高等数学殷锡鸣函数的单调性极值与最值

高等数学殷锡鸣函数的单调性极值与最值第1页，共30页，2023年，2月20日，星期二这与定理条件矛盾

由于f(x)在[x1，x2]上满足拉格朗日中值定理条件，从定理的证明过程可以看出,将定理中的[a,b]换成(-∞，+∞),[a，+∞)，(a，+∞),

(-∞,a

]结论仍然成立说明:存在ξ(x1，x2)使第2页，共30页，2023年，2月20日，星期二证明:例

(证明恒等式)证明:设则对

,有第3页，共30页，2023年，2月20日，星期二又f(x)在上连续,根据上面的定理知令x=0第4页，共30页，2023年，2月20日，星期二2º单调性设f(x)在[a,b]上严格单调增,定理(2)f(x)在(a,b)的任意部分区间内都不恒等于零设函数f(x)在[a,b]上连续,(a,b)上可导,则f(x)在[a,b]上严格单调增(严格单调减)证明:仅对严格单调增的情形给出证明有则对任意第5页，共30页，2023年，2月20日，星期二即结论（1）成立

为证(2),采用反证法设条件(1)、(2)成立.对任意据拉格朗日中值定理

f(x)在[a,b]单调增故知(2)成立由于部分区间I上恒等于零，假设f(x)在(a,b)的某恒等于常数，这与f(x)在I上严格单调增矛盾,据定理知，f(x)在I上第6页，共30页，2023年，2月20日，星期二

为证严格单调增，假设f(x1)=f(x2)=c

即f(x)在

(x1，x2)内恒等于一个常数,

这与条件（2）矛盾

f(x1)<f(x2)

f(x)在[a,b]上严格单调增f(x)在[a，b]上严格单调增

(严格单调减)而且使f

(x)=0的点不构成区间说明:定理可简述为:第7页，共30页，2023年，2月20日，星期二解

例求的严格单调区间应用定理知:当

x(-∞,-1)时,f(x)<0f(x)严格单调减当

x(-1,1)时,f(x)>0f(x)严格单调增当

x(1,∞)时,f(x)<0f(x)严格单调减驻点:第8页，共30页，2023年，2月20日，星期二先证:当x>0时,

构造辅助函数则且使f

(x)=0的点不构成区间,

当x>0时,x>sinx再证:当x>0时,例(利用单调性证不等式)

证明:当x>0时,解由于f(0)=0当x>0时,f(x)>f(0)=0

据定理知f(x)在(0,+∞)上严格单调增,第9页，共30页，2023年，2月20日，星期二构造辅助函数则g(0)=0,下证:当x>0时,g(x)>g(0)注意到当x>0时,g(x)>g(0)=0g(x)在(0,+∞)上严格单调增当x>0时,g(x)>g(0)=0即当x>0时,由第10页，共30页，2023年，2月20日，星期二3º局部极小与极大

我们已经知道:f(x)的极值点必为临界点,但临如何判断一临界点是不是极值点?

定理(一阶充分条件)

设y=f(x)在N(x0,)内可导(在x0处可以不可导,(1)如果当x(x0-,x0)时,f(x)<0当x(x0,x0+)时,f(x)>0x0

是f(x)的局部极小点界点不一定是极值点若是极值点,则是极小还是极大值点?问题:但要求连续),则第11页，共30页，2023年，2月20日，星期二(2)如果当x(x0-,x0)时,f(x)>0当x(x0,x0+)时,f(x)<0x0

是f(x)的局部极大值点(3)当xN(x0,)时,f(x)不变号,则x0不是极值点仅对(1)加以证明

取0<1<,则(x0,x0+1)(x0,x0+),由于x(x0-1,x0),f(x)<0,f(x)

在[x0-1,x0]上严格单调减,即证明:(x0-1,x0)(x0-,x0)

利用定理知第12页，共30页，2023年，2月20日，星期二又由x(x0,x0+1),f(x)>0,f(x)

在[x0,x0+1]上严格单调增即综上所述有即x0

是f(x)的局部极小值点利用定理知第13页，共30页，2023年，2月20日，星期二例

求下列函数的极值

(1)由于f(x)在R上可微所以驻点:当x<0

时,f(x)<0f(x)当时,f(x)<0f(x)当时,f(x)>0f(x)x=0不是极值点是极小值点解极值点一定是驻点第14页，共30页，2023年，2月20日，星期二极小值:

(2)x=0,x=1是不可微点有驻点:所以f(x)的可能的极值点为:x=0,x=1是可能的极值点第15页，共30页，2023年，2月20日，星期二当x(-∞,0)时,f(x)>0f(x)当时,f(x)>0f(x)x=0不是极值点是极大值点当时,f(x)>0f(x)当x(1,+∞)时,f(x)>0f(x)x=1是极小值点所以极小值:极大值:第16页，共30页，2023年，2月20日，星期二我们注意到:

研究x0是否为f(x)的局部极值点,

即,

只需研究f(x)-f(x0

)在x0附近是否局部保号f(x)-

f(x0)0(或f(x)-

f(x0)0),

定理

(二阶充分条件)由于f(x)f(x0)(或f(x)f(x0)),泰勒公式为我们研究f(x)-

f(x0)的保号性提供方便(1)若f

(x0)>0,x0是局部极小值点;(2)若f

(x0)<0,x0是局部极大值点;(3)若f

(x0)=0,无明确结论二阶的连续导数,则设函数f(x)在驻点x0处具有第17页，共30页，2023年，2月20日，星期二证明:任取其中ξ介于x0与x

之间,即x0是局部极小值点我们仅证明(1)

由f(x0)>0,f(x)在x0处连续以及极限的保号性性质,存在>0,有当时,利用泰勒公式,有

此时ξ

N(x0,)第18页，共30页，2023年，2月20日，星期二即

是

f(x)的极大值点处取得极值,是极大值还是极小值?并求出其极值例

试问a为何值时,在

因为f(x)是可微函数,故是f(x)的驻点,当a=2时,极大值:

解即第19页，共30页，2023年，2月20日，星期二由f(x)是可微函数,并在x0处取得极值当x0>0时,所以,x0是f(x)的极小值点

在方程中令x=x0,则有f(x0)=0.当x0<0时,由于已知y=f(x)满足

如果f(x)在x00处有极值,问它是极大值还是极小值?并证明之例解第20页，共30页，2023年，2月20日，星期二4º最大值、最小值(简称最值)的计算定理（最值点与极值点的关系）

如果开区间(a,b)内的点x0是f(x)的最值点，则x0是极值点,反之不然最值的计算方法：（1）f(x)在（a,b）上的临界点；计算f(x)在[a,b]上的最值点，只需计算（3）比较这些点处函数值的大小，求出最值（2）端点x=a或x=b;第21页，共30页，2023年，2月20日，星期二比较

f(x)在[-2,3]上连续且可导,先求可能的最值点

可能的最值点为:

f(x)在(-2,3)内有驻点:

最大值为

最小值为

求函数在区间[-2,3]上的最大值和最小值例解第22页，共30页，2023年，2月20日，星期二

x=1是f(x)在(0,2)中的唯一极值点且为极小值点原不等式令,则由又

x=1是最小值点

f(x)f(1)=0,x(0,2)求0<x<2时,证明不等式例解

得f(x)在(0,2)中的唯一驻点:x=1第23页，共30页，2023年，2月20日，星期二5º最大值、最小值的问题

在实际应用中,我们经常会遇到各种各样的最优化问题(即最优值问题),在解决实际应用问题中的求解方法,其中I是某个区间这里讨论半顶角为的圆锥形容器内已有b公升的盐水,器内液面上升速度最快?例若现在开始(t=0)往容器内加注盐水,经t秒钟后,注入的盐水量为at2公升,试问从开始起,经几秒后,容第24页，共30页，2023年，2月20日，星期二

xthr（1）建立h与t的函数关系设经过时间t，水深为h,时刻t的液量=原有液量+流入液量原有液量=b,流入液量=at2时刻t的液量分析:水深h=h(t)上升速度最快就是

指ht的最大值,所以应先找出h与时间t的函数关系,再求ht

的最大值解则所以第25页，共30页，2023年，2月20日，星期二（2）建立问题的数学模型液面上升的速度:所以问题为求v(t)在t0上的最大值,

(1)(3)