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文档简介
A2ixiyAA
Bix Cixiy(AB)A与BB与C,C与A A2ixiy Bix Cixiy AB3ix AC3ix2iy (AB)C cos(A^B)3 3
A|A||BB
32 36cos(B^C) |B||C C cos(C^A) |C||A iˆ z(5)|AC|det 12 2A(BC)B(AC)C(AA(BC)B(CA)C(AA(BC)B(AC)C(Aiˆ iˆ 左=(iˆaxiˆayiˆaz) bz
byczbz
bzcx
bxcyby
(1)2
B(C
A(BC)B(C
(1)2
C(A
A(BC)B(AC)C(AA(BC)B(CA)C(A XOYBC,Aixaxiyayiz Bixbx C (注意,这里不能说取CixcxBixbxiyby,因为这样并不具有一般性)AB
(iˆaiˆaiˆa)(iˆbc y z zyiˆabciˆabxy xyyaxiˆayiˆaz)bx
byxxiˆabciˆabciˆabciˆabxx yxy xxx xyyiˆabciˆabxy xyy左AB (iˆaiˆaiˆa)(iˆbcx y z zyazby中BC (iˆbiˆb)(iˆaciˆacx y yz zyazbyCA (iˆc)[iˆabiˆabiˆ(ababx xz yz x azbyXB AiXAXiYAY BiXBXiYBY显然,要使XBA能成立,必须,有AB另外,由矢量的有关知识可知,只要AB,那么,可以找到任意多的X,使XAXAB。更具体的说,可通过调整X与A矢量之间的夹角,来调整X的值。所以,若 Aix2xiyziz Bix3yiyxziz求:矢量场FAi Ai AByzxyz ˆ = 2
垂直的定义,若F与AFA故FA
=yzx222xxy3y4zz2x23y A3ix4iy5iz,求A解:①若A位于原点,即如图2-5- ,补出图)所示,则有3iˆ4iˆ A A =334 A AA
ˆ A
z其中z
3 rArS=
其中tg13
42 2r Sr
Ai(3iX4iY5iZ)(ixcoscosiycossinizsinA
iˆ A rSA3rSS
其中rSr
4
13CˆxC
ˆryˆryC
iˆ得
Aix3iy4iziˆ3cos4siniˆ4cos3siniˆ x2y x2y 其中six2y x2y ˆ3x04 ˆ4x0 x2yx2y x2y
其中 iˆ,iˆ均为tg1y0处的iˆ,iˆ,即rC,
xrC,x0
tg1tg1rxrxSˆryˆryS
SˆzS
xxz其中sin cos x2y sinx2y ˆ3x4y
3xz4yz5x2y2
4x 0 x2y2zx2y2z x2y Sx2y x其中iˆ,iˆ,iˆ均为tg tg1y0处的iˆx2y xzrSz0
rS0rrˆSrr
1x2y2 1 1x2y2 1y x0ˆ
x2y2 1y 0,tg0 0,tg0ˆ
x2y2 1y 0,tg0 0,tg02- 已知E=iˆiˆiˆ,iˆ2iˆ ,2iˆiˆiˆ, 解:E,E, 分别为E在,,上的投影
EEi, EiEEi, 1 ˆi ix2iyiˆ12iˆiˆiˆ6 6
ˆ2
432ix3iy 1 ˆ E
2ix3iy Ei 2 Ei E Ei
)6 3
sincos cos52
sincos543同理P2:x2 y2 z23(x2x1)2(x2x1)2(y2y1)2(z2z414120PP=iˆ(xx)iˆ(yy)iˆ(zz1 3) PP=iˆ(353)iˆ 5iˆ(2533)1 3 =P1P2 [iˆ(353)iˆ 5)iˆ(25334120 4120f(r) :(1)等值面方程为:令: (c是常数 其 (0cx2yx2y可见,等值面是一族不含顶点(x=0,y=0)c2所以,等值面方程为tg1 (x2y2 其图形为不含原点的锥面。如图2-x2y20
rs f(r)x2y f(rAixiyiz解:(1)等值面方程为:x22y22z2cf(1,1,1)x22y22z22-9所以f的方向即为法线方向 f2xix4yiy f(1,1,1)2ix4iyin
1 2 23ix3iy3 f
f(rA3 3 AA
(f 10 A) (UV)VUUV设广义坐标系的坐标变量为u1,u2,u3,坐标单位矢量 i1,i2,i3,长度系数为h1,h2,h3 UU(u1,u2,u3 VV(u1,u2,u3(UV)[U(u,u,u)V(u,u,u
i
i3
1h
2h
h
i1
(VuUu)i2
(VuUu)i3
(VuUu(
U1U
1
)V
V
1
Vh
i2h i3
i1h
i2h i3h
(U)V(V (UV)(U)V(U(VU)(V)U(U)V(U)V(V(VU)(U)V(V)U(VU 2-11已知(r) r,求(r)在(x=1,y=0,z=1)点处的值。(r iˆiˆ[(3)rs
2在(1,0,1)处,rs 2所以 iˆ (1)(1)iˆ rs 2rs iˆ1iˆ 2rs iˆ
1cos zcos(aiˆ)z所以夹角
z|(1,0,1)z z F(rix(xy3iyP1(1,2)P2(2,4)的路径积分值;1)由P1到P2的直线, Fds (xy)dx Fds2(x24x2dx6dx53FP P P 对于路径2,Fds Fds Fds
Fds
y)dx3dy
y)dx3dy1
4)dx2
3
计算r2ds,其中r ,c为(,补出图C1(0,0,0)2(0,0,0)第一段:y=0,z=0,x0第二段:x=1,z=0,y0 1)[(x2y2z2)2]2dsx2dx(1y2)dy (y (2)(0,0,0)(1,2,0)1[(x2y2
1(x24x2)(1z)2]
y)2=
122dx=5 解:zrs
2iˆ rrs
iˆsincosiˆsinsiniˆ 2
d2(iˆsincos
sinsin
(iˆsinsiniˆsincosiˆcos)| zz1 1ˆ,1 1ˆ(r)r2 (r)r2其中,r ,和分别表示对(x,y,z)和(x,y,z)的(x(xx)2(yy)2(z1 r(xx)2(yy)2(z(xx)2(yy)2(zx y z=[iˆ(xx)iˆ(yy)iˆ(zz)] =[iˆ(xx)iˆ(yy)iˆ(zz)] ==r (xx)2((xx)2(yy)2(zr(xx)2(yy)2(z(xx)2(yy)2(zx y z [iˆ(xx)iˆ(yy)iˆ(zz)] x
1r3r2(rE(r等于竟电位(rE(r(r①
0(r)V 0 ②V(x2y0(r00③(r)Vr2sin20④V
(r 0⑤(r) V0ln(a⑴
ˆ E
iysin sh V(iˆ yiˆ
y)(V/Ma0 0⑵(r)V(x2y E0⑶Vr2sin2
V(iˆ2xyiˆx2iˆ)(V/M0 (V(r 0 r rsEV0[ir2rssin2cosirs2cos2cos ss
⑷Vr (r 0VcosiˆiˆsinVcosiˆiˆsinV (V/MC C
0
(r
V0
)(Va a 1 1 V0rrC CEVrrC C
aV0r
(V/M r(1)0
EaV0ixcosaxchayiysinaxshay(V/M V00sinxchysinxchy0
(2)Viˆ2xyiˆx2iˆ(V/M 0 EV2y2V
0 02rViˆsin2cosiˆcos2cosiˆcos (V/MS S0 S
sinrcos2cos rsincos 2V 00r
rsin
cos
sin2sin
sin coscoscos6sin2coscoscos
sin
0V03sin2cos
cos6sincoscos (4)Viˆ(V/M),
00E 0 E
0
(rV0E(5)V0E
C(V/M),E 0(C/m3 (rCr CrC
00 (1820题到那里去了P67 sEda=vs为任意曲面,vs所围的体积。将上式两端同除体积V,可得: sEda=v V0(
V0(
vdv pE (1)(fAfAf左iˆAfiˆAfiˆAˆxˆyˆxˆy=z i ˆ fAy)ˆfAxfAz)iˆ(z i =ix
=iˆ(fA
A
fAy)f z Ax iˆ(fA
Axf
fAZ)
f
f
fAxy z
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