教学设计：常见曲线的极坐标方程-“江南联赛”一等奖

常用曲线的极坐标方程（1）第1课时直线和圆的极坐标方程【教学目标】了解极坐标系中直线和圆的方程，进一步领会求简单曲线的极坐标方程的基本方法。【教学重点】求极坐标系下的曲线的方程。【教学过程】一、问题情境在极坐标系下，如何求直线和圆的方程？二、讲授新课xOxOP(ρ，θ)θ)M(ρ0，θ0)lαθθ0ρρ0若直线l经过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，求直线l的极坐标方程。设直线l上任意一点的坐标为P(ρ，θ)，由正弦定理，得：eq\f(OP,sin∠OMP)=eq\f(OM,sin∠OPM)整理得直线l的极坐标方程为ρsin(θ−α)=ρ0sin(θ0−α)。一些特殊位置的直线方程如下：经过极点经过定点M(a，0)，且与极轴垂直经过定点M(b，eq\f(,2))，且与极轴平行θ=αρcosθ=aρsinθ=bxO(M)xO(M)lαxOlxOlMaxxOlM(b，eq\f(,2))aMPρρMPρρ0θ0θOx若圆的圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，求圆的极坐标方程。设P(ρ，θ)为圆上任意一点，由余弦定理，得PM2=OM2+OP2−2OM·OPcos∠POM，则圆的极坐标方程是ρ2−2ρ0ρcos(θ−θ0)+eqρ\o\al(\s\up0(2),\s\do0(0))−r2=0一些特殊位置的圆的方程如下(设圆的半径为r)：圆心在极点圆心在极点右侧圆心在极点上方圆心在极点左侧圆心在极点下方ρ=rρ=2rcosθρ=2rsinθρ=−2rcosθρ=−2rsinθxOxOxxOxOxOOxOxxOxO三、例题选讲【例1】已知圆的圆心为A（4，0），半径为4，求过极点的弦的中点M的轨迹。【例2】试判断两个圆ρ=4cosθ和ρ=4sinθ的位置关系，求出圆心距，若两圆相交，再求出两圆的交点的极坐标。【例3】将下列极坐标方程化成直角坐标方程，并说明是何曲线。⑴ρsinθ=1；⑵ρ=8cosθ+6sinθ；⑶ρ=cosθ−2sinθ；⑷eqρ=\f(4,cosθ+2sinθ)。【例4】将下列直角坐标方程化成极坐标方程。⑴y=−eq\r(3)x；⑵x2+y2+8x+6y=0；⑶eq\f(x2,a2)+\f(y2,b2)=1。【例5】已知一圆心在极轴上，且过极点的圆交极轴的另一个交点是A（6，0）。⑴求圆的极坐标方程；⑵过A与极轴垂直的直线为l，M是圆上的一个动点，OM延长后与l相交于N，P是射线OM上的一个点，且满足OP=MN，求点P的极坐标方程。四、课后作业：1．直线θ=α和直线ρsin(θ−α)=1的位置关系是（）A．垂直B．平行C．相交但不垂直D．重合2．方程ρ=cos(eq\f(,4)−θ)表示的曲线为（）A．双曲线B．椭圆C．抛物线D．圆3．过点（2，eq\f(,6)）且平行于极轴的直线的极坐标方程是（）A．ρ=sinθB．y=1C．ρsinθ=1D．ρcosθ=14．极坐标方程ρ=10cos(π−θ)表示的图形是（）A．圆心在（5，0），半径为5的圆B．圆心在（5，π），半径为5的圆C．垂直于极轴，过点（−10，π）的直线D．平行于极轴且在极轴下方10个单位的直线5．直线l：y+kx+2=0与曲线C：ρ=2cosθ相交，则k的取值范围是（）A．k≤−eq\f(3,4)B．k≥−eq\f(3,4)C．k∈RD．k∈R且k≠06．在极坐标系中，曲线ρ=4sin(θ−eq\f(,3))关于（）A．直线θ=eq\f(,3)轴对称B．直线θ=eq\f(5,6)轴对称C．点（2，eq\f(,3)）中心对称D．极点中心对称7．极坐标系ρcosθ=sin2θ所表示的曲线是。8．已知一个半径为r的圆的圆心为（r，0），若P是圆上的一个动点，延长OP到Q，使PQ=r，求Q点