2022-2023学年上海市虹口区中考数学专项突破仿真模拟卷（二模三模）含解析

2022-2023学年上海市虹口区中考数学专项突破仿真模拟卷

（二模）

一、选一选（共42分）

F列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是（）

C.(ab)3=ab26

3.从一副扑克牌中抽出如下四张牌，其中是,对称图形的有（）

C.3张D.4张

4.某鞋店试销一种新款女鞋，情况如下表所示：鞋店经理最关心的是，哪种型号的鞋销量.对

他来说，下列统计量中最重要的是（）

型号222252323.52424.525

数量（双）351015832

A.平均数B.众数C.中位数D.方差

5.如图，CB=1,且。4=08,BC±OC,则点4在数轴上表示的实数是（）

-3A-2-1012

A.-76B.--y6C.y/sD.-非

6.如图，DABCD中，点E、F分别在AD、AB上,依次连接EB、EC、FC、FD,图中阴影部分的

面积分别为5、&、S3、S,,己知&=2、Sz=12、$3=3,则，的值是（）

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D

S,

BC

A.4B.5C.6D.7

7.钟表上2时25分时，时针与分针所成的角是（）

A.77.5。B.77°5'C.75°D.以上答案

都没有对

8.在矩形ABCD中,AC,BD相交于0,AE_LBD于E,OF_LAD于F,若BE：ED=1：3,0F=3cm,则

BD的长是（）cm.

A.6B.8C.10D.12

9.某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（0）成反比例.图表示的是该电

路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为【】

10.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角

坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度没有得小于

18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（）

二…...…司.......:

A.2.76米B.6.76米C.6米D.7米

|x|-l

11.若分式U—的值为o,则（）

X+1

Ax=±1B.x=1C.x=-\D.x=0

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12.如图，BO、CO是/ABC、N4cB的平分线，N800120。，则NZ=（)

B.120°C.110°D.40°

13.如图，直线4：y=x+l与直线4：y=-x-；把平面直角坐标系分成四个部分，则点

B.第二部分C.第三部分D.第四部分

14.某县为发展教育事业，加强了对教育的投入，2012年投入3000万元，预计2014年投入5000

万元.设教育的年平均增长率为X,根据题意，下面所列方程正确的是（）

A.3000x2=5000B.3000(1+xY=5000

C.3000(J+X%)2=5000D.3000(/+x)+3000(J+x)2=5000

15.如图，由四个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在田字格中至多可以

作长为火的线段（）

A.8条B.6条C.7条D.4条

16.如图，若a<0,b>0,c<0,则抛物线y=ax?+bx+c的大致图象为（)

D.

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二、填空题(40分)

^11.,.2a-ah-2b

17.已知-----=5,则r------------

aba+ah-b

18.若函数f(x)=ax，bx+c的图象通过点(-1,1)、(a,0)与(B,0),则用a、B表示

f(1)得f⑴

19.如图，在边长为2的菱形ABCD中，/D=60°,点E、F分别在边AB、BC上.将ABEF沿着

直线EF翻折，点B恰好与边AD的中点G重合，则BE的长等于

三、解答题(共68分)

20.定义新运算：对于任意实数a,b,都有a㊉6=a(a-ft)+1,等式右边是通常的加法，减法

及乘法运算.比如：2㊉5=2x(2-5)+l=2x(-3)+1=-6+l=-5

(1)求3㊉(-2)的值;

(2)若3㊉x的值小于16,求x的取值范围，并在数轴上表示出来.

21.某校九年级学生在一节体育课中，选一组学生进行投篮比赛，每人投10次，汇总投进球数

的情况进行统计分析，绘制了如下没有完整的统计表和统计图.

次数10865

人数3a21

(1)表中a=；

(2)请将条形统计图补充完整；

(3)从小组成员中选一名学生参加校动会投篮比赛，投进10球的成员被选中的概率为多少？

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AftA

22.如图，BD平分/ABC,DE_LAB于E,DFJ_BC于F,AB=6,BC=8.若$―此=28,则

DE=.

23.如图，海中有一小岛P,在距小岛P的16近海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它

在A处时测得小岛P位于北偏东60°,且A、P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方

向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明.如果有危险，轮船自A处开始至少沿东偏

南多少度方向航行，才能通过这一海域？

24.如图，正比例函数和反比例函数的图象都点A(3,3),把直线OA向下平移后，与反比

例函数的图象交于点B(6,m),与x轴、y轴分别交于C、D两点.

(1)求m的值；

(2)求过A、B、D三点的抛物线的解析式；

(3)若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点E,使四边形OECD的而积Si，是四边形

2

OACD面积S的］?若存在，求点E的坐标；若没有存在，请说明理由.

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25.已知48是。。的直径，弦缪，15于〃，过延长线上一点£作。。的切线交46的延长线

于E切点为G,连接4G交。于《

(1)如图1,求证：KE=GE；

(2)如图2,连接。18G,若NFGB=3/ACH,求证：CA//FE-,

3

(3)如图3,在(2)的条件下，连接CG交四于点儿若sin£.=W，AK=屈,求GV的长.

26.已知，抛物线y=ax?+ax+b(aWO)与直线y=2x+m有一个公共点M(1,0),且aVb.

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(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示)；

(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N,求△DMN的面积与a的关系式；

(3)a=-1时，直线y=-2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称，现将线

段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0),若线段GH与抛物线有两个没有同的公共点，试求t

的取值范围.

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2022-2023学年上海市虹口区中考数学专项突破仿真模拟卷

（二模）

一、选一选（共42分）

1.下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是（）

【正确答案】C

【详解】从物体的前面向后而投射所得的视图称主视图（正视图）——能反映物体的前面形状;

从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状；

从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状.

选项C左视图与俯视图都是如下图所示：

故选：C.

2.下列运算正确的是（）

A.a°=lB.亚=±3C.(ab)3=ab2D.(-a2)3=-a6

【正确答案】D

【详解】试题解析：A、a°=l（axO）,故此选项错误；

B、、历=3,故此选项错误；

C、（ab）2=a2b2,故此选项错误；

D、（-a2）3=-a6,正确.

故选D.

考点：1.非零数的零次呆；2.算术平方根；3.积的乘方与呆的乘方.

3.从一副扑克牌中抽出如下四张牌，其中是，对称图形的有（）

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?♦・

A.1张B.2张C.3张D.4张

【正确答案】B

【详解】试题解析：旋转180。以后，第2张与第3张，中间的图形相对位置改变，因而没有是

对称图形；

第1,4张是对称图形.故选B.

4.某鞋店试销一种新款女鞋，情况如下表所示：鞋店经理最关心的是，哪种型号的鞋销量.对

他来说，下列统计量中最重要的是（）

型号2222.52323.52424.525

数量（双）351015832

A.平均数B.众数C.中位数D.方差

【正确答案】B

【详解】试题解析：鞋店经理最关心的是，哪种型号的鞋销量，而众数是数据中出现次数至多

的数，故鞋店经理关心的是这组数据的众数.

故选B.

5.如图，C5=l,OA=OB,BC±OC,则点4在数轴上表示的实数是（）

,He.,

-3A-2-1012

A.y/6B.--y6C.V5D.-V5

【正确答案】D

【详解】•:BCLOC,

：.N5CO=90。，

•・・BC=1,CO=2,

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OB=OA=yjBC2+OC2=712+22=V5，

:点”在原点左边，

...点A表不的实数是-y[5-

故选：D.

6.如图，口ABCD中，点E、F分别在AD、AB上，依次连接EB、EC、FC、FD,图中阴影部分的

面积分别为加、S,、S3、S,„己知&=2、Sz=12、S3=3,则的值是()

【正确答案】D

【详解】设平行四边形的面积为S,则SACBE=SACDF=3S,

由图形可知,ACDF面积+ACBE面积+(Si+S4+S3)-S2=平行四边形ABCD的面积

S=SACBE+SACDF+2+S4+3T2,

即S=yS+1s+2+S4+3-12,

解得S4=7,

故选D

点睛：本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是明确各部分图形面积的和差关系：平

行四边形ABCD的面积=ACDF面积+ACBE面积+(Si+S4+S3)S.

7.钟表上2时25分时，时针与分针所成的角是()

A.77.5°B.77。5，C.75°D.以上答案

都没有对

【正确答案】A

【详解】如下图所示，钟表上2时25分，时针指向2,分针指向5,每相邻两个数字之间的夹

角为30。，25分即』小时，则表的时针与分针在2时25分时夹角是：

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3x300-—x30°=90°-12.5°=77.5°,故选A.

点睛：因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°,借助图形，找出时

针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可.

8.在矩形ABCD中，AC,BD相交于0,AEJ_BD于E,0F_LAD于F,若BE：ED=1：3,0F=3cm,贝lj

BD的长是（）cm.

A.6B.8C.10D.12

【正确答案】D

【详解】试题解析：；ABCD是矩形，

；.BO=OD=OA.

VBE：ED=1：3,

.*.BE=EO.

又AE_LBD,

/.OB=OA=AB.

AZABD=60°.

ZFDO=30°

VOF±AD,OF=3,

・・・OD=6.

.*.BD=2«OD=12.故选D.

9.某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Q）成反比例.图表示的是该电

路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为【】

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A-BI=T6D1=

-lC.I=—-4

R

【正确答案】C

k

【详解】设I=—，那么点（3,2）满足这个函数解析式，...k=3x2=6.•**1=—.故选C

RR

10.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角

坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度没有得小于

18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（)

B.6.76米C.6米D.7米

【正确答案】B

【详解】试题解析：设该抛物线的解析式为丫=2*2,在正常水位下X=10,代入解析式可得-

,1

4=ax10-=a=----

25

故此抛物线的解析式为y=-^x2.

因为桥下水面宽度没有得小于18米

所以令x=9时

可得y=」x81=-3.24米

25

此时水深6+4-3.24=6.76米

即桥下水深6.76米时正好通过，所以超过6.76米时则没有能通过.

故选B.

忖二1■的值为0,则（）

11.若分式

X+1

A.x=±1B.x=1C.x——1D.x=0

【正确答案】B

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【分析】根据分式的值为0的条件，列式求解即可.分式的值为。的条件是：(1)分子等于0；(2)

分母没有为0.两个条件需同时具备，缺一没有可.据此可以解答本题.

|x|-l=0

【详解】解：由题意得：］,八

x+1/0

解得:X=1

故答案为B

本题考查了分式的值为。的条件，即：(1)分子等于0;(2)分母没有为0.两个条件需同时具

备，缺一没有可.据此可以解答本题.

12.如图，B()、COABC.N4cB的平分线，ZBOC=\20°,则/4=()

A

入

AC

A.60°B.120°C.110°D.40°

【正确答案】A

【详解】试题解析：因为OB、OC是NABC、NACB的角平分线，

所以ZABO=NCBO,ZACO=ZBCO,

所以NABO+/ACO=/CBO+/BCO=180。-120°=60°,

所以ZABC+ZACB=60°x2=120°,

于是NA=180°-120°=60°.

故选A.

13.如图，直线4：y=x+l与直线4：y=-把平面直角坐标系分成四个部分，则点

2

()

42

A.部分B.第二部分C.第三部分D,第四部分

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【正确答案】B

y=x+\

【详解】试题解析:由题意可得

3

x=——,

解得〈，4，故点（-：3,71）应在交点的上方，即第二部分.

142

故选B.

14.某县为发展教育事业，加强了对教育的投入，2012年投入3000万元，预计2014年投入5000

万元.设教育的年平均增长率为X,根据题意，下面所列方程正确的是（）

A.3000犬=5000B.3OOO（J+x）2=5000

C.3000（］+x%）2=5000D.3000（J+x）+3000（J+x）2=5000

【正确答案】B

【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量X（1+增长率），参照本题，如果设教育

的年平均增长率为x,根据“2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元”,可以分别

用x表示2012以后两年的投入，然后根据己知条件可得出方程.

【详解】解：设教育的年平均增长率为X,

则2013的教育为：3000X（1+x）万元，

2014的教育为:3000X（1+x）2万元，

那么可得方程：3000X（1+x）2=5000.

故选：B.

本题考查了一元二次方程的运用，解此类题一般是根据题意分别列出没有同时间按增长率所得

教育与预计投入的教育相等的方程.

15.如图，由四个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在田字格中至多可以

作长为的线段（）

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A.8条B.6条C.7条D.4条

【正确答案】A

【分析】图形，得到1,2,构成直角三角形，如图所示，找出长度为近的线段即可.

【详解】解：根据勾股定理得：际下=后，

如图所示，

在这个田字格中至多可以作出8条长度为的线段.

故选：A.

本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

【正确答案】B

【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据

对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【详解】Va<0,

.••抛物线的开口方向向下，

故第三个选项错误；

Vc<0,

.♦•抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，

故个选项错误；

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TaVO、b>0,对称轴为x=-2>o,

2a

...对称轴在y轴右侧，

故第四个选项错误.

故选B.

二、填空题（40分）

〜2a-ab-2b

17.已知-1----1=5U,则

aba+ab-b

【正确答案吟.

【分析】

【详解】解：..•工一：=5

ah

/.a-b=-5ab

.2a-ab-2b_2(a一b)-ab_2x(~5ab)-ab\\ab_11

a+ab-ba-b+abTab+ab-4ab4

18.若函数f(x)=ax?+bx+c的图象通过点(-1,1)、(。，0)与(B,0),则用a、B表示f

(1)得f⑴=

g-DO-i)

【正确答案】

(a+l)"+l)

bc

【详解】试题解析：由一元二次方程的根与系数的关系，得a+忏-上,ap=~,

QU

:.b=-a(a+°),c=aap,

故/(x)=ax2~a(u.+P)x+aa/i=a(x—a)(x—£)，

又人—1)=1，

1

-^)=1.a=_+])(p+i)，

故人工尸

(a+l)(/?+l)

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W)==

-(«+l)(/?+l)(«+l)(/?+l)-

(a-DQg-l)

故答案为

(a+1)(尸+1)

19.如图，在边长为2的菱形ABCD中，ND=60°,点E、F分别在边AB、BC±.将aBEF沿着

直线EF翻折，点B恰好与边AD的中点G重合，则BE的长等于.

7

【正确答案】-

【详解】试题解析：如图，作GH_LBA交BA的延长线于H,EF交BG于0.

H

:四边形ABCD是菱形，ZD=60°,

.♦.△ABC,AADC度数等边三角形，AB=BC=CD=AD=2,

/.ZBAD=120°,ZHAG=60°,

VAG=GD=1,

h

AAH=VAG=T,HG=—,

222

在RsBHG中，BG=J(亭y+(|)2=77，

,.,△BEO^ABGH,

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•BE__OB

••一,

BGBH

.BE

2

7

.,.BE=-,

5

7

故答案为

5

三、解答题(共68分)

20.定义新运算：对于任意实数a,b,都有。㊉6=a(a-b)+1,等式右边是通常的加法，减法

及乘法运算.比如：2㊉5=2、(2-5)+l=2x(-3)+1=-6+1=-5

(1)求3㊉(-2)的值；

(2)若3㊉x的值小于16,求x的取值范围，并在数轴上表示出来.

【正确答案】(1)16(2)x>-2,数轴见解析

【分析】(1)根据题意得出有理数混合运算的式子，再求出其值即可；

(2)先得出有理数混合运算的式子，再根据3㊉x的值小于16求出x的取值范围，并在数轴上

表示出来即可.

【小问1详解】

解：affib=a(a-ft)+1,

A3®(-2)

=3(3+2)+1

=3x5+1

=16；

【小问2详解】

解：affib=a(a-b)+1,

<*.30x=3(3-x)+1=10-3x.

：33x的值小于16,

A10-3x<16,

解得：x>-2.

在数轴上表示为：

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-4-3-2-1012345

本题主要考查了解一元没有等式；有理数的混合运算，熟练掌握解一元没有等式的基本步骤，

有理数的混合运算法则是解题的关键.

21.某校九年级学生在一节体育课中，选一组学生进行投篮比赛，每人投10次，汇总投进球数

的情况进行统计分析，绘制了如下没有完整的统计表和统计图.

次数10865

人数3a21

(1)表中a=；

(2)请将条形统计图补充完整；

(3)从小组成员中选一名学生参加校动会投篮比赛，投进10球的成员被选中的概率为多少？

3

【正确答案】(1)4；(2)见解析；(3)—.

【详解】试题分析：(1)根据条形统计图可知a=4；

(2)根据表格数据可知6次的人数是2,然后补全统计图即可；

(3)根据小组成员共10人，投进10球的成员有3人，再概率公式进行求解即可.

试题解析：(1)由条形统计图可知次数为8的有4人，

则a=4；

故答案为4；

(2)由表可知，6次的有2人，

补全统计图如图；

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人数人

(3)•.•小组成员共10人，投进10球的成员有3人,

3

.,.P=—

10

3

答：从小组成员中选一名学生参加校动会投篮比赛，投进10球的成员被选中的概率是

10

22.如图，BD平分/ABC,DE_LAB于E,DF_LBC于F,AB=6,BC=8.若$~叱=28,则

DE=_____

【正确答案】4

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF,然后根据三角形的面积公式

列式计算即可得解.

【详解】解：•.,BD平分NABC,DE±AB,DF±BC,

.\DE=DF,

VAB=6,BC=8,

1111

，SAABC=-AB・DE+—BC«DF=-X6DE+-X8DE=28,

2222

即3DE+4DE=28,

解得DE=4.

故答案为4.

本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面积，是基础题，熟记性

质是解题的关键.

23.如图，海中有一小岛P,在距小岛P的16近海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它

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在A处时测得小岛P位于北偏东60°,且A、P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方

向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明.如果有危险，轮船自A处开始至少沿东偏

南多少度方向航行，才能通过这一海域？

【正确答案】轮船自A处开始至少沿南偏东75。度方向航行，才能通过这一海域.

【详解】试题分析：过P作于8,则PC的长是X沿4W方向距离尸点的最短距离，求出

PC长和16J5比较即可,第二间设出航行方向，利用角的三角函数值确定答案.

试题解析:过P作PBLAM于B,

在Rt/\APB中,；NR4B=30°,

：.PB=^AP=^X32=16海里，

：16<16&,故轮船有触礁危险，

为了，应该变航行方向，并且保证点P到航线的距离没有小于暗礁的半径160海里，即这个距离

至少为16起海里，

设航向为NC,作PDLAC于点D,

由题意得/P=32海里/£>=16&海里,

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.../p“_PD1672V2

.sin/PAC=----=--------=-----,

AP322

.•.在RtA/MD中,N/MC=45°,

AZBAC=ZPAC-ZPAB=45o-30°=[5°,

答:轮船自A处开始至少沿东偏南150度方向航行,才能通过这一海域.

24.如图，正比例函数和反比例函数的图象都点A(3,3),把直线0A向下平移后，与反比

例函数的图象交于点B(6,m),与x轴、y轴分别交于C、D两点.

(1)求m的值；

(2)求过A、B、D三点的抛物线的解析式；

(3)若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点E,使四边形OECD的面积Si,是四边形

4—5/6>—

【分析】(1)由于反比例函数的图象都点A(3,3),由此可以确定函数的解析式，又把直线

OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6,m),把B的坐标代入反比例函数的解析式

即可确定m的值；

(2)由于直线0A向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6,m),与x轴、y轴分别交

于C、D两点，由此首先确定直线BD的解析式，接着可以确定C,D的坐标，利用待定系数

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法即可确定过A、B、D三点的抛物线的解析式；

(3)如图，利用(1)(2)知道四边形OACD是梯形，利用已知条件可以求出其面积，设E的

横坐标为x,那么利用x可以表示其纵坐标，也可以表示AOEC的面积，而AOCD的面积可以

求出，所以根据四边形OECD的面积Si,是四边形OACD面积S的(即可列出关于x的方程,

利用方程即可解决问题.

【详解】(1)•••反比例函数的图象都点A(3,3),

9

.•.点A的反比例函数解析式为：产一，

x

而直线0A向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6,m),

.9_3

..m=----；

62

3

(2)•••直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6,-),

2

与x轴、y轴分别交于C、D两点，

而这些0A的解析式为y=x,

设直线CD的解析式为y=x+b,

3

代入B的坐标得：一=6+b,

2

/­b=-4.5,

.,.直线0C的解析式为y=x-4.5,

AC,D的坐标分别为(4.5,0),(0,-4.5),

设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,

分别把A、B、D的坐标代入其中得：

1.5=36。+6b+c

-3=9a+3h+c,

-4.5—c

解之得：a=-0.5,b=4,c=-4.5

・19

•.y=-vx2+4x--；

22

(3)如图，设E的横坐标为x,

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:.其纵坐标为.0.5x2+4x45,

・・・S]=g(-0.5x2+4x-4.5+OD)XOC,

=y(-0.5x2+4x-4.5+4.5)X4.5,

=y(-0.5x2+4x)X4.5,

[35

而S=7(3+OD)XOC=?(3+4.5)X4.5二---，

228

2135

—(-0.5x2+4x)X4.5=-X------,

238

解之得x=4±-x/6>

这样的E点存在，坐标为(4-、%,y),(4+,y).

本题考查点的坐标的求法及利用待定系数法确定二次函数解析式.此题也为数学建模题，借助

一元二次方程解决探究问题.

25.已知力方是。。的直径，弦CDLAB于H,过以延长线上一点后作。。的切线交48的延长线

于凡切点为G,连接4G交切于片

(1)如图1,求证：KE=GE；

(2)如图2,连接。阳，若NFGB=^NACH,求证：CA//FE；

3

(3)如图3,在(2)的条件下，连接CG交四于点乂若sin6=—，AK=如,求GV的长.

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20/—

【正确答案】（1）证明见解析；（2）Z\EAD是等腰三角形.证明见解析；（3）—V10.

【详解】试题分析：

(1)连接OG,则由已知易得NOGE=NAHK=90。，由OG=OA可得NAGO=/OAG,从而可

得NKGE=/AKH=NEKG,这样即可得到KE=GE；

(2)设NFGB=a,由AB是直径可得NAGB=90。，从而可得/KGE=90"a,GE=KE可得

ZEKG=90°-a,这样在AGKE中可得NE=2a,由NFGB=，/ACH可得NACH=2a,这样可得

2

ZE=ZACH,由此即可得到CA〃EF：

(3)如下图2,作NP_LAC于P,

4H3

由(2)可知NACH=NE,由此可得sinE=sin/ACH=---=—,设AH=3a,可得AC=5a,CH=4a,

AC5

CH4

贝lJtanNCAH=——=-,由(2)中结论易得NCAK=NEGK=NEKG=NAKC,从而可得

AH3

4H__

CK=AC=5a,由此可得HK=a,tanZAKH=——=3,AK=V10a,AK=710可得a=l,则AC=5；

HK

在四边形BGKH中，由/BHK=NBKG=9()。，可得NABG+/HKG=180。，ZAKH+ZGKG=180°,

ZACG=ZABG可得NACG=NAKH,

4PN

在Rtz^APN中，由tan/CAH=-=——，可设PN=12b,AP=9b,由

3AP

PN5

tanZACG=——=tan/AKH=3可得CP=4b,由此可得AC=AP+CP=I3b=5,则可得b=一，由

CP13

此即可在RtACPN中由勾股定理解出CN的长.

试题解析：

（1）如图1,连接OG.

•；EF切。。于G,

.,.OG±EF,

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・・・NAGO+NAGE=90。,

•・・CD_LAB于H,

・•・ZAHD=90°,

・・・ZOAG=ZAKH=90°,

VOA=OG,

/.ZAGO=ZOAG,

AZAGE=ZAKH,

VZEKG=ZAKH,

・・・NEKG=NAGE,

・・・KE=GE.

(2)设NFGB=a,

VAB是直径，

，ZAGB=90°,

・・・NAGE」=NEKG=90。-a,

・・・ZE=180O-ZAGE-NEKG=2a,

VZFGB=yZACH,

.*.ZACH=2a,

AZACH=ZE,

ACAZ/FE.

(3)作NPJ_AC于P.

VZACH=ZE,

AH3”

/.sinZE=sinZACH=-----=—,设AH=3a,AC=5a,

AC5

rI/-------------；-----------------------7C/7q

则CH=，4U一C"-=4〃，tanZCAH=——

AriJ

VCA/7FE,

AZCAK=ZAGE,

VZAGE=ZAKH,

・・・NCAK=NAKH,

AH>_；-----------「

・・・AC=CK=5a,HK=CK-CH=4a,tanZAKH=——=3,AK74H?+HK?=Ma

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VAK=V10，

:•亚a二厢,

•\a=l.AC=5,

VZBHD=ZAGB=90°,

AZBHD+ZAGB=180°,

在四边形BGKH中，ZBHD+ZHKG+ZAGB+ZABG=360°,

/.ZABG+ZHKG=180°,

VZAKH+ZHKG=180°,

・・・NAKH=NABG,

VZACN=ZABG,

AZAKH=ZACN,

:.tanZAKH=tanNACN=3,

•・・NPJ_AC于P,

AZAPN=ZCPN=90°,

PN4

在RtZkAPN中，tanZCAH=——=-,设PN=12b,贝ijAP=9b,

AP3

PN

在RtACPN中，tanZACN=——=3,

CP

・・・CP=4b,

AAC=AP+CP=13b,

・.・AC=5,

A13b=5,

.5

••b=—,

13

______2Q_

*'•CN=^PN2+CP2=4Vio-/>=—Vio.

26.己知，抛物线y=ax2+ax+b(a六0)与直线y=2x+m有一个公共点M(1,0),且a〈b.

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(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示)；

(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N,求aDNIN的面积与a的关系式；

(3)a=-l时，直线y=-2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称，现将线

段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0),若线段GH与抛物线有两个没有同的公共点，试求t

的取值范围.

927327

【正确答案】(1)b=-2a,顶点D的坐标为(-；,--a)；(2)-----------a；(3)2<t

2A48

9

<-.

4

【分析】(1)把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式,

化为顶点式可求得其顶点D的坐标；

(2)把点M(1,0)代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y,

可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a<b,判断a<0,确定D、M、

N的位置，画图1,根据面积和可得4DMN的面积即可；

(3)先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2,先联立方程组可求得当GH与抛物线只有

一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物

线有两个没有同的公共点时t的取值范围.

【详解】解：(1),抛物线y=ax?+ax+b有一个公共点M(1,0),

；.a+a+b=0,即b=-2a,

抛物线顶点D的坐标为(4-

LA

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(2),直线y=2x+m点M(1,0),

0=2x1+m,解得m=-2,

，y=2x-2,

y=2x-2

则｛—2。，

y—cix+ux—26f

得ax?+(a-2)x-2a+2=0,

(x-1)(ax+2a-2)=0,

2

解得x=l或x=—-2,

a

24

・・・N点坐标为(一・2,--6),

aa

Va<b>即a<-2a>

Aa<0,

如图1,设抛物线对称轴交直线于点E,

：.E(-y,-3),

、24、

VM(1,0),N(--2,--6),

aa

设aDMN的面积为S,

i/29a、27327

••S=SADEN+SADEM=YI(­-2)-1H---(-3)|=-------------a»

2a44a8

(3)当a=-l时，

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i9

抛物线的解析式为：y=-x2-x+2=-(x+—)2+—,

24

y=-—x+2

由〈，

-x2-x+2=-2x,

解得：X]=2,X2=-l,

AG(-1,2),

・・•点G、H关于原点对称，

AH(1,-2),

设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t,

-x2-x+2=-2x+t,

x2-x-2+t=0,

△=l-4(t-2)=0,

9

t=-,

4

当点H平移后落在抛物线上时，坐标为(1,0),

把(1,0)代入y=-2x+t,

t=2,

9

・・・当线段GH与抛物线有两个没有同的公共点，t的取值范围是2<t<

本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的

面积等知识.在(1)中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在(2)中联立两函数解

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析式，得到关于X的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个

交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大.

2022-2023学年上海市虹口区中考数学专项突破仿真模