第七章微分方程课题二十六一阶微分方程

第七章微分方程课题二十六一阶微分方程第一页，共44页。解一、微分方程的基本概念第二页，共44页。解第三页，共44页。代入条件后知故开始制动到列车完全停住共需第四页，共44页。凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例如

实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.1.微分方程的定义第五页，共44页。

微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.(1)按自变量个数分类:常微分方程,偏微分方程.一阶微分方程高阶(n)微分方程(2)按阶数分类:第六页，共44页。(3)按是否是线性分类:线性与非线性微分方程.(4)按方程个数分类:单个微分方程与微分方程组.第七页，共44页。

微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.微分方程解的分类：2.求微分方程的解

通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.第八页，共44页。特解:确定了通解中任意常数以后的解.初始条件:用来确定任意常数的条件.第九页，共44页。解第十页，共44页。所求特解为解微分方程:初等积分法.求解微分方程求积分第十一页，共44页。思考题思考题解答中任意常数的个数小于此方程的阶数,故为该微分方程的特解.第十二页，共44页。二、可分离变量的微分方程称为可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解.分离变量法1.定义第十三页，共44页。[例4]求微分方程解分离变量两端积分第十四页，共44页。方程为可分离变量微分方程，分离变量得解故所求通解为两边同时积分得第十五页，共44页。三、齐次方程的微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换代入原式可分离变量的方程1.定义第十六页，共44页。第十七页，共44页。[例6]求解微分方程微分方程的通解为解第十八页，共44页。[例7]求解微分方程解第十九页，共44页。微分方程的解为第二十页，共44页。有的微分方程可利用变量代换求解.解代入原方程原方程的通解为第二十一页，共44页。(微分方程，微分方程的阶，微分方程的解（通解、特解），初始条件）小结1.微分方程的基本概念2.可分离变量的微分方程3.齐次微分方程第二十二页，共44页。练习题32第二十三页，共44页。上方程称为一阶线性齐次微分方程.上方程称为一阶线性非齐次微分方程.四、一阶线性微分方程例如线性的;非线性的.定义这样的方程称为一阶线性微分方程.第二十四页，共44页。齐次方程的通解为1.一阶线性齐次微分方程的解法分离变量法第二十五页，共44页。2.一阶线性非齐次方程的解法分析两边积分非齐次方程通解与齐次方程通解相比:第二十六页，共44页。

象这种把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法称为常数变易法.方法:设是一阶线性非齐次微分方程的解.积分得第二十七页，共44页。一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程的通解该非齐次方程的特解第二十八页，共44页。解法一（常数变易法）[例1]第二十九页，共44页。第三十页，共44页。解法二（公式法）[例1]第三十一页，共44页。设所求曲线方程为，由题意得

解将代入上式得，.因此所求曲线的方程为.

第三十二页，共44页。两边求导得解解此微分方程第三十三页，共44页。所求曲线为第三十四页，共44页。伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.

方程为非线性微分方程.*五、伯努利方程解法:需经过变量代换化为线性微分方程.第三十五页，共44页。求出通解后，将代入即得代入上式第三十六页，共44页。解*[例4]第三十七页，共44页。*[例5]

用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为第三十八页，共44页。解代入原式分离变量法得所求通解为*[例5]

用适当的变量代换解下列微分方程:第三十九页，共44页。另解所求通解为*[例5]

用适当的变量代换解下列微分方程:第四十页，共44页。思考题求微分方程的通解.思考题解答第四十一页，共44页。练习题第四十二页，共44页。通过本课题学习，学生应该达到：1．会求可分离变量的微分方程、一阶齐次微分方程、一阶线性微分方程的通