中南大学2002-2011年研究生入学考试数学分析试题

中南大学2002-2011年研究生考试数学分析试题2002年一、求下列极限（1）；（2）；（3）。二、（共16分，每小题8分）设函数，（1）证明连续；（2）是否一致连续？（请说明理由）。三、（共16分，每小题8分）（1）设，求阶全微分；（2）设，，变换以下方程。四、（共20分，每小题10分）（1）求积分；（2）求曲面，和所围成的体积。五、（共12分，每小题6分）设，（1）求的条件收敛域；（2）求的绝对收敛域。六、证明：积分是参数的连续函数。七、（8分）设定义于上的函数存在三阶的导函数，且，，证明：。2003年一、（共27分，每小题9分）求下列极限（1）；（2）；（3）设在上可积，且，求。二、（共24分，每小题12分）设函数在上连续，（1）证明：若存在，则在上一致连续；（2）上述逆命题是否成立？（请给出证明或举出反例）。三、（共27分，每小题9分）设（1）求偏导数和；（2）讨论函数和在原点的连续性；（3）讨论在原点的可微性。四、（共30分，每小题15分）（1）求在处的幂级数展开式及其收敛半径；（2）计算三重积分，其中是由曲面与平面所围的区域。五、（12分）计算下列曲面积分，（2）在区间上。三、（20分）证明下列拉格朗日定理并叙述其几何意义：“若函数在上连续，在上可导；则在内至少存在一点，使。”四、（20分）求半径为的球内嵌入有最大体积的圆柱体的体积。五、（共36分，每小题12分）（1）求积分；（2）求第一类曲面积分其中为体积的边界；（3）分别研究函数项级数在下列区间上的一致收敛性：（a）在上，其中（b）在上。六、（12分）设是上的非负可积函数序列，且存在。若，有；证明对任何一个上的连续函数都有。七、（12分）设，都是周期函数，且；证明。2006年判断题：（每题5分，共25分）若级数收敛，则（）；收敛的数列一定有界.（）；开区间内可导的函数一定在闭区间上连续.（）；若函数在点附近具有二阶连续导数，且，，则在处达到极小值.（）；若函数在上有定义且是连续的，而且极限存在且有限，则在此区间上一致连续.（）.求下面数列的极限值：（每小题10分，共30分）（1）其中为常数；（2）；（3）求下列函数的极值：（每小题10分，共20分）（1）；（2）（20分）设收敛，收敛，试证明级数收敛.（15分）若非负函数在上连续，且则（20分）设在上连续，证明其中七、（20分）若函数（1）在区间上有二阶导函数，（2）则在区间内至少存在一点使得2007年判断题：（正确的打√，错误的打×，每题5分，共25分）任何定义在上的函数都可以表示成一个偶函数和一个奇函数之和。（）设连续且，则（）若序列收敛，则和必有一序列收敛。（）若对任意，函数在上连续，则在内连续。（）若函数在内连续且有极大值点，则。（）求下列极限值：（每小题10分，共20分）（1）；（2）其中（20分）求曲线在点处的切线方程和法线方程。（15分）试证明时（20分）试求（25分）设为的连续函数，证明（25分）设函数在上可导且非常数函数，，试证明，在中至少存在一点，使得2008年一、判断题（5分，共25分）若函数在闭区间上一致连续，则在开区间内可导设在闭区间上连续，在内每一点存在有限的左导数，且，则至少存在一点使得在处的左导数等于0若序列和序列都收敛，则序列和序列必收敛若函数是在区间上的连续递增函数，则在内可导且若序列收敛，则它一定有界计算题（10分，共20分）（1）求级数（2）求积分三、（20分）在什么条件下三次抛物线与轴相切？并求出其切点四、（15分）设函数在区间内有有界的导函数，证明在内一致连续五、（20分）若在区间内可导，且，证明六、（25分）设：（i）在闭区间上有二阶连续导数；（ii）在区间内有三阶导函数；（iii）且下面等式成立：及证明在内存在一点使得七、（25分）设＞0且，定义函数证明（i）是内的下凸函数（ii）在内有根的充要条件是＞02009年计算题（10分，共60分）计算极限已知，求已知条件收敛，计算极限求空间曲线在处的法平面方程计算曲面被柱面所截下那一部分的面积计算，其中是曲面上的部分，并取外侧二、（20分）证明在上一致连续，但不一致连续三、（15分）已知在处取得极小值。假设在邻域内有连续的二阶偏导数，证明四、（20分）求幂级数的收敛域；如果其和函数是，证明：时恒有五、（25分）设在内是可微函数，令如果，求六、设，证明函数列在上一致收敛2010年计算题(每小题10分，共60分)计算极限2.设f(x)具有二阶导数，在x=0的某个去心邻域内f(x)0，且求求曲面上平行于平面的切平面方程，并求切点处的法线方程.设当时，求.计算曲面积分，其中S为球面.计算其中是边长为a的正立方体的表面，并取外侧.设在上连续，且证明(20分).设是由所围成的闭区域，求函数在上的最小值和最大值(20分).已知二阶可导且，试证对任意给定的三个