“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题以及参考答案

2016年大杯福省中学赛题考案考时2016年13日9－11满分一、选题（共5小题每小题分，共35分。道小均给出代号为A，B，D的四个选项，中有且有一个选项正确的请将正确选的代号入题后的括里，不填、填或错填都分）1．在平面直角坐标系，已知点，在x轴正半轴上且BAO△直线AB叠则的坐标为（）A，B(C，3)D(2．若实a满足a2b2b，(1A．18B．12C．9D．6

2

2

）3若关于的方程值的总和为（）

xxx只有一个实数根则符合条件的所有实的xxxA

B

C

D4．如图，在△中，CAI△的内心，连I并延长交AB于。△CAI的面积m的面积，则）nA．

357B．．D．234

C5知，y，且足x

2

xyy

2

4记

Iu2（）

2

的最大值为M，最小值为，则M

A

D

BA．

403

B．

6415

C．

136D．155二、填题（共5小题每小题，共分）6在平面直角坐标系内有两点(2若一次函数kx的图像与线AB有公共点，k的取值范围为。7如图△ABC中，D边上一点为线段AD上一点延交于若

AEAF，，则BC52AC

。

A

F8．设x，，，…，x是n个互不相同的正整数，且12x的最大值是。19．如图AB⊙的直径O的切线BC于

C

B

E

D

E

CA

OB

OAE点，若，则CE10若正整数y满足方程组

。3xyz)

，yz最大值为。三、解题（共4题，小题20分，80分11．若关于的方

2

a有两个不相等的整数根，a的值。12．如图，H的心，圆△的外接圆。EFC为圆心、CH长为半径的圆与的交点，为线段EF的垂直平分线与的交点。求证1）AC垂直平分线段HE；

A（2

D

E13对于整数n

()示所有小n素数的乘积。

O

H求满足条()22n32的所有正整n。14在一行）的表格的每个方格内填上适当的正整数，使得：

B

F

C（1）每一列所填的数都是12，…，m的一个排列在每一列中12，…，这m个数出现且仅出现次）（2）每一n个数和都是。当上述的填数方式存在时，(m)的所有可能取值。2016年大杯福省中学赛题考案考时2016年13日9－11满分一、选题（共5小题每小题分，共35分。道小均给出代号为A，B，D的四个选项，中有且有一个选项正确的请将正确选的代号入题后的括里，不填、填或错填都分）1．在平面直角坐标系，已知点，在x轴正半轴上且BAO△沿直折叠CAB，则C的坐标为（）A，3)

B(3

C，

D【答案

B【解答图，x轴于D依题意OA3BAO60所以，ADOD。因此，坐标(3。2．若实a满足a2b2ba，(1）A．18

B．12

C．9

D．6

【答案

A【解答题意a为方程2x两个不同实根。因此，由韦达定理得)a)(1b))。或解：(1

2

2

2

2

2

b

2

a)

2

2

b

2

。3若关于的方程值的总和为（）

xxx只有一个实数根则符合条件的所有实的xxx2A

B

C

D【答案

D【解答程

xxx化2xxx2

………………①若方程①有两个相等实根，△16。，方程①的符合要求。1若x是方程①的根，，此时，方程①的另一个根符合要求。若x方程①的根，，此时，方程①的另一个根为，符合要求。所以，符合条件，其总和。4．如图，在△中，CAI△ABC的内心，连CI并延长交AB于。△CAI的面积m的面积，则357A．B．．D．234【答案CIC【解答题意，。nIDICBC由I△ABC内心知，。ID

nA

）ID（第）

CB所以，由等比定理知，

ICACBCAC。nID65．已y实数，且满2y2x2xy2的最大值为M，最小值m，）

A．

403

B．

6415

C．

136D．155【答案

C【解答由x

2

y

2

4，x

2

y

2

xyux

2

xyy

2

xy。∵

5xyx

2

y

2

4)x)

2

当且仅当，即

，

∴∵

，或，y时等号成立。41212xy的最小值uxxy22xy的最小值为，。56，324)4当且仅x3

或6，y时等号成立。∴

420xy的最大值为uxyy22的最大值为，M。333∴

M

2012136。315或解：x

2

xyy

2

4得x

2

y

2

xyux

2

xyy

2

xy。设xy，若x，则

yt；x时，，将y代入t

2

y

2

4，得

2

t，2

4

t

2

2

，①△t4)

2

t

2

44，解。53t

482代入方程①代入方程①x2335

。∴

4xy的最大值为，最小值。382081212136因此，，M3355515

。二、填题（共5小题每小题，共分）6在平面直角坐标系内有两点(2若一次函数kx的图像与线AB有公共点，k的取值范围为。

1【答案(个人觉得还要补充k0，因为是一次函数)2【解答得直线AB应的一次函数的解析式为x。y由，(kykx

………………①依题意，方程①有x解。∴

k且

，解。的取值范围为。k22或通过图求解。7如图△，D边上一点为线段AD上一点延BE交于点F。若

AEAF，，则BC52AC

。

A【答案

27

E

F【解答如图，过点C∥交AD的延长线于，AFAE则。ACAG

B

D（第7题

C又CGBE，△∽DEB。∴

DG。

A

F∴

3AGDE。2

B

D

E

C∴

AFAEDE。ACAG7

G8．设x，…x个不相同的正整数，且xx，1n2的最大值是。【答案

63【解答题意，x，x，x，…，x。123n∴

201712

nn2

。于是2017

nn2

n。又当x，x，x，…x，x64，123

12321232

63x2017。62∴所的最大值为63。9．如图，AB⊙O的直径，切线，BC于E点，若。CE

OACE

，则【答案

AOB【解答由ABO的直径知，AE。m则OA5，AB25。由条件易△ACE∽△BAE，

（第）∴

CEAE

，2，AEmEB。结合AB

2

AE

2

2

，(2m)

mEBEB

。（或由射影定理得BA

2

BE，m)

BE∴

EB

2

m

2

，解EB舍去∴

，

AEm5。AB5510若正整数y满足方程组【答案84【解答由x3得

3xyz)

，yz最大值为。x

3

y

3

3

1xyz()2

)2x))2

。结合，，为正整数得y

2

x)

2

z

2

，于是y。∴

x

2

，x，y。∴当，y，或，，时有最大值84。三、解题（共4题，小题20分，80分11．若关于的方

2

a有两个不相等的整数根，a的值。【解答设x，x是方程两个不相等的整数根，则x，xx。122∴

均为整数。因此为整数。

………………5分∴

a22为全平方数。a

2

2t为整数，t

a2于是(

…10分由于偶性相同，。∴

或。解得

或t

。

………15经检2符合要求。∴

2。

……20另解：n是方程两个不相等的整数根。则

mLLnLL

①②

。两式相减，(m)()a3)()。m，m。m入①，。

…5∴

(。

…10m由于mn为整数，因此。n2∴

n

或。

…………15分时a2时，am。nn∴

。

………2012．如图，H的心，圆△的外接圆。EFC为圆心、CH长为半径的圆与的交点，为线段EF的垂直平分线与的交点。求证1）AC垂直平分线段HE；

A（2

D

E【解答）解法一：

O

H如图，连结AH，AE，

B

C由H△的垂心知AHCABC180由、B、E四点共圆，AEC180

F∴

AHC。……………5

（第题）CHCE∴AEHAHE，AE。

D

A

E∴

AC垂直平分线HE。……………10分

O

HB

CF

解法二作点H关于直线AC的称点。连结AH，AGGC。则CG，在为、CH长半径的圆上。…5

D

A

G，△ABC的垂心，

O

H

E∴AGCA、、B四点共圆。因此，也在上。

B

C∴

E两点重合

F因此，E、关于直线对称，即AC垂直平分线HE。……………10（2），依题意CECHCF结D为线段EF的垂直平分线与O的交点，为的直径。∴

DA

A又由（1以及H△ABC的心知，HEAC

D

EAC。因此，、、E三点共线。

O

H∴∴

……15分DCE90ACB。

B

C∴

DAE。

F∴

DE

……20分或：通DAE≌△ADB，证DE或通过证明四边形腰梯形，证明DE13于整数nn)示所有小的素数的乘积满足条)22n32的所有正整n【解答解法一：n，则11整)，但1能整22。因此不符合要求。故。

………………10分7，

()210，21022，。…………155，3，

()，3022，得正整不存在。(n，n32，得正整不存在。n，

()22232得正整不在。∴满足条件的正整n只有1，。

………………20解法二n)n32，

(n1024n48)。由n是偶数，但不4的倍数，因此n是奇数。

……………5n，n48含有奇数的素数因子p，即为奇素数，且整n48。n48知，整)。由此除1024，矛盾。故49，为奇数。

……10分

∵

492249321046，∴

(又210210。∴

。n5，7，9，11。

………………15将n57，9，分别代

()22n32验证，n(3)22n34，不符合要求。n(5)22n78，不符合要求。n时(7)，22n，不符合要求。n时

n，不符合要求。n时

(11)22210，符合要求。∴满足条件的正整n只有1，。

………………2014在一m行n列）的表格的每个方格内填上适当的正整数，使得：（1）每一列所填的数