江西省南昌市2023届高三理数三模试卷含答案

高三理数第三次模拟测试试卷一、单选题1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．命题“若，都是奇数，则是偶数”的逆否命题是（）A．若不是偶数，则，都不是奇数B．若不是偶数，则，不都是奇数C．若，都是偶数，则是奇数D．若，都不是奇数，则不是偶数3．若复数的实部和虚部均为整数，则称复数为高斯整数，关于高斯整数，有下列命题：①整数都是高斯整数；②两个高斯整数的乘积也是高斯整数；③模为3的非纯虚数可能是高斯整数；④只存在有限个非零高斯整数，使也是高斯整数其中正确的命题有（）A．①②④ B．①②③ C．①② D．②③④4．某工厂研究某种产品的产量（单位：吨）与某种原材料的用量（单位：吨）之间的相关关系，在生产过程中收集了4组数据如表所示：34672.5345.9根据表中的数据可得回归直线方程，有下列说法：①与正相关；②与的相关系数；③；④产量为8吨时预测原材料的用量约为6.19吨.其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．某正方体被截去部分后得到的空间几何体的三视图如图所示，则该空间几何体的体积为（）A． B． C． D．6．已知两条直线：，：，有一动圆（圆心和半径都在变动）与，都相交，并且，被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹是（）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．直线7．已知实数满足，则下列关系式不可能成立的是（）A． B． C． D．8．科学记数法是一种记数的方法.把一个数表示成与10的次幂相乘的形式，其中，.当时，.若，则数列中的项是七位数的有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个9．已知的内角，，所对的边分别为，，，，，.，分别为线段，上的动点，，则的最小值为（）A． B． C． D．10．已知双曲线：的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，且，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则双曲线的离心率为（）A． B．2 C．3 D．411．设，，（为自然对数的底数），若不是函数的极值点，则的最小值为（）A． B． C． D．12．已知长方体中，，，，为矩形A1B1C1D1内一动点，设二面角为，直线与平面所成的角为，若，则三棱锥体积的最小值是（）A． B． C． D．二、填空题13．已知，，则向量与的夹角为.14．已知实数，满足约束条件，则的最小值为.15．已知函数的最大值为-1，则实数的取值范围是.16．已知函数，现有以下说法：①直线是图象的一条对称轴；②在单调递增；③，.则上述说法正确的序号是.三、解答题17．已知数列为等比数列，且，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18．如图，正方形所在的平面与菱形所在的平面互相垂直，为等边三角形.（1）求证：；（2），是否存在，使得平面平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.19．已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，与平行的直线交椭圆于，两点，直线，分别于轴正半轴交于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求证：为定值.20．甲、乙两名选手争夺一场乒乓球比赛的冠军.比赛采取三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束，且该选手夺得冠军.根据两人以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为，，且每局比赛的结果相互独立.（1）求甲夺得冠军的概率；（2）比赛开始前，工作人员买来一盒新球，共有6个.新球在一局比赛中使用后成为“旧球”，“旧球”再在一局比赛中使用后成为“废球”.每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，如果这颗球成为废球，则直接丢弃，否则裁判员将其放回盒中.记甲、乙决出冠军后，盒内新球的数量为X，求随机变量X的分布列与数学期望.21．已知函数.（1）当时，判断的单调性；（2）若时，设是函数的零点，为函数极值点，求证：.22．已知直线的参数方程为：（为参数），曲线的极坐标方程为：.（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知直线和曲线交于两点，设点，求.23．已知函数，已知不等式恒成立.（1）求的最大值；（2）设，，求证：.

1．C2．B3．A4．C5．C6．C7．D8．B9．C10．B11．B12．C13．14．-315．16．①②17．（1）解：因为，所以，两式相除可得，即，因为，所以，可得，所以，所以.（2）解：，则①②①-②可得：，故.18．（1）证明：连接交于，因为四边形为菱形，所以，又正方形所在的平面平面，且平面平面，因为，所以平面，所以，又，所以平面，因为平面，所以；（2）解：存在.以为原点，，的方向为轴，轴，过点作菱形所在的平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，因为，设点，则，所以点，，，设平面的法向量为，则有，可得，，，设平面的法向量为，则有，可得，由可得.当时，，，，则，令，则法向量，此时，综上可知：成立.19．（1）解：由题意，解得，所以椭圆的标准方程为；（2）解：因为直线的斜率为，则设直线的方程为，，联立，得，则，解得或，，直线的方程为，令，则，同理可得，则.所以为定值.20．（1）解：记事件“甲在第i局比赛中获胜”，，事件“甲在第i局比赛中未胜”.显然，，.记事件“甲夺得冠军”，则.（2）解：设甲乙决出冠军共进行了Y局比赛，易知或.则，故.记“第i局比赛后抽到新球”，“第i局比赛后抽到旧球”.因为每个求最多使用两次，故X的取值为：3，4，5.由题意知比赛前盒内有6颗新球.比赛1局后，盒内必为5颗新球1颗旧球，此时，.若发生，则比赛2局后，盒内有4颗新球，2颗旧球，此时，.若发生，则比赛2局后，盒内有5颗新球，故下次必取得新球.即.于是.故X的分布列为X345P故X的数学期望.21．（1）解：当时，，所以，令，，，即，在单调递增，，即，在单调递增；（2）证明：由于，设，，当时，，则在为减函数；当时，，则在为增函数；，当，，所以存在，使得，即，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，，当，，所以在区间必存在一个零点，令，则：，设，则，由（1）知，，所以在为增函数，，所以，根据零点存在判定定理可知，即.22．（1）解：由直线参数方程得：，即直线的普通方程为：；由得：，，即曲线的直角坐标方程为：.（