性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解答本题的关键.（6分）（2019秋•新吴区期中）如图，在平面直角坐标系中，A（0,4）、B（4,4）、第21页（共31页）C(6,2).(1)在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置;(2)点M的坐标为—(2,0)_；(3)判断点D(5,-2)与M的位置关系.【考点】D5:坐标与图形性质；M2:垂径定理；M8:点与圆的位置关系【分析(1)由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点M；(2)根据图形即可得出点M的坐标(3)用两点间距离公式求出圆的半径和线段DM的长，当DM小于圆的半径时点D在圆内.【解答】解：(1)如图1,点M就是要找的圆心；(2)圆心M的坐标为(2,0).故答案为(2,0)；(3)圆的半径AM=、2+42=2<5.线段MD:1(5-2)2+22=<13<2<5,所以点D在M内.【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，坐标与图形性质以及垂径定理，利用第22页(共31页)网格结构得到圆心M的坐标是解题的关键.（5分）（2019秋•新吴区期中）如图，在O的内接四边形ABCD中，ZBCD=120°,AC平分ZBCD. 。（1）求证：AABD是等边三角形；（2）若BD=6cm，求O的半径.【考点】KM:等边三角形的判定与性质；M5:圆周角定理；M6:圆内接四边形的性质［分析（1）直接利用角平分线的性质结合圆周角定理得出ZABD=ZADB=60°，即可得出答案；（2）作直径DE，连结BE，进而得出BE即可得出答案.［解答（1）证明：AC平分ZBCD,ZBCD=120°,:.ZACD=ZACB=60°,ZACD=ZABD,ZACB=ZADB,:.ZABD=ZADB=60°,•••:AABD是等边三角形；（2）解：作直径DE,连结BE,AABD是等边三角形，:.ZBAD=60°,...ZBED=ZBAD=60°,DE是直径,...ZEBD=90°,...ZEDB=30°,.(2%)2一％2=62第23页（共31页）

.・・即O的半径为2-3.D【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理、等边三角形的判定与性质等知识，正确应用圆周角定理是解题关键.（6分）（2019秋•诸暨市期末）商场销售某种冰箱，该种冰箱每台进价为2500元，已知原销售价为每台2900元时，平均每天能售出8台.若在原销售价的基础上每台降价50元，则平均每天可多售出4台.设每台冰箱的实际售价比原销售价降低了％元.（1）填表（不需化简）：每天的销售量/台每台销售利润/元降价前8400降价后C/ %_8+4X_—50—（2）商场为使这种冰箱平均每天的销售利润达到5000元，则每台冰箱的实际售价应定为多少元？【考点】AD:一元二次方程的应用【分析（1）设每台冰箱的实际售价比原销售价降低了％元，根据在原销售价的基础上每台降价50元，则平均每天可多售出4台得出结果，填表即可；（2）根据利润=售价—进价列出方程，求出方程的解即可得到结果.【解答】解：（1）填表如下：每天的销售量/台每台销售利润/元降价前8400降价后8+4x—50400—%第24页（共31页）（2）根据题意，可得：（400—%）（8+4x50）=5000,化简，整理得：%2-300%+22500=0,即（％-150）2=0,解得：％=150,实际售价定为：2900-150=2750（元）,答：每台冰箱的实际售价应定为2750元.【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键.（8分）（2012•广元）如图，AB是O的直径，C是AB延长线上一点，CD与O相切于点E,AD1CD于点D.（1）求证：AE平分ZDAC；（2）若AB=3,ZABE=60。.①求AD的长；②求出图中阴影部分的面积.D【考点】MC：切线的性质；MO：扇形面积的计算［分析（1）连接OE，由切线的性质可知，OE1CD，再根据AD1CD可知AD//OE,故ZDAE=ZAEO，再由OA=OE可知ZEAO=ZAEO，故ZDAE=ZEAO，故可得出结论；（2）①先根据ZABE=60。求出ZEAO的度数，进而得出ZDAE的度数，再根据锐角三角函数的定义求出AE及BE的长，在RtAADE中利用锐角三角函数的定义即可得出AD的长；②由三角形内角和定理求出ZAOE的度数，再根据OA=OB可知S =S=1S求出AAOEABOE2AABEAAOE的面积，由S阴影=S扇形AOE-S根在即可得出结论.【解答】解：（1）连接OE.第25页（共31页）C。是。的切线,0£，钞，•・*ADLCD,ADHOE，♦♦*:.ZDAE=ZAEO,OA=OE,:.ZEAO=ZAEO,*♦*ZDAE=ZEAO,/.AE平分ZDAC；(2)①AB是0的直径,:.ZAEB=90°,6..。ZABE=60°,/EAO=30。,♦・*:.ZDAE=ZEAO=3Q°,AB=3,赤3百1 3/.AE=ABcos30°=3x—=—,BE=-AB=~,,/ 2 2 2 2在RtAADE中，*373ZDAE=30°,AE=——，23石69AD=AEcos30°=-x—=-；• 2 2 4②NEAO=ZAEO=30°,*:.ZAOE=180°-ZEAO-ZAEO=180°-30°-30°=120°,•・OA=OB,/.s=s=--s,•/\AOE\BOE2AABE,qs qq % 120冗**\\3后33穴9•12冗-9百阴影扇形OAEAAOE扇形。4E2AABE- 360 22 2 2—4 16- 16第26页(共31页)z?【点评】本题考查的是切线的性质及扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键.27.（8分）（2018•南京）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE.过点A作AF±DE，垂足为F,O经过点C、D、F，与AD相交于点G.(1)求证：AAFG^ADFC;（2）若正方形ABCD的边长为4,AE=1,求O的半径.【考点】S9:相似三角形的判定与性质；M5:圆周角定理；LE:正方形的性质【分析】（1）欲证明反FGs功FC，只要