2019-2020学年广东广州天河区高二上期末数学试卷

2019-2020学年广东省广州市天河区高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.(5分)数列-1,1.(5分)数列-1,-2 41,-，…的一个通项公式是（8 16A.(T>B. C (T>+12nD.(-1)n

2n-1（5分）某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飞出去带回了五个伙伴，第二天六只蜜蜂飞出去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜TOC\o"1-5"\h\z蜂的数量是（ ）A.56只 B.65只 C.55只 D.66只（5分）已知命题p:3%gR,lnx+x-2=0，命题q:VxgR,2x・・x2，则下列命题中为真命题的是（ ）A.paq B.「paq C.p△—।q D.「p△—।q（5分）记S为等差数列｛a｝的前n项和.若a4+a5=24,S6=48，则｛a｝的公差为（）A.1 B.2 C.4 D.8A+C.（5分）AABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,若asin =bsinA,则UcosB=（2）TOC\o"1-5"\h\z1 1 %3 3A.— B.- C. D.（5分）直线11,l2互相平行的一个充分条件是（ ）11,I2都平行于同一平面11,12与同一平面所成的角相等11,12都垂直于同一平面11平行于12所在的平面（5分）如图所示，一艘海轮从A处出发，测得B处的灯塔在海轮的正北方向20海里处，海轮按西偏南15。的方向航行了10分钟后到达C处，此时测得灯塔在海轮的北偏东30。的方向，则海轮的速度为（ ）第1页（共18页）

C.<3海里C.<3海里/分D.<2海里/分A.2x2海里/分 B.2海里/分（5分）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幕势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式丁二Sh,其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示（单位:cm体的高.若某柱体的三视图如图所示（单位:cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（)A.158B.)A.158B.162C.182D.324（5分）过抛物线产=2px（p>0）的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，若IAF1=4,IBC1=21BFI，且IAF1>1BFI，则此抛物线的方程为（ ）B.y2=2x C.y2=4x D.y2=8x（5分）四面体ABCD中，AB,BC,BD两两垂直，且AB=BC=1，点E是AC的中第2页（共18页）点，异面直线AD与BE所成角为9，且cos9=瑞，则该四面体的体积为（ ）A.13A.13B.-34383（5分）以下几种说法①命题"3a>0，函数f（x）=ax2+2x-1只有——个零点”为真命题②命题“已知②命题“已知x，ygR若x+y牛3，则xw2或y牛1”是真命题③“③“%2+2x^ax在xg[12]恒成立”等价于“对于xg[1，2]，有(x2+2x) ..(ax)min max④AABC④AABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a>b”是“cos2A<cos2B”的充要条件.其中说法正确的序号为（A.①③BA.①③B.①④C.②③D.②④12.12.（5分）已知双曲线x2-22=1（a>0,b>0）的左、右焦点分别为Fa2b2 1，F，过F且斜率为24的直线与双曲线在第一象限的交点为A24的直线与双曲线在第一象限的交点为A7uuuur uuuruuu若(FF+FA)gFA=0,21 2 1则此双曲线的标准方程可能为（ ）D.xD.C.—16填空题（本大题共4填空题（本大题共4小题，每小题5分,满分20分.）13.（5分）双曲线获一12=113.14.(5分)在AABC中，AB=1，AC=五，/B=-，则/C14.415.（15.（5分）已知三棱锥A-BCD每条棱长都为1，点E，G分别是ABDC的中点，则uuurGEgAC=16.（5分）已知数列｛a16.（5分）已知数列｛a｝满足a1=1nan+1=(n+1)a+n(n+1),ngN*,且b=— 2n-7acos—3—，记S为数列｛b｝的前n项和，则S2020三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（10分）已知等差数列｛17.（10分）已知等差数列｛a｝中，a5-a2=6（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）设b=，数列｛b｝的前n项和为Snaa n nnn+1且a.，a3若S=—n35a21依次成等比数列.求n的值.b，c，若b=acosC+csinA.（12分）已知AABCb，c，若b=acosC+csinA.第3页（共18页）(1)求A；(2)若a=2<2，求AABC面积的最大值.(12分)已知m为实数，命题p:方程一上 匕二1表示双曲线；命题q:函数2m一1m一4f(%)=lg(mx2-x+4m)的定义域为R.(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题p与命题q有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围.(12分)在平面直角坐标系xQy中，动点P到点F(1,0)的距离和它到直线x=-1的距离相等，记点P的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设点A在曲线C上，x轴上一点B(在点F右侧)满足IAF1=1FBI，若平行于AB的直线与曲线C相切于点D，试判断直线AD是否过点F(1,0)?并说明理由.(12分)如图1,在矩形ABCD中，AB=3v5,BC=2<5，点E、P分别在线段DC、BC上，且DE=<5,DP=15”，现将AAED沿AE折到AAED'的位置，连结CD',BD',2如图2.D图1 图2(1)证明：AE±DP；2几 ，、，一一(2)记平面ADE与平面BCD'的交线为l.若二面角B-AE-D'为2-，求l与平面D'CE3所成角的正弦值.(12分)已知椭圆C:x2+2y2=36.(1)求椭圆C的短轴长和离心率；(2)过点(2,0)的直线l与椭圆C相交于两点M,N，设MN的中点为T,点P(4,0)，判断ITPI与ITMI的大小，并证明你的结论.第4页(共18页)

2019-2020学年广东省广州市天河区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）2 4 8 16(―1>+1（5分）数列-1,-,--,-2 4 8 16(―1>+1A.――2n【解答】解：所给的数列每一项的分子都是1,分母等于2n，每一项的符号为（-1）〃,故此数列的一个通项公式是a.故选：B.（5分）某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飞出去带回了五个伙伴，第二天六只蜜蜂飞出去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是（）56只656只65只55只66只【解答】解：设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为a，根据题意得数列｛a｝成等比数列，它的首项为6,公比q=6所以｛a｝的通项公式：为an=6n到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a=66只蜜蜂.（5分）已知命题p:3%gR,lnx+x―2=0，命题q:VxgR,2x・・x2，则下列命题中为真命题的是（ ）papaq「paq【解答】解：对于命题pQy=lnx与y=2-x在坐标系中有交点，如图所示;即3xogR，使lnx0=2-x0，二命题p正确，「p是假命题；对于命题q:当x=3时，23<32，:命题q错误，「q是真命题；，paq是假命题，「paq是假命题；pa「q是真命题，「pa「q是假命题；综上，为真命题的是C.故选：C.第5页（共18页）

4.（5分）记S为等差数列4.（5分）记S为等差数列｛a｝的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则｛an｝的公差为（124 D.8【解答】解：QSn为等差数列｛an｝的前n项和，a4+a5=24,S6=48,a+3d+a+4d=24「•< 6x5 ，6a+——d=48〔i2解得a=-2,d=4,・••｛an｝的公差为4.故选：C.TOC\o"1-5"\h\zA+C -（5分）AABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，若asin =bsinA,则UcosB=（2）3 v3A.-2 B.2 C.--y D.行【解答】解：Qasin、+0=bsinA,2.--BB_B:.asin =acos—=bsinA，22又Q由正弦定理-^―=—，可得：asinB=bsinA，sinA sinBB B 1+cosB/.cos=sinB，可得：cos2=sin2B，可得： =1-cos2B，222/.2cos2B+cosB-1=0，••・解得：cosB=1，或-1，2QBg（0,九），第6页（共18页）

（5分）直线11,仆互相平行的一个充分条件是（ ）/1,I2都平行于同一平面11,12与同一平面所成的角相等11,12都垂直于同一平面11平行于12所在的平面【解答】解：对选项A,11与12还可能相交或成异面直线，故A错.对于B:l与/还可能为相交或异面直线，故B错.1 2对于选项C，根据直线与平面垂直的性质定理，c正确.另外，对于选项D,11与12不一定平行，故D错.故选：C.（5分）如图所示，一艘海轮从A处出发，测得B处的灯塔在海轮的正北方向20海里处，海轮按西偏南15。的方向航行了10分钟后到达C处，此时测得灯塔在海轮的北偏东30。的方向，则海轮的速度为（ ）向，则海轮的速度为（ ）A.A.2<2海里/分 B.2海里/分C.、.3海里/分D.<2海里/分【解答】解：^ABC中，AB=20,/ACB=90。—30。—15。=45°,ZB=180。一45°—(90°+15°)=30°,由正弦定理得，ACAB由正弦定理得，ACAB— ,sin30。sin45°20x1AC=H=1=10-；第7页（共18页）

所以海轮的航行速度为V=—=、5（海里/分）.10故选：D.（5分）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幕势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式丁二Sh,其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示（单位:cm体的高.若某柱体的三视图如图所示（单位:cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（俯视图俯视图A.158 B.162 C.182 D.324【解答】解：由三视图还原原几何体如图，DIEDIE该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，即S =1（4+6）x3+1（2+6）x3=27,五边形ABCDE 2 2第8页（共18页）

高为6,则该柱体的体积是V=27x6=162.故选：B.（5分）过抛物线产=2px（p>0）的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，交其准线于则此抛物线的方程为（ ）点C，若IAFI=4,IBCI=2IBFI,且IAFI>IBF则此抛物线的方程为（ ）C.【解答】解：如图过A作AD垂直于抛物线的准线过B作BE垂直于抛物线的准线，垂足为E,P为准线与x轴的焦点，由抛物线的定义，IBFI=IBEI,IAFI=IADI=4,QIBCI=2IBFI,./IBCI=2IBEI,.//DCA=30°/.IAC1=21AD1=8,/.ICF1=8—4=4,.•」PFI=^^=2,即p=IPFI=2,/.所以抛物线方程为：y2=4x,故选：C.故选：C.10.（5分）四面体ABCD中，AB,BC,BD两两垂直，且AB=BC=1,点E是AC的中点，异面直线AD与BE所成角为9，且cos9=*，则该四面体的体积为（ ）13231323【解答】解：以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BD为z轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),C(0,1,0),E(L1,0)，设D(0,0,t),22第9页（共18页）

uinr uur11AD=(-1,0,t),BE=(鼻,2,0),12痴

lo"Q异面直线AD与BE所成角为9,12痴

lo"iuruur/.cos9IADgBE/.cos9=-HBT-1tM-=IADIgBEI该四面体的体积：V=-xS xDB=-x—x1x1x2=-.3aabc 32 3故选：A.11.（11.（5分）以下几种说法①命题"3a>0，函数f（x）=ax2+2x-1只有-一个零点”为真命题②命题“已知x,yeR，若x+y丰3，则xw2或②命题“已知x,TOC\o"1-5"\h\z③“x2+2x^ax在xe[1,2]恒成立”等价于“对于xe[1,2]，有(x2+2x)..(ax) ”min max④AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，则“a>b”是“cos2A<cos2B”的充要条件.其中说法正确的序号为( )A.①③ B.①④ C.②③ D.②④第10页（共18页）

【解答】解：①,当a>0时，方程ax2+2x-1=0的判别式^=4+4a>0,函数f(x)=ax2+2x-1有两个零点，故①错误；②，命题“已知x，yeR，若x+y*3，则xw2或y*1”的逆否命题为：“已知x，yeR，若x=2且y=1，则Ux+y=3”为真命题，则原命题是真命题，故②正确；③，a=2时，x2+2x・・2x在xe[1,2]上恒成立，而(x2+2x).=3<2x=4，故③错误；④，在三角形中，cos2A<cos2B等价为1一2sin2A<1-2sin2B，即sinA>sinB.若a>b，由正弦定理得sinA>sinB，充分性成立.若sinA>sinB，则正弦定理得a>b,必要性成立.」."a>b”是“sinA>sinB”的充要条件，即a>b是cos2A<cos2B成立的充要条件，故④正确.・••说法正确的序号为②④.故选：D.尸，过F且斜率为(5分)已知双曲线x2-y2-1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,a2尸，过F且斜率为空的直线与双曲线在第一象限的交点为A7空的直线与双曲线在第一象限的交点为A7uuuruuuruuur若(FF+FA)gFA-0,则此双曲线的标准方程可能为( )x2-y2-112iiiirx2-y2-112iiiirx2 y2-13 4iiiiriiirC.uuuirx2一”二116iiiiriiiirx2y2rD. -1916uuur【解答】解：若(FF+FA)gFA-0，即为若(FF+FA)g-FF+FA)-0,21 221 2uuuruur可得AF2-FF2，即有|AF|=|FF|=2c,2 21 2 21由双曲线的定义可得|AF|-2a+2c,1在等腰三角形AFF中，tanZAFF--2，cosZAFF-217 4cosZAFF-217 4c2+4c2-(2a+2c)2— ,252gcg2c化为3c-5a,可得a:b-3:4,a2:b2-9:16.第11页(共18页)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）（5分）双曲线上-"二1的焦点到渐近线的距离为—2n_.412【解答】解：由双曲线上-二=1,得焦点坐标为F（±4,0）,412渐近线方程为y=±v；3x,不妨取焦点坐标为（4,0）,一条渐近线方程为不x-y=0.则焦点到渐近线的距离为d==2<3.<3+1故答案为：2、：3.(5分)在AABC中，AB=1,AC=\2,ZB=：，则/C=—.【解答】解：在AABC中，AB=1,AC=丫2,ZB=-,4利用正弦定理得：AC-=旦，解得sinC=1.sinBsinC 2由于0<C〈冗，故：C=-或生（不合题意，舍去）6 6故C=-.6故答案为：—6（5分）已知三棱锥A-BCD每条棱长都为1,点E,G分别是AB,DC的中点，则muruuw 1GEgAC=_-万一【解答】解：如图，uuruuruuuruur1uuuuur1uurQGE=GD+DA+AE=-DD-AD+-AB22uuur 1uur mur 1uur 1uur 1uur 1uur=AD——AC-AD+-AB=-AB——AC——AD,TOC\o"1-5"\h\z2 2 2 2 2uuruur1uur1uur1uuruur・•・GEgAC=(一AB——AC——AD)gAC2 2 2uumuuu1uur 1uuruur1umr 1=-ABgAC——AC2+-ADgAC=——AC2=——.2 2 2 2故答案为：-1.2第12页（共18页）

A16.（5分）已知数列｛a｝满足a1=1na=(n+1)a+n(n+1)，ngn+A16.（5分）已知数列｛a｝满足a1=1na=(n+1)a+n(n+1)，ngn+1N*，且b=aa2n汽cos 3记S为数列｛b｝的前n项和，则S2020【解答】解：a1=1，na=(n+1)a+n(n+1)，n+1即有—==1+n-1=n

nb=aacos—=ncos ,331贝Ub=-，12b=2x(-1)=-1,2 2=-2b=4x52b=5x=——=8x(—)=—4

2b10=10x=-5b11=11x(-2)乙11隔S2020=3x336+2017xb12隔S2020=3x336+2017x+2018x(-i)+2019x1+2020x(-1)22故答案为:证明过程或演算步骤.）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（10分）已知等差数列｛a｝中，a5-a2=6，且q,a6,a〃依次成等比数列.（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）设b= ，数歹U｛b｝的前n项和为S，若S=-，求n的值.naa n nn35nn+1【解答】解：（1）设数列｛an｝的公差为d,因为a5-a2=6，所以5d=10，解得d=2,因为a,a,a依次成等比数列，所以a2=aa,1 6 21 6 121第13页（共18页）

解得a1=5,即(a1+5x2)2=a1(a1解得a1=5,所以a.=2n+3;(2)由(1)知b= = naa. (2++3)(2++5)所以Sn=2[(5-7)+(7-9)…(n3 二 ,5(2n+5) 35得n=15.(12分)已知AABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,若b=acosC+csinA.(1)求A；（2）若a=2V2，求AABC面积的最大值.【解答】解：（1）由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinCsinA，/.sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinCsinA，QsinC丰0,二.cosA=sinA,(2)QS=1bcsinA='2bc,2 4兀由余弦定理可得，a2=8=b2+c2-2bccos—,48等号成立.故bc„ ==4(2+%2),当且仅当a=c时，等号成立.2一、2…v2 -所以S=—ac„2<2+2,4所以面积最大为2<2+2.19.（19.（12分）已知m为实数，命题p:方程=1表示双曲线；命题q:函数f(%)=lg(mx2一%+4m)的定义域为R.（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围;第14页（共18页）

(2)若命题p与命题q有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围.【解答】解：(1)若命题p为真命题，则(2m-1)(m-4)>0,解得m<1或m>4.2即m的取值范围是m<1或m>4;2(2)若命题q为真，则Umx2-x+4m>0恒成立，Q命题p、q一真一假.当p真q假时，得m<2;当p假q真时，1<m„4..实数m的取值范围是m<1或1<m4.2(12分)在平面直角坐标系xQy中，动点P到点F(1,0)的距离和它到直线x=-1的距离相等，记点P的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设点A在曲线C上，x轴上一点B(在点F右侧)满足IAF1=1FBI,若平行于AB的直线与曲线C相切于点D，试判断直线AD是否过点F(1,0)?并说明理由.【解答】解：(1)由题意可得动点P的轨迹是以F(1,0)为焦点，准线为x=-1的抛物线y2=4x；(2)由题设A(x0,y0)，则IAFI=x0+1,又IAFI=IFBI,故B(x0+2,0),令平行于AB的直线l:y=kx+m，则k=k=-乂，.A(k2,-2k),AB2代入y2=4x,得(kx+m)2=4x,整理k2x2+(2km-4)x+m2=0(*).△=(2km-4)2-4k2m2=0,/,km=1,.m=1丰0,k1 1 2 12所以(*)可以化为k2x2-2x+ =0.x= ,y=—, .D(一,—),k2 D k2 Dk k2kkAD2 2kAD11 1-k2—kk第15页(共18页)2k 2k:.AD:y+2k= (%-k2),:.AD:y= (%-1)，过定点F(1,0),1-k2 1-k2当k2=1时，AD:%=1也过点F(1,0)，故直线AD过点F(1,0).(12分)如图1,在矩形ABCD中，AB=3V5,BC=2V5，点E、P分别在线段DC、BC上，且DE=v5,DP=—"，现将AAED沿AE折到AAED'的位置，连结CD',BD',2如图2.图1 图2(1)证明：AE±DP；2几 ，、，一一(2)记平面ADE与平面BCD'的交线为/.若二面角B-AE-D'为2-，求l与平面D'CE3所成角的正弦值.【解答】解：(1)证明：先在图1,在RtAADE中，由AD=BC=2\5,DE=芯，得tanZDAE=1,2在RtAPCD中，由DC=AB=3<5,DP=15,PC=DPP2-DC2=315,2 2得tanZPDC=1,2.•.tanZPDC=tanZDAE，则ZPDC=ZDAE,/.ZDOE=90°,从而有AE±OD,AE±OP,即在图2中有AE±OD',AE±OP,OD'IOP=O,/AE±平面POD',则AE±D'P.(2)延长AE,BC交于点Q,连接DQ,根据公理3得到直线DQ即为l,再根据二面角定义得到ZD'OP=生.3在平面POD，内过点O作底面垂线，O为原点，分别以OA、OP、及所作为％轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，第16页(共18页)

则D'(0,—1,<3),E(—