画法几何及土木工程制图曲面体

画法几何及土木工程制图曲面体第1页/共65页2目录

§7-1

平面与曲面体表面相交

§7-2直线与曲面体表面相交

§7-3多面体与曲面体表面相交

§7-4两曲面体表面相交第2页/共65页3§7-1平面与曲面体表面相交

一、截交线

由曲面围成或由曲面和平面围成的立体称为曲面体。平面与曲面体表面相交，在一般情况下，截交线是由平面曲线或平面曲线和直线所组成的封闭图形。

曲面体的截交线是曲面体表面和截平面的共有点的集合。

第3页/共65页4§7-1平面与曲面体表面相交

只需作出截交线上直线段的端点和曲线上的一系列点的投影，并连成直线和光滑曲线，便可得出截交线的投影。为了较准确地得到截交线的投影，一般要求作出截交线上特殊点的投影，如最高、最低点，最前、最后点，最左、最右点，可见与不可见的分界点，截交线本身固定有的特殊点（如椭圆长、短轴的端点，抛物线顶点）等。第4页/共65页5§7-1平面与曲面体表面相交

二、求作截交线的方法

1.辅助平面法

为了求作截平面P与圆锥的截交线上的点，选用水平面Q作为辅助平面。平面Q与圆锥面的交线C为一水平圆，平面Q与已知的截平面P的交线为直线AB。C与AB的交点Ⅰ和Ⅱ即为锥面和截平面的共有点。作一系列水平辅助面，可得到相应的一系列交点，连成光滑曲线即为截交线。动画第5页/共65页6§7-1平面与曲面体表面相交

辅助平面的选取原则：

选取辅助平面时应使它与曲面体的交线的投影为简单而又易于绘制的直线或圆。因此，辅助平面往往选为投影面平行面或投影面垂直面。第6页/共65页7§7-1平面与曲面体表面相交

2.素线法

假如曲面体的曲表面为直纹面，那么可通过求出曲面上直素线与截平面的交点来作出截交线上的点。

3.表面定点法

当截交线的某一投影为已知时，也可利用作表面上点的方法作出截交线的其余投影。动画点击2次第7页/共65页8§7-1平面与曲面体表面相交

三、平面与圆柱相交

对于柱面，当截平面平行于柱面的素线时，交线为直线；当截平面不平行于素线时，交线为平面曲线。对于圆柱面，根据截平面与圆柱的相对位置不同，交线为两平行直线、圆或椭圆。第8页/共65页9§7-1平面与曲面体表面相交

截平面与圆柱面的交线第9页/共65页10§7-1平面与曲面体表面相交

例7－1

已知圆柱被截后的正面投影和侧面投影，试作该圆柱的水平投影及截交线的实形。

解：截平面与柱轴斜交，截交线为椭圆。从图中还可知，截平面为正垂面，截交线的正面投影与截平面的正面投影重合。圆柱轴线为侧垂线，圆柱的侧面投影为圆，截交线的侧面投影在此圆周上。

动画第10页/共65页11§7-1平面与曲面体表面相交例7-1的作图过程动画点击后自动演播第11页/共65页12§7-1平面与曲面体表面相交例7-1的作图过程动画点击后自动演播第12页/共65页13§7-1平面与曲面体表面相交

圆柱截断的应用实例：管道端部的挡土墙涵洞出入口第13页/共65页14§7-1平面与曲面体表面相交

例7-2

已知正垂面与斜圆柱相交，试作截交线及其实形。

解：截交线的正面投影与截平面的正面迹线PV重合，为一直线。用素线法求出若干个点的投影，连成光滑曲线。

动画点击1次第14页/共65页15§7-1平面与曲面体表面相交

四、平面与圆锥相交

对于圆锥面，根据截平面P与圆锥的相对位置不同，交线有两相交直线、圆、椭圆、抛物线和双曲线，这五种交线统称为圆锥截线。第15页/共65页16§7-1平面与曲面体表面相交

截平面与圆锥面的交线第16页/共65页17§7-1平面与曲面体表面相交

例7-3

已知截头圆锥的正面投影,试作其截交线的水平投影、侧面投影和实形。

分析：截平面与圆锥的所有素线相交，截交线为椭圆。

作图：看动画动画第17页/共65页18§7-1平面与曲面体表面相交圆锥被正垂面截断的工程实例：渠道进水口的边坡

在工程应用中，圆锥有时以部分锥面的形式出现，如图中的边坡面为1/4的圆台表面。点击2次第18页/共65页19§7-1平面与曲面体表面相交

五、平面与球相交

平面与球相交，不论截平面的位置如何，截交线总是圆。而圆的投影则可能是直线、圆、椭圆。第19页/共65页20§7-1平面与曲面体表面相交

例7-4

已知球被铅垂面P截断，试作出被截后球的正面投影、侧面投影和截交线的实形。

解：看演播点击后自动演播第20页/共65页21§7-1平面与曲面体表面相交

例7-4

已知球被铅垂面P截断，试作出被截后球的正面投影、侧面投影和截交线的实形。

解：看演播点击后自动演播第21页/共65页22§7-1平面与曲面体表面相交

例7-5

已知带切口的半球的正面投影，试作出其余两投影。

分析：切口由一个水平面和两个侧平面组成，并对称于半球的对称面。水平面与球的截交线，在水平投影中反映圆的实形。侧平面与球的截交线，在侧面投影中反映圆的实形。点击1次第22页/共65页23§7-1平面与曲面体表面相交

六、平面与旋转体相交

通常利用辅助平面法作出平面与一般旋转体相交后所得的截交线。点击1次第23页/共65页24§7-1平面与曲面体表面相交

例7-6

已知旋转体被正平面P截断，试作其截交线。

分析：截交线的水平投影为直线。因为旋转轴为铅垂线，旋转面上纬圆的水平投影反映圆的实形，所以选取水平面为辅助平面。

解：看动画动画点击2次第24页/共65页25§7-2直线与曲面体表面相交

直线与曲面体相交，如果直线是从立体的一端穿入，另一端穿出，则称为直线与立体贯穿。如果曲面体表面的投影或直线的投影具有积聚性，那么，贯穿点的投影在有积聚性的投影中为已知，其余投影可利用表面上作点的方法求得。第25页/共65页26§7-2直线与曲面体表面相交

例7-7

已知圆柱与任意倾斜直线AB相交，试作其贯穿点。

解：因为柱轴为铅垂线，柱面的水平投影积聚为圆。所以贯穿点N、M的投影可利用积聚性求得。

直线穿入立体内的部分不画。贯穿点以外的直线段应区别其可见性。动画点击2次第26页/共65页27§7-2直线与曲面体表面相交

例7-8

已知正垂线与圆锥相交，试作其贯穿点。解：直线AB为正垂线，正面投影积聚为一点a'(b')，贯穿点Ⅰ和Ⅱ的正面投影1'（2'）也与a'(b')重合。过此点作水平辅助面Q，在水平投影中可作出贯穿点的投影1和2，由此得到侧面投影1"和2"。点击1次第27页/共65页28§7-3多面体与曲面体表面相交

多面体与曲面体相贯，其相贯线一般是由若干段平面曲线或由平面曲线和直线所组成的空间封闭线。第28页/共65页29§7-3多面体与曲面体表面相交

每一段平面曲线（或直线段）是多面体上一个棱面与曲面体表面的交线；相邻两段平面曲线或曲线与直线的交点，是多面体的棱线与曲面体的贯穿点。因此求作多面体和曲面体的相贯线，可以归结为求作截交线和贯穿点。第29页/共65页30§7-3多面体与曲面体表面相交

求作多面体和曲面体相贯线的方法主要有辅助平面法和素线法，有时也可用表面上作点的方法作出相贯线。第30页/共65页31§7-3多面体与曲面体表面相交例7-9

已知四棱锥与圆柱相贯，求作相贯线。第31页/共65页32§7-3多面体与曲面体表面相交

分析：圆柱轴线为铅垂线，柱面的水平投影积聚为圆，相贯线的水平投影在此圆上。四棱锥的锥顶在柱轴上，四个棱面中的两个为正垂面，两个为侧垂面，部分相贯线的正面投影和侧面投影位于这些棱面的有积聚性的投影上。

解：看动画动画第32页/共65页33§7-3多面体与曲面体表面相交

从图中还可知，四段截交线均为椭圆，相邻两段椭圆弧的交点为棱线与柱面的贯穿点。由以上分析可知，可以用表面作点的方法来解题。

第33页/共65页34§7-3多面体与曲面体表面相交例7-10

已知三棱柱与圆锥相贯，求作相贯线。第34页/共65页35§7-3多面体与曲面体表面相交

分析：三棱柱的三个棱面为正垂面和水平面，正面投影为三角形，相贯线的正面投影在此三角形上。从正面投影可知，棱面AB、AC、CB与锥面的交线分别为水平圆、椭圆、直素线、它们组成了相贯线。第35页/共65页36§7-4两曲面体表面相交

两曲面体的相贯线，在一般情形下是封闭的空间曲线，特殊情形下可能是平面曲线或直线。求作相贯线，一般通过求出两曲面体表面上一系列的共有点，连成光滑曲线，并表明其可见与不可见部分，即得相贯线。点击2次第36页/共65页37§7-4两曲面体表面相交

根据两曲面体的表面形状、曲面体与投影面的相对位置和曲面体之间的相对位置，求相贯线上点的常用作图方法有：表面定点法、辅助平面法和辅助球面法。第37页/共65页38§7-4两曲面体表面相交

一、表面定点法

当曲面体上的曲表面的投影具有积聚性时，相贯线在该投影面上的投影与曲表面有积聚性的投影重合，这时，可利用有积聚性的投影，通过表面上作点的方法作出相贯线的其余投影。

第38页/共65页39§7-4两曲面体表面相交

例7-11

已知两圆柱的投影，轴线正交，试作出其相贯线。

分析：大圆柱的轴线为铅垂线，柱面的水平投影积聚为圆，相贯线的水平投影在此圆周上。小圆柱的轴线为侧垂线，柱面的侧面投影积聚为圆，相贯线的侧面投影位于此圆上。

解：看动画动画点击1次第39页/共65页40§7-4两曲面体表面相交

利用作两圆柱相贯线的方法可作出圆柱穿孔后的相贯线。

如图所示，在铅垂圆柱D1上穿通了一个孔，孔径为D2，孔为圆柱面，轴线为侧垂线。相贯线的作法和形状与例7-11相同。点击1次第40页/共65页41§7-4两曲面体表面相交

利用作两圆柱相贯线的方法可作出圆柱穿孔后的相贯线。

如图两正交圆柱管，两管外表面的相贯线为可见（实线），内表面的相贯线为不可见（虚线）。相贯线的作法也与例7-11相同。第41页/共65页42§7-4两曲面体表面相交

二、辅助平面法

用一个平面截两个曲面体后，假如与两曲面体的截交线的投影都是简单图形，如圆或直线，那么可将该平面作为求作两曲面体相贯线上点的辅助平面。通常优先选取投影面平行面作为辅助平面。点击1次第42页/共65页43§7-4两曲面体表面相交

例7-12

已知轴线正交的圆柱和圆锥相贯，其中柱轴为侧垂线，锥轴为铅垂线，试作出相贯线。

解：圆柱的侧面投影为圆，相贯线的侧面投影在此圆上。为了作出相贯线的其余两投影，选取水平面作为辅助平面。作图过程看动画

动画点击1次第43页/共65页44第44页/共65页45§7-4两曲面体表面相交

水平辅助平面P与圆柱交于两条平行的直线，与圆锥交于半径为rP的圆，直线与圆交出相贯线上的点。作一系列的水平辅助平面S、Q、T等，可得到一系列的共有点，连成光滑曲线，即为所求的相贯线。

点击1次第45页/共65页46§7-4两曲面体表面相交

例7-13

已知圆柱与环相贯，其中柱轴为铅垂线，环的旋转轴为正垂线，试作出相贯线。

解：圆柱的水平投影积聚为圆，相贯线的水平投影在此圆上。又因为环的旋转轴为正垂线，所以选取正平面作为辅助面。

点击1次第46页/共65页47第47页/共65页48§7-4两曲面体表面相交

例7-14

已知轴线斜交的两圆柱相贯，其中大圆柱的轴线为侧垂线，小圆柱的轴线为水平线，试作出其相贯线。

分析：大圆柱的侧面投影积聚为圆，相贯线的侧面投影在此圆上。为了作出相贯线的其余两投影，作辅助平面。由于两柱轴线都平行于H面，所以可选取水平面作为辅助平面。点击1次第48页/共65页49动画第49页/共65页50§7-4两曲面体表面相交

三、辅助球面法

假定两个旋转面具有一公共轴线，则它们的交线一定是圆。因为球也是旋转面，所以当球面与另一旋转面相交，并且球心在该旋转面的轴线上时，交线一定是垂直于旋转轴的圆。

假如旋转轴平行于某个投影面，那么这个圆在该投影面上的投影为一直线段。点击1次第50页/共65页51§7-4两曲面体表面相交

下面左图为球心在圆柱轴线上，右图为球心在圆锥轴线上，这时，球面与柱面、锥面的交线分别为垂直于柱轴、锥轴的圆。因为柱轴、锥轴都为铅垂线，所以交线（圆）的正面投影成为直线段（水平线）。

第51页/共65页52§7-4两曲面体表面相交

运用辅助球面法的条件是：

(1)参与相贯的两曲面体必须都是旋转体，从而使它们与辅助球面的交线都是圆。

(2)两曲面体的轴线必须相交，交点可作为辅助球面的中心。

(3)两曲面体的轴线应同时平行于某个投影面，从而使交线（圆）在该投影面上的投影成为直线。如果两轴线不平行于任一投影面，则可利用辅助投影使它们满足平行于某一投影面的条件。点击4次第52页/共65页53§7-4两曲面体表面相交

例7-15

已知圆柱与一般旋转体相贯，轴线斜交，柱轴为正平线，旋转体轴线为铅垂线，试作相贯线。

分析：此题用辅助平面法很难准确地作出相贯线上的点，而采用辅助球面法则可解决。将球心设在轴线的交点O(o,o)上，球面与两旋转面的交线都是圆，且圆的正面投影为直线段。所以，作图时只需画出球面的正面投影。

点击1次第53页/共65页54第54页/共65页55§7-4两曲面体表面相交

四、相贯线的特殊情形

两曲面体的相贯线一般为封闭的空间曲线，但在特殊情形下，相贯线可以是平面曲线或直线。点击1次第55页/共65页56§7-4两曲面体表面相交

1．当两圆柱面的素线平行时，相贯线为直线和一段圆弧。当两圆锥共锥顶时，相贯线为直线。点击2次第56页/共65页57§7