中档解答题特训之-模拟篇（6）2017年四川省自贡市高考数学一诊试卷（理科）（5个题目）

第1页（共7页）中档解答题特训之——模拟篇（6）2017年四川省自贡市高考数学一诊试卷（理科）1．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a、b、c，，△ABC的面积为．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求cos（B﹣C）的值．2．已知数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足，若n∈N*时，anbn+1﹣bn+1=nbn．（Ⅰ）求{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=anbn，求{cn}的前n项和Sn．3．甲、乙两位射击运动员，在某天训练中已各射击10次，每次命中的环数如下：甲78795491074乙9578768677（Ⅰ）通过计算估计，甲、乙二人的射击成绩谁更稳；（Ⅱ）若规定命中8环及以上环数为优秀，以频率作为概率，请依据上述数据估计，求甲在第11至第13次射击中获得获得优秀的次数ξ的分布列和期望．4．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A（Ⅰ）求证：AC⊥A1B；（Ⅱ）求二面角A﹣A1C5．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数），现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）写出直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值．答案与解析1．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a、b、c，，△ABC的面积为．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求cos（B﹣C）的值．【考点】HR：余弦定理；GP：两角和与差的余弦函数．【分析】（Ⅰ）由已知利用三角形面积公式可求a的值，进而利用余弦定理可求c的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）利用余弦定理可求cosB的值，结合范围B∈（0，π），利用同角三角函数基本关系式可求sinB，进而利用两角差的余弦函数公式计算求值得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵，△ABC的面积为=absinC=×sin，解得：a=5，∴由余弦定理可得：c===7…6分（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：cosB===，又∵B∈（0，π），可得：sinB==，∴cos（B﹣C）=cosBcos+sinBsin=×+=…12分【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．2．已知数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足，若n∈N*时，anbn+1﹣bn+1=nbn．（Ⅰ）求{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=anbn，求{cn}的前n项和Sn．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（I）由数列{bn}满足，anbn+1﹣bn+1=nbn．n=1时，可得a1b2﹣b2=b1，即﹣=1，解得a1．可得an=2n+1．代入anbn+1﹣bn+1=nbn．利用等比数列的通项公式即可得出．（II）cn=anbn=（2n+1）×．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）∵数列{bn}满足，anbn+1﹣bn+1=nbn．∴n=1时，可得a1b2﹣b2=b1，即﹣=1，解得a1=3．∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．∴[（2n+1）﹣1]bn+1=nbn，可得bn+1=bn，∴数列{bn}是等比数列，公比为．∴bn=．（II）cn=anbn=（2n+1）×．∴{cn}的前n项和Sn=+7×+…+（2n+1）×．∴=+…+（2n﹣1）×+（2n+1）×，∴=3+﹣（2n+1）×=1+﹣（2n+1）×，∴Tn=10﹣【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．甲、乙两位射击运动员，在某天训练中已各射击10次，每次命中的环数如下：甲78795491074乙9578768677（Ⅰ）通过计算估计，甲、乙二人的射击成绩谁更稳；（Ⅱ）若规定命中8环及以上环数为优秀，以频率作为概率，请依据上述数据估计，求甲在第11至第13次射击中获得获得优秀的次数ξ的分布列和期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）利用平均数与方差计算公式可得s甲2，s乙2．即可比较出．（II）甲运动员命中8环及以上环数的概率P=，则甲在第11至第13次射击中获得获得优秀的次数ξ取值为0，1，2，3．可得P（ξ=k）=．【解答】解：（I）：∵x甲=（7+8+…+4）=7，x乙=（9+5+…+7）=7．∴s甲2=[（7﹣7）2+…+（4﹣7）2]=4，s乙2=[（9﹣7）2+…+（7﹣7）2]=1.2．∴甲乙射击的平均成绩一样，乙比甲的射击成绩稳定．（II）甲运动员命中8环及以上环数的概率P=，则甲在第11至第13次射击中获得获得优秀的次数ξ取值为0，1，2，3．则P（ξ=k）=，P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，∴Eξ=3×=1.2．【点评】本题考查平均数与方差计算公式、二项分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A（Ⅰ）求证：AC⊥A1B；（Ⅱ）求二面角A﹣A1C【考点】MT：二面角的平面角及求法；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）作AC的中点O，由A1A=A1C，且O为AC的中点，得A1O⊥AC，再由面面垂直的性质可得A1O⊥底面ABC，以O为坐标原点，OB、OC、OA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，由=0，可得AC⊥A1（Ⅱ）平面AA1C的一个法向量为，设平面A1CB的一个法向量，求出，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：作AC的中点O，∵A1A=A1C，且O为AC的中点，∴A1O又侧面AA1C1C⊥底面ABC，其交线为AC，且A1O⊂∴A1O⊥底面ABC，以O为坐标原点，OB、OC、OA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，由已知得：O（0，0，0），A（0，﹣1，0），A1（0，0，），C（0，1，0），C1（0，2，），B（1，0，0）．则有：，，∵=0，∴AC⊥A1B；（Ⅱ）解：平面AA1C的一个法向量为．设平面A1CB的一个法向量，由，取z=1，得．∴cos＜＞=．∴二面角A﹣A1C﹣B的余弦值为．【点评】本题考查直线与直线的位置关系，训练了利用空间向量求异面直线所成角及二面角，是中档题．5．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数），现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）写出直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值．【考点】QJ：直线的参数方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）消去参数t即可得到直线l的普通方程；利用x=ρcosθ，y=ρsinθ将曲线C转化为普通方程；（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，求出P到直线l的距离的最小值，再根据函数取最值的情况求出P点的坐标，得到本题结论．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（其中t为参数），消去参数t得普通方程y=x﹣4．由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ．由x=ρcosθ，y=ρsinθ以及x2+y2=ρ2，得y2+（x﹣2）2=4；